第五章 3 第二节 等差数列（课件PPT）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦等差数列专题，依据新课标要求覆盖概念、通项公式、前n项和公式及性质等核心考点。通过梳理近五年高考真题，明确基本量运算占45%、性质应用占30%的高频考点分布，归纳出判定证明、前n项和最值等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题精讲+规律总结+素养提升”，如2023全国甲卷等差数列题采用“性质优先”策略，培养学生数学思维与运算能力。通过“知三求二”基本量法、中项性质速解等技巧，帮助学生掌握答题规律，教师可借助分层测评精准突破考点，助力高效复习。

第二节　等差数列 高三一轮复习讲义 北师大版 第五章 数列 课标研读 1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义.　 2.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.　 3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.　 4.体会等差数列与一元一次函数的关系. 04 03 考教衔接　精研教材 课时测评 02 考点探究　提升能力 教材梳理　夯实基础 01 内容索引 教材梳理　夯实基础 返回 1.等差数列的有关概念 等差数列的定义 对于一个数列，如果从第___项起，每一项与它的前一项的差都是____________，那么称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的公差，通常用字母___表示，定义表达式为______________________________. 等差中项 如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A 叫作a与b的等差中项，且有A＝_. 2 同一个常数 d an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N＋) 2.等差数列的有关公式 等差数列{an}的首项为a1，公差为d. na1d (n-1)d 3.等差数列的常用性质 (1)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则________________. (2)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)是公差为____的等差数列. (3)等差数列{an}的前n项和为Sn，为等差数列，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列. ak＋al＝am＋an md (4)若等差数列的项数为2n－1(n∈N＋)，则S2n－1＝___________，且S奇－S偶＝an，S奇＝nan，S偶＝(n－1)an，＝. 若等差数列项数为2n，则S偶－S奇＝nd，＝. (2n－1)an 4.等差数列与函数的关系 (1)等差数列{an}的通项公式可变形为an＝dn＋(a1－d)，当d≠0时，它是关于n的一次函数，它的图象是y＝dx＋(a1－d)上横坐标为正整数的等间隔的点. 当d＞0时，{an}是______数列；当d＜0时，{an}是______数列；当d＝0时，{an}是常数列. (2)前n项和公式可以变形为Sn＝n2＋n，当d≠0时，它是关于n的二次函数，它的图象是抛物线y＝x2＋x上横坐标为正整数的均匀分布的一系列孤立的点.若a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值. 递增 递减 微提醒　(1)等差数列中d＝＝.(2)推导等差数列前n项和的方法为倒序相加法. 常用结论 (1)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p. (2)数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).这里公差d＝2A. (3)两个等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则它们的关系为＝. √ √ 自主检测 1.(多选题)下列说法中正确的是 A.若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列 B.数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N＋，都有2an＋1＝an＋an＋2 C.在等差数列{an}中，若am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋q D.若无穷等差数列{an}的公差d＞0，则其前n项和Sn不存在最大值 √ 等差数列的前n项和为Sn，a4＋a7＝6，所以S10＝×10＝5(a4＋a7)＝30.故选D. 2.(链接北师选择性必修二P19练习T2)设等差数列的前n项和为Sn，若a4＋a7＝6，则S10＝ A.19 B.21 C.27 D.30 √ 由题意知所以S8＝8a1＋d＝8×－28×＝32.故选B. 3.