第二章 12 培优课2 指、对、幂的大小比较（课件PPT）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦“指、对、幂的大小比较”核心专题，依据高考评价体系梳理了指数函数、对数函数、幂函数的单调性应用，指数对数运算性质，构造函数法等三大考查维度。通过2024天津卷、北京卷等真题案例，明确了选择填空题中“单调性比较”“中间值法”“构造函数”等高频题型的分布，构建了系统的解题思路体系。 课件亮点在于“真题溯源+题型突破+素养提升”的备考策略，如以2024天津卷典例1为例，运用函数单调性法结合中间值0、1快速比较大小，培养学生的数学思维和运算能力。总结了特殊值法、对数化简等应试技巧，配套课时测评强化实战训练，帮助学生高效掌握得分要点，也为教师提供精准的复习教学指导。

培优课2　指、对、幂的大小比较 高三一轮复习讲义 北师大版 第二章 函数与基本初等函数 　　指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，其中指数、对数及幂的大小比较是近几年的高考热点和难点，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式出现. 04 03 题型三　构造函数法比较大小 课时测评 02 题型二　利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小 题型一　直接法比较大小 01 内容索引 题型一　直接法比较大小 返回 角度1　利用函数的单调性法比较大小 (1)(2024·天津卷)若a＝4.2－0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则a，b，c的大小关系为 A.a＞b＞c B.b＞a＞c C.c＞a＞b D.b＞c＞a 典例1 √ 由函数y＝4.2x单调递增可知，0＜a＜1＜b，又c＝log4.20.2＜0，故b＞a＞c，故选B. (2)(2024·北京卷)已知(x1，y1)，(x2，y2)是函数y＝2x的图象上两个不同的点，则 A.log2＜ B.log2＞ C.log2＜x1＋x2 D.log2＞x1＋x2 √ 因为(x1，y1)，(x2，y2)为函数y＝2x的图象上两个不同的点，所以y1＝，y2＝，且x1≠x2，则≠，所以y1＋y2＝＋＞2＝2，所以＞＞0，所以log2＞log2＝.故选B. 角度2　利用中间值法比较大小 (1)(2025·河南郑州模拟)已知a＝log511，b＝log2，c＝，则a，b，c的大小关系为 A.a＜c＜b B.b＜c＜a C.c＜a＜b D.a＜b＜c 典例2 √ 由对数函数的运算性质，可得a＝log511＝log5＜log5＝，b＝log2＝log28＝，c＝＞＝，所以a＜b＜c.故选D. (2)(2025·天津南开二模)已知a＝20.2，b＝1－2lg 2，c＝2－log310，则a，b，c的大小关系是 A.b＞c＞a B.a＞b＞c C.a＞c＞b D.b＞a＞c √ 由题意可得a＝20.2＞20＝1，b＝1－2lg 2＝1－lg 4，且0＜lg 4＜1，则0＜b＜1，因为log310＞log39＝2，则c＝2－log310＜0，所以a＞b＞c.故 选B. 角度3　利用特殊值法比较大小 已知a＞b＞1，0＜c＜，则下列结论正确的是 A.ac＜bc B.abc＜bac C.alogbc＜blogac D.logac＜logbc 典例3 √ 取特殊值，令a＝4，b＝2，c＝，则ac＝，bc＝，所以ac＞bc，故A错误；abc＝4×＝，bac＝2×＝，所以abc＞bac，故B错误；logac＝log4＝－1，logbc＝log2＝－2，alogbc＝－8，blogac＝－2，所以alogbc＜blogac，logac＞logbc，故C正确，D错误.故选C. 　　在指数、对数中通常可优先选择“－1，0，，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计. 规律方法 对点练1.(1)已知a＝1.60.3，b＝1.60.8，c＝0.70.8，则 A.c＜a＜b B.a＜b＜c C.b＞c＞a D.a＞b＞c √ 因为y＝1.6x在R上单调递增，所以a＝1.60.3＜b＝1.60.8，而1.60.3＞1＞c＝0.70.8，故c＜a＜b.故选A. (2)设a＝log23，b＝log35，c＝log58，则 A.b＜a＜c B.c＜b＜a C.a＜c＜b D.c＜a＜b √ 因为2log23＝log29＞log28＝3，所以log23＞，又因为2log35＝log325＜log327＝3，所以log35＜，故a＞b.因为3log35＝log3125＞log381＝4，所以log35＞，又因为3log58＝log5512＜log5625＝4，所以log58＜，故b＞c.综上，c＜b＜a.故选B. 