第二章 11 第八节 对数函数（课件PPT）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦对数函数专题，依据高考评价体系覆盖概念、图象、性质及反函数等核心考点，对接课标要求梳理定义域、单调性等关键性质，结合2020年全国Ⅲ卷真题分析考点权重，归纳比较大小、解不等式等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题溯源+题型突破+素养提升”，如通过中间量法和图象法突破对数式大小比较，用换元法解对数不等式培养数学思维，结合教材习题拓展提升数学语言表达能力。设易错点分析和高仿真测评，助力学生掌握解题技巧，教师可精准把握学情，实现高效复习。

第八节　对数函数 高三一轮复习讲义 北师大版 第二章 函数与基本初等函数 课标研读 1.通过具体实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算 工具画具体对数函数的图象.　 2.理解对数函数的单调性与特殊点等性质，并能简单应用.　 3.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反 函数. 04 03 考教衔接　精研教材 课时测评 02 考点探究　提升能力 教材梳理　夯实基础 01 内容索引 教材梳理　夯实基础 返回 1.对数函数及其性质 (1)对数函数的概念：一般将函数y＝_______(a＞0，且a≠1)称为对数函数，其中___为自变量，定义域是(0，＋∞).___为底数. (2)特殊的对数函数 以10为底的对数函数称为常用对数函数，记作_________. 以无理数e为底的对数函数称为自然对数函数，记作_________. logax x a y＝lg x y＝ln x (3)对数函数的图象和性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域：___________ 值域：____ 过定点________，即x＝1时，y＝0 当x＞1时，______；当0＜x＜1时，______ 当x＞1时，______；当0＜x＜1时，______ 在定义域(0，＋∞)上是________，当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大；当x值趋近于0时，函数值趋近于负无穷大 在定义域(0，＋∞)上是________，当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于负无穷大；当x值趋近于0时，函数值趋近于正无穷大 (0，＋∞) R (1，0) y＞0 y＜0 y＜0 y＞0 增函数 减函数 2.反函数 指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数__________(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线______对称.它们的定义域和值域正好互换. y＝logax y＝x 常用结论 对数函数图象的特点 (1)对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象恒过点(1，0)，(a，1)，，依据这三点的坐标可得到对数函数的大致图象. (2)函数y＝logax与y＝lox(a＞0，且a≠1)的图象关于x轴对称. (3)如图给出4个对数函数的图象则b＞a＞1＞d＞c＞0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大. √ √ 自主检测 1.(多选题)下列结论正确的是 A.函数y＝log2(x＋1)是对数函数 B.函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同 C.当x＞1时，若logax＞logbx，则a＜b D.对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象过定点(1，0)且过点(a，1)，，函数图象只在y轴右侧 √ 2.(链接北师必修一P116A组T3，改编)函数y＝的定义域是 A.(－2，＋∞) B.[－2，＋∞) C.[－2，1)∪(1，＋∞) D.(－2，1)∪(1，＋∞) 由题意可得x∈(－2，1)∪(1，＋∞).故选D. √ 3. (链接北师必修一P114例7，改编)设a＝log0.26，b＝log0.36，c＝log0.46，则 A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.b＞c＞a D.c＞b＞a 法一：如图，作出函数y1＝log0.2x，y2＝log0.3x，y3＝ log0.4x的图象，由图可知，当x＝6时，log0.26＞log0.36 ＞log0.46，即a＞b＞c.故选A. 法二：易知0＞log60.4＞log60.3＞log60.2，所以＜＜，即log0.46＜log0.36＜log0.26，即a＞b＞c.故选A. 返回 4.