(链接北师选择性必修二P17T3，改编)设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于 A.31 B.32 C.33 D.34 设第n排的座位数为an(n∈N＋)，数列{an}为等差数列，其公差d＝2，则an＝a1＋(n－1)d＝a1＋2(n－1).由已知a20＝60，得60＝a1＋2×(20－1)，解得a1＝22，则剧场总共的座位数为＝＝820. 4.(链接北师选择性必修二P17例7)某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，则剧场总共的座位数为______. 820 返回 考点探究　提升能力 返回 考点一　等差数列基本量的运算 自主练透 √ 1.(2019·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4＝0，a5＝5，则 A.an＝2n－5 B.an＝3n－10 C.Sn＝2n2－8n D.Sn＝n2－2n 设等差数列{an}的公差为d，因为所以an＝a1＋(n－1)d＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝na1＋d＝n2－4n.故选A. √ 2.(一题多解)(2023·全国甲卷文)记Sn为等差数列的前n项和.若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5＝ A.25 B.22 C.20 D.15 法一：设等差数列{an}的公差为d，首项为a1，依题意可得，a2＋a6＝a1＋d＋a1＋5d＝10，即a1＋3d＝5，又a4a8＝(a1＋3d)(a1＋7d)＝45，解得d＝1，a1＝2，所以S5＝5a1＋d＝5×2＋10＝20.故选C. 法二：a2＋a6＝2a4＝10，a4a8＝45，所以a4＝5，a8＝9，从而d＝＝1，于是a3＝a4－d＝5－1＝4，所以S5＝5a3＝20.故选C. √ 3.(2025·广东汕头模拟)已知等差数列的前n项和为Sn，a2＝3，a2n＝2an＋1，若Sn＋an＋1＝100，则n＝ A.8 B.9 C.10 D.11 由a2＝3，a2n＝2an＋1，得a2＝2a1＋1＝3，解得a1＝1，则等差数列的公差d＝2，于是an＝2n－1，Sn＝·n＝n2，由Sn＋an＋1＝100，得n2＋2n＋1＝100，所以n＝9.故选B. 4.(2025·北京西城模拟)《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，被誉为人类科学史上应用数学的最早巅峰.全书分为九章，卷第六“均输”有一问题：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升，问中间二节欲均容，各多少？”其意思为：“今有竹9节，下3节容量4升，上4节容量3升，且竹节容积从下到上均匀变化，每节容量是多 少？”在这个问题中，从下部算起第5节容量是_____升(结果保留分数). 根据题意，设从下部算起，易得数列为等差数列，则a1＋a2＋a3＝3a1＋3d＝4，a6＋a7＋a8＋a9＝4a1＋26d＝3，解得a1＝，d＝－，则a5＝a1＋4d＝升. 等差数列基本量运算的求解策略 规律方法 考点二　等差数列的判定与证明 师生共研 典例1 (2021·全国甲卷理)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立. ①数列{an}是等差数列；②数列{}是等差数列；③a2＝3a1. 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分. 解：①③⇒②. 已知{an}是等差数列，a2＝3a1. 设数列{an}的公差为d， 则a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1， 所以Sn＝na1＋d＝n2a1. 因为数列{an}的各项均为正数， 所以 ＝n， 所以 －＝(n＋1)－n＝(常数)，所以数列{}是等差数列. ①②⇒③. 已知{an}是等差数列，{}是等差数列. 设数列{an}的公差为d， 则Sn＝na1＋d＝n2d＋n. 因为数列{}是等差数列，所以数列{}的通项公式是关于n的一次 函数， 则a1－＝0，即d＝2a1，所以a2＝a1＋d＝3a1. ②③⇒①. 已知数列{}是等差数列，a2＝3a1， 所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1. 设数列{}的公差为d，d＞0， 则－＝－＝d，得a1＝d2， 所以＝＋(n－1)d＝nd， 所以Sn＝n2d 2， 所以an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2(n≥2)，是关于n的一次 函数， 且a1＝d2满足上式，所以数列{an}是等差数列. 1.等差数列的四个判定方法 规律方法 2.若要判定一个数列不是等差数列，则只需找出三项an，an＋1，an＋2，使得这三项不满足2an＋1＝an＋an＋2即可. 规律方法 对点练1.(2021·全国乙卷)记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知＋＝2. (1)证明：数列{bn}是等差数列； 解：证明：因为bn是数列{Sn}的前n项积，所以n≥2时，Sn＝， 代入＋＝2，可得＋＝2，整理可得2bn－1＋1＝2bn，即bn－bn－1＝(n≥2). 