返回 题型二　利用指数、对数及幂的运算性质 化简比较大小 返回 √ (1)(2025·陕西渭南模拟)已知定义域为R的函数f (x)为偶函数，且f (x)在区间[0，＋∞)上单调递减，则下列选项正确的是 A.f ＜f ＜f B.f ＜f ＜f C.f ＜f ＜f D.f ＜f ＜f 因为f (x)是定义在R上的偶函数，lo4＝－log34，所以f ＝f ＝f .因为ln 3·ln 5＜＝＜＝ln24，所以＞，即log34＞log45，又＝log3＝log3＞log3＝log34，所以＞log34＞log45，又f (x)在区间[0，＋∞)上单调递减，所以f ＜f ＜f ，即f ＜f ＜f .故选A. 典例4 √ (2)(2025·河南郑州模拟)已知a＝log63，b＝log84，c＝lg 5，则 A.b＜a＜c B.c＜b＜a C.a＜c＜b D.a＜b＜c 由题意得，a＝log63＝log6＝1－log62＝1－，b＝log84＝log8＝1－log82＝1－，c＝lg 5＝lg＝1－lg 2＝1－，因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以0＜log26＜log28＜log210，则＞＞，所以a＜b＜c.故选D. 　　如果两个指数或对数的底数相同，则可通过指数或真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数的大小关系，要熟练运用指数、对数公式及性质，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况. 规律方法 √ 对点练2.设a＝log62，b＝log123，c＝log405，则 A.a＜b＜c B.b＜a＜c C.c＜a＜b D.a＜c＜b 因为＝log312＝1＋log34＝1＋，＝log540＝1＋log58＝1＋，所以－＝－＝＝＝＜0，所以＜，又b＞0，c＞0，所以b＞c；因为＝1＋log58＜1＋log5＝1＋log5＝，所以c＞，因为＝log26＝1＋log23＞1＋log2＝1＋log2＝，所以a＜，所以a＜c.综上，a＜c＜b.故选D. 返回 题型三　构造函数法比较大小 返回 因为2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b＜22b＋log22b＝22b＋log2b＋1，所以2a＋log2a＜22b＋log22b，令f (x)＝2x＋log2x，由指、对数函数的单调性可得f (x)在(0，＋∞)上单调递增，且f (a)＜f (2b)⇒a＜2b.故选B. √ (1)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则 A.a＞2b B.a＜2b C.a＞b2 D.a＜b2 典例5 由x，y，z为正实数，设log2x＝log3y＝log5z＝k＞1，可得x＝2k＞2，y＝3k＞3，z＝5k＞5.所以＝2k－1＞1，＝3k－1＞1，＝5k－1＞1，令f (x)＝，因为f (x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f (2)＜f (3)＜f (5)，即＜＜.故选B. √ (2)设x，y，z为正实数，且log2x＝log3y＝log5z＞1，则，，的大小关 系是 A.＜＜ B.＜＜ C.＜＜ D.＝＝ 1.同形构造：根据结构构造统一函数，根据单调性来比较数的大小. 2.不同形构造：可以两两做差构造新函数，再根据单调性来比较数的大小. 规律方法 由已知可得＝2a，＝log3b，＝log2c，作出y＝2x， y＝log3x，y＝log2x的图象如图所示，则它们与y＝的 图象交点的横坐标分别为a，b，c，由图象可得b＞c＞ a.故选B. √ 对点练3.(1)设正实数a，b，c分别满足a·2a＝b·log3b＝c·log2c＝1，则a，b，c的大小关系为 A.a＞b＞c B.b＞c＞a C.c＞b＞a D.a＞c＞b 因为2 025x－2 025y＜2 024－x－2 024－y，所以2 025x－2 024－x＜2 025y－ 2 024－y，令f (t)＝2 025t－2 024－t，则f (x)＜f (y)，因为f (t)＝2 025t－2 024－t在R上单调递增，所以x＜y.对于A，B，因为x＜y，所以y－x＋1＞1，所以ln(y－x＋1) ＞0，故A正确，B错误；对于C，D，因为x＜y，所以｜x－y｜＞0，所以当0＜｜x－y｜＜1时，ln ｜x－y｜＜0，当｜x－y｜＝1时，ln ｜x－y｜＝0，当｜x－y｜＞1时，ln ｜x－y｜＞0，故C、D错误.故选A. √ (2)若实数x，y满足2 025x－2 025y＜2 024－x－2 024－y，则 A.ln(y－x＋1) ＞0 B.ln(y－x＋1)＜0 C.ln ｜x－y｜＞0 D.ln ｜x－y｜＜0 返回 课 时 测 评 返回 因为函数y＝0.8x为减函数，所以0.81.1＜0.80.8＜1，即a＜b＜1，又c＝1.10.8＞1，所以a＜b＜c.