若函数f (x)＝loga(x－3)＋2(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点P，则P的坐标是_______. 令x－3＝1，可得x＝4，f (4)＝loga1＋2＝2，因此定点P的坐标为(4，2). (4，2) 考点探究　提升能力 返回 考点一　对数函数的图象及应用 自主练透 √ 1.(2025·陕西宝鸡期中)函数f (x)＝log2(2x)的大致图象为 令f (x)＝0，解得x＝，由题意，f (x)＝log2＝log2x＋1，且x＞0，所以f (x)的图象由y＝log2x的图象向上平移一个单位长度即可.故选C. √ 2.(2025·江苏南京检测)当0＜x≤时，4x＜logax，则实数a的取值范围是 A. B. C.(1，) D.(，2) 易知0＜a＜1，函数y＝4x与y＝logax的大致图象如图 所示，则由题意知，当0＜x≤时，4x＜logax.只需满足 loga＞，解得a＞，所以＜a＜1，即实数a的取值 范围是.故选B. 3.已知函数f (x)＝｜ln x｜，若0＜a＜b，且f (a)＝f (b)，则a＋2b的取值范围是__________. f (x)＝｜ln x｜的图象如图，因为f (a)＝f (b)，所以｜ln a｜ ＝｜ln b｜，因为0＜a＜b，所以ln a＜0，ln b＞0，所以 0＜a＜1，b＞1，所以－ln a＝ln b，所以ln a＋ln b＝ln(ab) ＝0，所以ab＝1，则b＝，所以a＋2b＝a＋，令g(x)＝x＋(0＜x＜1)，则g(x)在(0，1)上单调递减，所以g(x)＞g(1)＝1＋2＝3，所以a＋2b＞3，所以a＋2b的取值范围为(3，＋∞). (3，＋∞) 研究对数型函数图象的两种策略   注意：一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合思想求解. 规律方法 考点二　对数函数的性质及应用 多维探究 典例1 √ 角度1　比较对数式的大小 (1)已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝lo，则a，b，c的大小关系为 A.a＞b＞c B.b＞a＞c C.c＞b＞a D.c＞a＞b 法一：(中间量法)因为a＝log2e＞1，b＝ln 2∈(0，1)， c＝lo＝log23＞log2e＞1，所以c＞a＞b.故选D. 法二：(图象法)c＝lo＝log23，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝log2x，y＝ln x的图象，如图，由图可知c＞a＞b.故选D. √ (2)设a＝log412，b＝log515，c＝log618，则 A.a＞b＞c B.b＞c＞a C.a＞c＞b D.c＞b＞a a＝1＋log43，b＝1＋log53，c＝1＋log63，因为log43＞log53＞log63，所以a＞b＞c.故选A. 角度2　解对数方程、不等式 (1)已知f (x)＝lg x－1，g(x)＝lg x－3，若＋＝，则满足条件的x 的取值范围是______________________. 因为＋＝，所以f (x)g(x)≥0，即 0，解得lg x≤1或lg x≥3，所以x的取值范围是(0，10]∪[1 000， ＋∞). 典例2 ∪ (2)(2025·安徽江淮十校联考)已知函数f (x)＝则不等式 f ((log2x)2－3)＜4f (log2x)的解集为__________. 当x≥0时，f (x)＝2x2≥0，4f (x)＝8x2＝f (2x)，且f (x)在[0，＋∞)上单调递增.当x＜0时，f (x)＝－2x2＜0，4f (x)＝－8x2＝f (2x)，且f (x)在 (－∞，0)上单调递增.所以f (x)在R上有4f (x)＝f (2x)，且函数f (x)是R上的增函数，于是原不等式可化为(log2x)2－3＜2log2x，即(log2x)2－2log2x－3＜0，即(log2x＋1)(log2x－3)＜0，得－1＜log2x＜3，解得＜x＜8，即原不等式的解集为. 1.比较大小时，若底数相同，真数不同直接利用单调性；若底数不同，真数相同利用换底公式化同底或利用图象比较；若底数与真数都不同，常借助1，0等中间量进行比较. 2.解对数不等式时，常用化同底后利用单调性的方法；若底数a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论. 规律方法 √ 对点练1.(1)(2025·天津滨海新区模拟)已知a＝，b＝log0.42，c＝，则 A.a＞b＞c B.b＞a＞c C.c＞a＞b D.a＞c＞b a＝＝0.4，b＝log0.42＜log0.41＝0，0＝log0.31＜log0.30.4＜log0.30.3＝1，则c＞1，故c＞a＞b.故选C. √ (2)(2025·浙江省名校联考)方程log3x＝log6x·log9x的实数解有 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 log3x＝＝·＝log6x·log9x，所以ln x＝0或ln x＝＝2ln 6＝ln 36，所以x＝1或x＝36，所以方程log3x＝log6x·log9x的实数解有2个. 