又＋＝＝2，所以b1＝，故{bn}是以为首项，为公差的等差数列. (2)求{an}的通项公式. 解：由(1)可知，bn＝，则＋＝2， 所以Sn＝， 当n＝1时，a1＝S1＝，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－. 又a1＝不满足此式，故an＝ 考点三　等差数列的性质 多维探究 √ 由S10－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝5a8＝0，则a8＝0，则等差数列的公差d＝＝－，故a1＝a5－4d＝1－4×＝.故选B. 角度1　等差数列项的性质 (1)(2024·全国甲卷)记Sn为等差数列的前n项和，已知S5＝S10，a5＝1，则a1＝ A. B. C.－ D.－ 典例2 √ (2)(2025·广西北海模拟)已知等差数列的前n项和为Sn，若a5＋a9＝14，a2＝－3，则S8＝ A.－7 B.7 C.－16 D.16 因为数列为等差数列，所以a5＋a9＝2a7，又a5＋a9＝14，所以a7 ＝7， 所以S8＝＝，又a2＝－3，所以S8＝16.故选D. √ 角度2　等差数列前n项和的性质 (1)(2025·福建福州期末)在等差数列中，若S3＝3，S6＝24，则S12＝ A.100 B.120 C.57 D.18 {an}是等差数列，则S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9仍成等差数列，又S3＝3，S6－S3＝24－3＝21，所以S9－S6＝2(S6－S3)－S3＝39，S9＝39＋24＝63，S12－S9＝2(S9－S6)－(S6－S3)＝2×39－21＝57，所以S12＝57＋63＝120.故选B. 典例3 √ (2)(2023·新课标Ⅰ卷)设Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：为等差数列.则 A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 甲：{an}为等差数列，设数列{an}的首项为a1，公差为d，即Sn＝na1＋d，则＝a1＋d＝n＋a1－，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：为等差数列，即－＝D，＝S1＋(n－1)D，即Sn＝nS1＋n(n－1)D，Sn－1＝(n－1)S1＋(n－1)(n－2)D，当n≥2时，上两式相减得，Sn－Sn－1＝S1＋2(n－1)D，即an＝a1＋2(n－1)D，当n＝1时，上式成立，于是an＝a1＋2(n－1)D，又an＋1－an＝a1＋2nD－[a1＋2(n－1)D]＝2D为常数，因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件.故选C. 典例4 √ 角度3　等差数列前n项和的最值 (1)(2025·江西南昌模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝10，a2＋a3＋a4＋a5＝20，则Sn的最大值为 A.60 B.50 C. D.30 由a1＝10，a2＋a3＋a4＋a5＝2(a1＋a6)＝20，得a6＝0，由于{an}为等差数列，且a1＝10＞0，a6＝0，所以当n≤5，n∈N＋时，an＞0，故Sn的最大值为S5＝S6＝＝＝30.故选D. (2)(2025·北京东城模拟)已知无穷数列满足：a1＝－10，an＋1＝an＋2(n∈N＋).则数列的前n项和取得最小值时n的值为_______. 因为an＋1＝an＋2，即an＋1－an＝2，所以数列是以－10为首项，2为公差的等差数列，所以an＝2n－12，令an＝2n－12≤0，则n≤6，又a6＝0，所以当n＝5或6时，数列的前n项和取得最小值. 5或6 1.应用等差数列性质的解题策略 规律方法 2.求等差数列前n项和Sn的最值的两种常用方法 规律方法 √ 对点练2.(1)(2025·湖北宜昌模拟)如果一个等差数列前10项的和为54，最后10项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有 A.36项 B.37项 C.38项 D.39项 依题意a1＋a2＋…＋a10＝54，an－9＋…＋an－1＋an＝146，所以a1＋a2＋…＋a10＋an－9＋…＋an－1＋an＝200，因为a1＋an＝a2＋an－1＝…＝a10＋an－9，所以a1＋an＝20，所以Sn＝＝＝390，解得n＝39.故选D. √ (2)(2025·河北张家口模拟)已知等差数列，a1＝－4 048，其前n项和为Sn，若－＝4，则S2 025＝ A.0 B.2 0242 C.2 025 D.2 0252 设数列{an}的公差为d，则Sn＝，故＝＝－4 048＋d，＝＝－4 048＋d，故－＝d＝4，则S2 025＝＝0.故选A. √ (3)(多选题)(2025·江苏南京模拟)已知等差数列的首项为a1，公差为d，其前n项和为Sn，若S8＜S6＜S7，则下列说法正确的是 A.当n＝7时，Sn最大 B.使得Sn＜0成立的最小自然数n＝13 C.＜ D.数列中的最小项为 √ √ 若S8＜S6＜S7，则a7＝S7－S6＞0，a7＋a8＝S8－S6＜0，所以a8＜0，d＝a8－a7＜0，即等差数列为递减数列.