故选C. √ 1.设a＝0.81.1，b＝0.80.8，c＝1.10.8，则a，b，c的大小关系为 A.b＜c＜a B.a＜c＜b C.a＜b＜c D.b＜a＜c 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 √ 20.2＞20＝1，即a＞1；log0.22＜log0.21＝0，即b＜0；log31＜log32＜log33，即0＜c＜1.所以a＞c＞b.故选D. 2.若a＝20.2，b＝log0.22，c＝log32，则a，b，c的大小关系正确的是 A.a＞b＞c B.b＞a＞c C.c＞b＞a D.a＞c＞b 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 √ c＝2－log32＝log39－log32＝log3＞log34＝2log32＝b，即c＞b，a－c＝log23＋log32－2＞2－2＝2－2＝0，所以a＞c，所以b＜c＜a.故选A. 3.设a＝log23，b＝2log32，c＝2－log32，则a，b，c的大小关系为 A.b＜c＜a B.c＜b＜a C.a＜b＜c D.b＜a＜c 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 因为x＝6log643＝log23＝log23，y＝log364＝log34＝，z＝log83＝log23，由＝＝＞1，所以y＞z，由＝＝，而log23＞log22＝，则＞＞1，所以x＞y.综上，x＞y＞z.故选A. √ 4.已知x＝6log643，y＝log364，z＝log83，则 A.x＞y＞z B.z＞x＞y C.y＞z＞x D.y＞x＞z 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 √ 因为3x＝4y＝10，所以x＝log310＞log39＝2，1＝log44＜y＝log410＜log416＝2，则1＜y＜2，所以x＞y＞1，而z＝logxy＜logxx＝1，所以x＞y＞z.故选A. 5.(2025·山东潍坊模拟)若3x＝4y＝10，z＝logxy，则 A.x＞y＞z B.y＞x＞z C.z＞x＞y D.x＞z＞y 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 √ √ 因为函数f (x)为偶函数，所以b＝0；又因为偶函数f (x)＝loga｜x｜在(－∞，0)上单调递增，则0＜a＜1，所以1＜a＋1＜2，2＜a＋2＜3，且由函数f (x)为偶函数知f (x)在(0，＋∞)上单调递减， 对于选项A和B，因为a＋2＞2＝b＋2，f (x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f ＜f ，故A错误，B正确；对于选项C和D，因为1＜a＋1＜2，b－2＝－2，函数f (x)为偶函数，f (x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f ＞ f (2)＝f (－2)＝f ，故C正确，D错误.故选BC. 6.(多选题)设偶函数f (x)＝loga在(－∞，0)上单调递增，则下列结论中正确的是 A.f ＞f B.f ＜f C.f ＞f D.f ＜f 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 √ √ 对于A，因为log0.30.5＜log0.30.3＝1，故 A错误；对于B，因为0.30.5＜0.30＝1， 故B正确； 对于C，因为log20.5＜log21＝0，20.5＝＞0，所以log20.5＜20.5，故C正确；对于D，因为log2＜log2＜log24，所以log2＜log23＜log222，所以＜log23＜2，因为log33＜log3＜log3，所以1＜log34＜log3，所以1＜log34＜，所以log23＞log34，故D正确.故选BCD. 7.(多选题)下列不等式，正确的是 A.log0.30.5＞1 B.0.30.5＜1 C.log20.5＜20.5 D.log23＞log34 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 m－n＝logac－logbc＝－＝，因为0＜a＜b＜1＜c，所以lg a＜0，lg b＜0，lg c＞0，lg b＞lg a，所以m－n＝＞0，即 m＞n. 8.已知0＜a＜b＜1＜c，m＝logac，n＝logbc，则m与n的大小关系是_______. m＞n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 因为＝，＝，则由y＝在(0，＋∞)上单调递增，y＝8x在R上单调递增，知＞＞，故＞，又由函数 f (x)＝ax(a＞1)为增函数，得＜＝＜23＜2π，则2π＞.