故选C. 考点三　对数型函数性质的综合应用 师生共研 典例3 已知函数y＝f (x)，其中f (x)＝lo. (1)求证：y＝f (x)是奇函数； 解：证明：函数y＝lo的定义域为D＝∪(2，＋∞)， 在D中任取一个实数x，都有－x∈D，并且f (－x)＝lo＝lo＝lo＝－f(x). 因此y＝lo是奇函数. (2)若关于x的方程f (x)＝lo在区间[3，4]上有解，求实数k的取值 范围. 解：f (x)＝lo等价于x＋k＝，即k＝－x＝－x＋1在上有解. 记g(x)＝－x＋1，因为g(x)在上单调递减， 所以，g(x)max＝g(3)＝2，g(x)min＝g(4)＝－1， 故g(x)的值域为， 因此实数k的取值范围为. 　　求与对数函数有关的复合函数的性质问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成. 规律方法 对点练2.(1)(多选题)(2025·河南焦作模拟)已知函数f (x)＝lg(1－x)，则 A.f (x)的定义域为(－∞，1) B.f (x)的值域为R C.F (－1)＋f (－4)＝1 D.y＝f 的单调递增区间为(0，1) √ √ √ 对于A，B，由题意知f (x)的定义域为(－∞，1)，值域为R，故A，B均正确；对于C，f (－1)＋f (－4)＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，故C正确；对于D，因为f＝lg，根据复合函数的单调性知y＝f不是(0，1)，故D错误.故选ABC. (2)(多选题)(2025·江西九江期末)设函数f (x)＝ln，则f (x) A.定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞) B.图象关于原点对称 C.在(1，＋∞)上单调递减 D.不存在零点 √ √ √ 由＞0，得x＜－1或x＞1，故f (x)的定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故A正确；因为f (－x)＝ln＝ln＝－ln＝－f (x)，所以f (x)为奇函数，故B正确；令t＝，则t＝1－在(1，＋∞)上单调递增，而函数y＝ln t在定义域内单调递增，所以f (x)在(1，＋∞)上单调递增，故C错误；令f (x)＝0，得＝1，x无实数解，所以f (x)不存在零点，故D正确.故选ABD. 返回 考教衔接　精研教材 返回 真题再现 因为a＝log32＝lo23＝log98＜1，所以a＜.因为b＝log53＝lo33＝log2527＞1，所以b＞.又c＝，所以a＜c＜b.故选A. √ (2020·全国Ⅲ卷)设a＝log32，b＝log53，c＝，则 A.a＜c＜b　 B.a＜b＜c　 C.b＜c＜a　 D.c＜a＜b 返回 教材呈现 (北师必修一P128C组T3)已知x＝ln π，y＝log52，z＝. (1)比较x，y的大小； (2)比较y，z的大小. 点评：本题是教材习题的拓展，由于对数式的底数不同，不能直接利用单调性，需适当变形后再比较大小，变形过程中利用了对数函数的单调性，是高考试题源于课本的典例. 课 时 测 评 返回 要使函数y＝有意义，需满足＜x≤1，故函数的定义域为.故选B. √ 1.函数y＝的定义域为 A.[1，＋∞) B. C. D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 √ 令2x－3＝1，解得x＝2，此时f (2)＝1＋loga1＝1，所以f (x)恒过定点(2，1)，则m＝2，n＝1，所以m＋n＝3.故选C. 2.已知函数f (x)＝1＋loga(2x－3)(a＞0，a≠1)恒过定点(m，n)，则m＋n＝ A.1 B.2 C.3 D.4 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 √ 因为ea＝lg 3，可得a＝ln(lg 3)，且3lg 3＝lg 27＞1，则lg 3＞，可得ln(lg 3)＞ln，所以a＞c；又因为ln 3＞1＞lg 3＞0，则lg(ln 3)＞0＞ln(lg 3)，所以b＞a；综上所述c＜a＜b.故选C. 3.(2025·江苏南京模拟)已知ea＝lg 3，b＝lg，c＝ln，则a，b，c的大小关系是 A.c＜b＜a B.a＜c＜b C.c＜a＜b D.b＜c＜a 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 因为函数f (x)＝loga(x－b)为减函数，所以0＜a＜1，又因为函数图象与x轴的交点在正半轴，所以令x－b＝1，则x＝1＋b＞0，即b＞－1，又因为函数图象与y轴有交点，所以b＜0，所以－1＜b＜0.故选D. √ 4.