对于A，由a8＜0，a7＞0，知等差数列前7项为正数，其余项为负数，故当n＝7时，Sn最大，故A正确；对于B，因为a1＋a14＝a7＋a8＜0，故S13＝＝13a7＞0，S14＝＜0，所以使得Sn＜0成立的最小自然数不是13，故B错误；对于C，－＝a6＋a7＋a8＋a9＝2＜0，则＜，故C正确；对于D，当n≤7或n≥14时，＞0；当7＜n＜14时，＜0；由0＞a8＞a9＞…＞a13，S8＞S9＞S10＞…＞S13＞0，所以，故D正确.故选ACD. 返回 考教衔接　精研教材 返回 真题再现 设{an}的公差为d，由a3＋a4＝a1＋2d＋a1＋3d＝2a1＋5d＝7，3a2＋a5＝3＋a1＋4d＝4a1＋7d＝5，解得a1＝－4，d＝3，则S10＝10a1＋45d＝95. (2024·新课标Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，则S10＝_____. 95 返回 教材呈现 (北师选择性必修二P17T3)在等差数列{an}中： (1)已知S8＝48，S12＝168，求a1和d； (2)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8. 点评：本题与教材习题都考查了等差数列的基本运算，都是通过已知条件求出a1，d；思路方法完全一致，是高考试题源于教材的典例. 课 时 测 评 返回 a3＋a7＝2a5＝10.故选D. √ 1.(2025·湖南长沙模拟)是等差数列，a5＝5，则 A.a1＝1 B.d＝1 C.a1＋a10＝10 D.a3＋a7＝10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 √ 因为a1＝2，an＋1－an＝2，所以an＝2＋(n－1)×2＝2n，ak＋ak＋1＋…＋ak＋9＝＝＝×10＝270，所以k＝9.故 选C. 2.(2025·山东潍坊模拟)数列中，a1＝2，an＋1＝an＋2，若ak＋ak＋1＋…＋ak＋9＝270，则k＝ A.7 B.8 C.9 D.10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 √ 由题意可知：an＝42，Sn＝207，d＝3，则得3n2－87n＋414＝0，解得n＝6或n＝23.当n＝23时，a1＜0不合题意.故选B. 3.(2025·湖南长沙模拟)已知一个多边形的周长等于207 cm，所有各边的长成等差数列，最大的边长为42 cm，公差为3 cm，则这个多边形的边数为 A.4 B.6 C.23 D.6或23 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 因为数列，均为等差数列，可得a7＋a8＋a9＝3a8＝×15a8＝S15，且b6＋b10＝b1＋b15，又由T15＝，可得b6＋b10＝T15.因此＝＝·＝×＝2.故选A. √ 4.(2025·河北衡水模拟)已知数列，均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，满足(2n＋3)Sn＝(3n－1)Tn，则＝ A.2 B.3 C.5 D.6 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 √ 5.(多选题)已知公差为d的等差数列{an}，Sn为其前n项和，下列说法正确的是 A.若S15＜0，S16＞0，则a8是数列{an}中绝对值最小的项 B.若＝，则＝ C.若a1＝8，a4＝－1，则｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a8｜＝32 D.若｜a4｜＝｜a8｜，d≠0，则S11＝0 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 对于A，因为{an}为等差数列，且所以｜a9｜＞｜a8｜，即a8是数列{an}中绝对值最小的项，故A正确；对于B，因为{an}为等差数列，所以S3，S6－S3，S9－S6为等差数列，设S3＝x，由＝，得S6＝3x，故x，2x，S9－3x为等差数列，解得S9＝6x，所以＝＝，故B正确；对于C，因为{an}为等差数列，且a1＝8，a4＝－1，所以3d＝－9，d＝－3，则an＝8－3(n－1)＝－3n＋11，则｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a8｜＝8＋5＋2＋1＋4＋7＋10＋13＝50，故C错误；对于D，因为{an}为等差数列，且｜a4｜＝｜a8｜，d≠0，所以a4＝－a8，a4＋a8＝0，则S11＝＝＝0，故D正确.故选ABD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 √ √ √ 6.(多选题)已知等差数列的公差为d，前n项和为Sn，若S16＋S12＝S14＋S10，则下列结论正确的是 A.S26＝0 B.若S13＝－1，则S39＝3 C.当n＝13时，Sn取得最小值 D.