又2π＜23.2＝8×20.2＜π2×π0.2＝π2.2＜.故答案为＜＜2π＜，故2π＜. 9.实数，，，2π从小到大排列为__________________. ＜＜2π＜ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 由2a＋a＝log2b＋b＝log3c＋c＝k(k＜1)，可得2a＝－a＋k，log2b＝－b＋k，log3c＝－c＋k，且k＜1，分别作出函数y＝2x，y＝log2x，y＝log3x和y＝－x＋k的图象，如图，由图可知：a＜c＜b. 10.已知2a＋a＝log2b＋b＝log3c＋c＝k(k＜1)，则a，b，c从小到大的关系是_________. a＜c＜b 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 √ 11.已知函数f (x)＝log2(x＋1)，若a＞b＞c＞0，则，，的大小关系为 A.＜＜ B.＜＜ C.＜＜ D.＜＜ 作出函数f (x)＝log2(x＋1)的大致图象，如图所示：由图象可知，y轴右侧曲线上各点与原点连线的斜率随x的增大而减小，由a＞b＞c＞0，得＜＜.故选B. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 12.(2025·山东临沂模拟)已知x＝，loy＝，x＝logxz，则 A.x＜y＜z B.y＜x＜z C.z＜x＜y D.z＜y＜x √ 令f (x)＝x－，则f (x)在R上单调递增，由f (1)＞0，f ＜0，则存在x∈，f (x)＝0，即x＝，而loy＝⇒y＝，因为x＜，所以x－y＝－＞0⇒x＞y，x＝logxz⇒z＝xx＞＝x.综上，y＜x＜z.故选B. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 13.(多选题)(2025·河南郑州模拟)已知函数f (x)＝则 A.f (－1.1)＜f (0.2) B.f ＜f C.f ＜f D.f ＜f √ √ 对于A，因为f (x)＝所以f (－1.1)＝(－1.1)2＞0，f (0.2)＝2ln 0.2＜2ln 1＝0，故A错误； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 对于B，当x＞0时，f (x)＝2ln x单调递增，因为log1.85＞0，log1.75＞0，log1.85＝＜＝log1.75，所以f (log1.85)＜f (log1.75)，故B正确；对于C， 因为－＞－，所以0＜0.＜0.，则f (0.)＜ f (0.)，故C正确；对于D，当x≤0时，f (x)＝x2单调递减，因为log0.32.7＜log0.31.8＜0，所以f (log0.32.7)＞f (log0.31.8)，故D错误.故选BC. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 14.(2025·山东淄博模拟)设方程ex＋x＋e＝0，ln x＋x＋e＝0的根分别为p，q，函数f (x)＝ex＋x，令a＝f (0)，b＝f ，c＝f ，则a，b，c的大小关系为___________. a＞c＞b 由ex＋x＋e＝0，得ex＝－x－e，由ln x＋x＋e＝0，得ln x＝－x－e，依题意，直线y＝－x－e与函数y＝ex，y＝ln x图象交点的横坐标分别为p，q，而函数y＝ex，y＝ln x互为反函数， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 因此直线y＝－x－e与函数y＝ex，y＝ln x图象的交点关于直线y＝x对称，即点(p，q)在直线y＝－x－e上，则p＋q＝－e，f (x)＝ex－ex，于是 f (0)＝1，f ＝－e＜1，f ＝－e＝e＜3×＝1，而 f －f ＝－e－＝(e－－1)＞0，所以f (0)＞f ＞f ，即a＞c＞b. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 15.(开放题)(2025·山东烟台模拟)使得不等式logab＜logba和ba＜ab均成立的一组a，b的值分别为___________________. e， 2(答案不唯一) 不妨取a＞1，b＞1，由ba＜ab，得aln b＜bln a⇔＜，令函数f (x)＝，x＞1，求导得f'(x)＝，当1＜x＜e时，f'(x)＞0，当x＞e时，f'(x)＜0，即函数f (x)在(1，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，取a，b∈，由f (b)＜f (a)，得1＜b＜a≤e，此时logab＜logaa＝1＝logbb＜logba，故可取a＝e，b＝2.(答案不唯一). 返回 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 指、对、幂的大小比较 $