已知函数f (x)＝loga(x－b)(a＞0，且a≠1，a，b为常数)的图象如图，则下列结论正确的是 A.a＞0，b＜－1 B.a＞0，－1＜b＜0 C.0＜a＜1，b＜－1 D.0＜a＜1，－1＜b＜0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 √ 依题意，f (x)＝－＝·ln x＝·ln x，显然函数y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，而函数f (x)在(0，＋∞)上单调递减， 5.(2025·广东佛山模拟)已知0＜a＜1且a≠，若函数f (x)＝2logax－log2ax在(0，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围为 A. B. C.∪ D.∪ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 因此＜0，而0＜a＜2a＜4a，则ln 4a＜0，或解得0＜a＜＜a＜1，所以实数a的取值范围为∪.故选D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 √ √ √ 因为f (x)＝lg＝lg，则＞0，解得－1＜x＜1，所以f (x)的定义域为(－1，1)，故A正确；因为f (－x)＝lg＝－f (x)，即f (x)为奇函数，所以f (x)的图象关于原点对称，故B错误，C正确；因为y＝－1在(0，1)上单调递增，y＝lg x在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x)＝lg在(0，1)上单调递增，故D正确.故选ACD. 6.(多选题)关于函数f (x)＝lg，下列说法正确的有 A.f (x)的定义域为(－1，1) B.f (x)的函数图象关于y轴对称 C.f (x)的函数图象关于原点对称 D.f (x)在(0，1)上单调递增 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 f (x)＝lo，则函数f (x)是偶函数，且在(0，＋∞)上递减，又lo＝lo＋lo｜b｜，即满足f (ab)＝f (a)＋f (b)，故f (x)＝lo满足要求.(答案不唯一). 7.(开放题)(2025·陕西渭南模拟)偶函数f (x)的定义域为D，函数f (x)在(0，＋∞)上递减，且对于任意a，b∈D，a≠0，b≠0均有f (ab)＝f (a)＋f (b)，写 出符合要求的一个函数f (x)为___________________. lo(答案不唯一) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 当x≤0时，f (x)＝x＋1≤1得x≤0，所以x≤0；当x＞0时，f (x)＝ln(x＋1)≤1，得－1＜x≤e－1，所以0＜x≤e－1.综上，f (x)≤1的解集为. 8.(2025·湖北宜昌模拟)已知函数f (x)＝则关于x的不等式 f (x)≤1的解集为_______________. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 9.(13分)(2024·上海卷)已知函数f (x)＝logax(a＞0，a≠1). (1)若函数f (x)的图象过点，求不等式f (2x－2)＜f (x)的解集；(5分) 解：因为函数f (x)的图象过点，故loga4＝2，故a2＝4，即a＝2(负值舍去)， 而f(x)＝log2x在(0，＋∞)上为增函数，故由f (2x－2)＜f (x)， 可得0＜2x－2＜x，即1＜x＜2， 故不等式f (2x－2)＜f (x)的解集为. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (2)若存在x使得f (x＋1)，f ，f (x＋2)依次成等差数列，求实数a的取值范围.(8分) 解：因为存在x使得f (x＋1)，f ，f (x＋2)成等差数列， 故2f ＝f (x＋1)＋f (x＋2)有解， 故2loga＝loga(x＋1)＋loga， 因为a＞0，a≠1，故x＞0， 故a2x2＝(x＋1)在(0，＋∞)上有解， 由a2＝＝1＋＋＝2－在(0，＋∞)上有解， 令t＝∈(0，＋∞)，而y＝2－在(0，＋∞)上的值域为(1，＋∞)， 故a2＞1，即a＞1. 所以实数a的取值范围为(1，＋∞). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 若f (x)＝log5在[1，＋∞)上单调递增，根据复合函数的单调性，则y＝ax－2在[1，＋∞)上单调递增且恒大于0；则a＞1且a1－2＞0，所以a＞2，即实数a的取值范围为(2，＋∞).故选C. 10.(2025·湖北武汉模拟)已知函数f(x)＝log5(ax－2)在[1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是 A.(1，＋∞) B. C.(2，＋∞) D. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 √ 11.(2025·重庆北碚区模拟)已知函数f (x)＝ln(x＋m)的图象与函数g(x)＝－ln的图象有且只有一个交点，则实数m＝ A.－1 B.1 C.