当d＞0时，满足Sn＜0的最大整数n的值为25 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 因为S16＋S12＝S14＋S10，所以S16－S14＋S12－S10＝a16＋a15＋a12＋a11＝2＝0，即a13＋a14＝0，所以S26＝＝＝0，故A正确；因为S13，S26－S13，S39－S26成等差数列，所以S39－S26＝2(S26－S13)－S13＝2(0＋1)＋1＝3，而S26＝0，则S39＝3，故B正确；因为Sn＝na1＋d＝n2＋n，由a13＋a14＝0得2a1＋25d＝0，即a1＝－d，所以Sn＝n2－13dn，所以对称轴为n＝－＝13，所以当d＞0时，开口向上，当n＝13时，Sn取得最小值，当d＜0时，开口向下，当n＝13时，Sn取得最大值，故C错误；因为d＞0，数列单调递增，所以a13＜0，a14＞0，则S25＝25a13＜0，S27＝27a14＞0，又因为S26＝0，所以当d＞0时，满足Sn＜0的最大整数n的值为25，故D正确.故选ABD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 因为a3＋a7＝2a5＝6，所以a5＝3，所以a5＋a12＝3＋17＝20，所以S16＝＝8(a5＋a12)＝160. 7.(2024·九省适应性测试，改编)记等差数列的前n项和为Sn，a3＋a7＝6，a12＝17，则S16＝______. 160 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 因为∀n∈N＋，an＋1＞an，所以数列是递增数列，又因为∀n∈N＋，Sn≥S7，即S7最小，只要前7项均为负数，从第8项开始为非负数，或者前6项为负数，第7项为0，从第8项开始为正数即可，所以，满足条件的数列的一个通项公式如an＝2n－15(n∈N＋)、an＝n－7(n∈N＋)(答案不唯一). 8.(开放题)(2025·江苏南通模拟)设数列的前n项和为Sn，且∀n∈N＋， an＋1＞an，Sn≥S7.请写出一个满足条件的数列的通项公式an＝_________________________. n－7(n∈N＋)(答案不唯一) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 9.(13分)(2021·新高考Ⅱ卷)记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若a3＝S5，a2a4＝S4. (1)求数列{an}的通项公式；(6分) 解：设等差数列{an}的公差为d(d≠0)， 则由题意，得 解得 所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－6. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (2)求使Sn＞an成立的n的最小值.(7分) 解：法一：Sn＝＝＝n2－5n， 则由n2－5n＞2n－6，整理得n2－7n＋6＞0， 解得n＜1或n＞6. 因为n∈N＋，所以使Sn＞an成立的n的最小值为7. 法二：由Sn＞an得Sn－1＞0(n≥2)， 即＞0， 所以a1＋an－1＝2n－12＞0，解得n＞6，所以n的最小值为7. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 10.(多选题)(2025·江苏南通模拟)在等差数列中，若a4＋2a9＝a2＝8，则下列说法正确的是 A.a1＝9 B.S10＝45 C.满足Sn＞0的n的最大值为19 D.Sn的最大值为45 √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 设等差数列的公差为d，则a4＋2a9＝a2＋2d＋2＝3a2＋16d＝24＋16d＝8，解得d＝－1；对于A，a1＝a2－d＝8－＝9，故A正确；对于B，S10＝10a1＋d＝90－45＝45，故B正确；对于C，由Sn＝na1＋d＝9n－＝－n2＋n＞0得：0＜n＜19，又n∈ N＋，所以满足Sn＞0的n的最大值为18，故C错误；对于D，因为Sn＝－n2＋n＝－＋，所以当n＝9或10时，＝－×＋＝45，故D正确.故选ABD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 √ 11.(2025·北京东城模拟)北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层地面的中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且上、中、下三层共有扇面形石板(不含天心石)3 402块，则中层共有扇面形石板 A.1 125块 B.1 134块 C.1 143块 D.112块 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 记从中间向外每环扇面形石板数为an，则{an}是以9为首项，9为公差的等差数列，设每层有k环，则n＝3k，Sn＝3 402，由等差数列的性质可得Sk，S2k－Sk，S3k－S2k也成等差数列，所以2(S2k－Sk)＝Sk＋(S3k－S2k)，所以Sn＝Sk＋＋＝3(S2k－Sk)＝3 402，所以S2k－Sk＝1 134，所以中层共有扇面形石板1 134块.故选B. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 12.(15分)(2023·新课标Ⅰ卷)设等差数列{an}的公差为d，且d＞1.令bn＝，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和. (1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式；(5分) 解：因为3a2＝3a1＋a3，所以3d＝a1＋2d，解得a1＝d， 所以S3＝3a2＝3(a1＋d)＝6d， 又T3＝b1＋b2＋b3＝＋＋＝， 所以S3＋T3＝6d＋＝21， 即2d2－7d＋3＝0，解得d＝3或d＝(舍去)， 所以an＝a1＋(n－1)·d＝3n. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (2)若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d.(10分) 解：因为{bn}为等差数列， 所以2b2＝b1＋b3，即＝＋， 所以6＝＝，即－3a1d＋2d2＝0，解得a1＝d或a1＝2d， 因为d＞1，所以an＞0， 又S99－T99＝99，由等差数列性质知，99a50－99b50＝99，即a50－b50＝1， 所以a50－＝1，即－a50－2 550＝0，解得a50＝51或a50＝－50(舍去). 当a1＝2d时，a50＝a1＋49d＝51d＝51，解得d＝1，与d＞1矛盾，舍去； 当a1＝d时，a50＝a1＋49d＝50d＝51，解得d＝. 综上，d＝. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 13.(多选题)(2025·山东枣庄模拟)已知为等差数列，前n项和为Sn，a1＝10，公差d＝－2，则 A.S4＝S7 B.当n＝6或7时，Sn取得最小值 C.数列的前10项和为50 D.当n≤2 025时，与数列(m∈N＋)共有672项互为相反数 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 对于A，等差数列中，a1＝10，公差d＝－2，则an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋12，S7－S4＝a5＋a6＋a7＝3a6＝0，故A正确；对于B，由A的结论，an＝－2n＋12，则a6＝0，由d＝－2知，当n＜6时，an＞0，a6＝0，当n＞6时，an＜0，则当n＝5或6时，Sn取得最大值，且其最大值为＝30，故B错误；对于C，｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a10｜＝a1＋a2＋…＋a6－a7－a8－a9－a10＝S6＋2＋4＋6＋8＝30＋20＝50，故C正确；对于D，由n≤2 025，则an≥a2 025＝ －4 038，则数列中与数列{3m＋10}中的项互为相反数的项依次为－16，－22，－28，…，－4 036，可以组成以－16为首项，－6为公差的等差数列，设该数列为，则cn＝－10－6n，若cn＝－10－6n＝－4 036，解得n＝671，即两个数列共有671项互为相反数，故D错误.故选AC. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 √ √ 14.(多选题)(2025·江西南昌期末)一百零八塔，位于宁夏回族自治区吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，总面积为6 980平方米.一百零八塔，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下，前六层依次建1，3，3，5，5，7座塔，从第六层起，后面的每一层所建塔的座数依次比上一层多2座，总计一百零八座，因塔数而得名.将塔进行编号.第一层的一座塔编号为001号塔；第二层从左至右依次编号为002，003，004；第三层从左至右依次编号为005，006，007；…；依此类推.001号塔比较高大，残高为5.04米、塔底直径为3.08米，具有塔心室，其余107座皆为实心塔，大小基本相近，一般残高约为2.2米、塔底直径约为2米，塔底座间距相同约为1.2米(例如：002号塔底座右侧与003号塔底座左侧之间的距离为1.2米)，记第n层的宽度(以最左侧塔身和最右侧塔身最远距离计算)为an米，则以下说法正确的是 A.一百零八塔共有12层塔 B.088号塔在第11层 C.an－an－1＝4 D.a11的值约为53.2 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 设数列1，3，3，5，5，7，…为，由题意，b6，b7，b8，…构成等差数列，公差d＝2，b6＝7，设塔共有n层，则1＋3＋3＋5＋5＋7(n－5)＋×2＝108，解得n＝12，故A正确；由于第12层有b12＝7＋6×2＝19座塔，108－19＝89＞88，所以088号塔在11层倒数第二个，故B正确；由题意，从第六层起，后面的每一层所建塔的座数依次比上一层多2座，所以宽度上会多出2个塔底直径的长和两个间距的长，即有an－an－1＝2×2＋1.2×2＝6.4，故C错误；由C的分析可知，a6，a7，a8，…构成等差数列，公差d＝6.4，a6＝2×7＋1.2×6＝21.2，所以a11＝a6＋5d＝21.2＋5×6.4＝53.2，故D正确.故选ABD. 返回 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 谢 谢 观 看 等差数列 $