－2 D.2 依题意ln(x＋m)＝－ln(－x)有一个解，即ln(x＋m)＋ln(－x)＝0有一个根，即ln(－x2－mx)＝0＝ln 1；所以－x2－mx＝1有一个根，所以x2＋mx＋1＝0有一个根，所以Δ＝m2－4＝0，解得m＝±2；当m＝－2时，f (x)＝ln(x－2)的定义域为(2，＋∞)，与g(x)＝－ln(－x)的定义域(－∞，0)没有交集，此时f (x)与g(x)的图象没有交点，所以m＝－2不符合题意.故 选D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 12.(15分)(2025·江苏盐城模拟)已知函数f (x)＝log4·lo. (1)解关于x的不等式f (x)＞3；(6分) 解：因为f (x)定义域为(0，＋∞)， 则f (x)＝log2·2log2＝(log2x－2)(log2x－4)＝－6log2x＋8， 设log2x＝t，则不等式可化为t2－6t＋8＞3，即t2－6t＋5＞0， 解得t＜1或t＞5，即log2x＜1或log2x＞5， 解得0＜x＜2，或x＞32. 所以不等式的解集为{x｜0＜x＜2，或x＞32}. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (2)若存在x∈，使得不等式f －a·log2x＋1≥0成立，求实数a的取值范围.(9分) 解：因为f －a·log2x＋1≥0，所以·－alog2x＋1≥0， 设log2x＝t，x∈[2，4]，则t∈[1，2]，原问题化为：存在t∈[1，2]，t2－4t＋4－at≥0， 即a≤t＋－4在t∈[1，2]上有解. 因为y＝t＋－4在[1，2]上单调递减， 所以＝1， 所以a≤1. 所以实数a的取值范围为. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 13.(多选题)(2025·广东湛江模拟)已知大气压强p随高度h(m)的变化满足关系式ln p0－ln p＝kh，p0是海平面大气压强，k＝10－4.我国陆地地势可划分为三级阶梯，其平均海拔如下表： 若用平均海拔的范围直接代表各级阶梯海拔的范围，设在第一、二、三级阶梯某处的压强分别为p1，p2，p3，则 A.p1≤ B.p0＜p3 C.p2≤p3 D.p3≤e0.18p2 平均海拔/m 第一级阶梯 ≥4 000 第二级阶梯 1 000～2 000 第三级阶梯 200～1 000 √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 设在第一级阶梯某处的海拔为h1，则ln p0－ln p1＝10－4h1，即h1＝104ln.因为h1≥4 000，所以104ln4 000，解得p1≤，故A正确；由ln p0－ln p＝kh，得ekh＝.当h＞0时，ekh＝＞1，即p0＞p，所以p0＞p3，B错误；设在第二级阶梯某处的海拔为h2，在第三级阶梯某处的海拔为h3，则两式相减可得ln＝10－4.因为h2∈，h3∈，所以h2－h3∈，则0≤ln≤10－4×1 800＝0.18，即1≤≤e0.18，故p2≤p3≤e0.18p2，故C、D均正确.故选ACD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 14.(2025·四川成都模拟)已知函数f (x)＝log6，g(x)＝log3.给出下列四个结论： ①f ＜g； ②存在x0∈(0，1)，使得f (x0)＝g(x0)＝x0； ③对于任意的x∈(1，＋∞)，都有f (x)＜g(x)； ④＜. 其中所有正确结论的序号是_________. ②③④ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 对于①，f ＝log6(＋)，而log6(＋)－＝log6，－1＝－＞0，故＋＞1，故log6－＞0，故log6＞.g＝log3，而log3－＝log3，而－1＝－＜0，故log3＜，故f ＞g，故①错误；对于②，设h(x)＝f (x)－x＝log6，则h(x)为R上的减函数，而h(0)＝log62＞0，h＝log6＜0，故h(x)在(0，1)上存在唯一零点x0，且h＝f (x0)－x0＝0，即＋＝，即＝－，故log3(－)＝x0，所以g(x0)－x0＝0，故存在x0∈(0，1)，使得f (x0)＝g(x0)＝x0.故②正确； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 对于③，由②的分析可得h(x)＝f (x)－x＝log6在(1，＋∞)上为减函数，故h(x)＜h(1)＝log6＜0，即f (x)＜x恒成立.设s(x)＝g(x)－x＝log3，同理可得s(x)为(1，＋∞)上的增函数，故s(x)＞s＝log3＞0，故g(x)＞x，所以f (x)＜g(x)，故③正确；对于④，由f (1)＝log65＜1，g＝log34＞1，所以＝log6＜log6＜log3＝，故④正确.故答案为②③④. 返回 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 谢 谢 观 看 对数函数 $