第二章 9 第六节 指数运算与对数运算（课件PPT）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦指数运算与对数运算专题，依据课标要求覆盖根式、分数指数幂、对数概念及运算性质等核心考点，对接高考评价体系分析基础运算（占比约60%）、实际应用（如半衰期模型）等考点权重，归纳指数幂化简、对数换底公式应用等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于高考真题训练（含2024全国甲卷等）与应试技巧指导，如规律方法强调指数幂统一形式、对数运算法则逆用。通过典例1指数幂混合运算、典例2生物丰富度指数问题，培养数学思维和数学语言表达素养，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此精准教学提升复习效率。

第六节　指数运算与对数运算 高三一轮复习讲义 北师大版 第二章 函数与基本初等函数 课标研读 1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数 幂的运算性质.　 2.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转 化成自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用. 04 03 考教衔接　精研教材 课时测评 02 考点探究　提升能力 教材梳理　夯实基础 01 内容索引 教材梳理　夯实基础 返回 1.根式的概念及性质 x 根式 a a 2.分数指数幂 0 3.对数 logaM＋logaN logaN＝b N a lg N ln N N logaM—logaN nlogaM 常用结论 换底公式的两个重要结论 (1)logab＝(a＞0，且a≠1；b＞0，且b≠1). (2)lobn＝logab(a＞0，且a≠1；b＞0；m，n∈R，且m≠0). √ 自主检测 1.下列说法中正确的是 A.＝()n＝a B.lo4.2＝m⇔＝4.2 C.分数指数幂可以理解为个a相乘 D.若MN＞0，则loga(MN)＝logaM＋logaN √ 2. (链接北师必修一P102例2，改编)设a＝lg 2，b＝lg 3，则log1210＝ A. B. C.2a＋b D.2b＋a log1210＝＝＝.故选A. 3.(2025·八省适应性测试)已知函数f (x)＝ax(a＞0，a≠1)，若f (ln 2)f (ln 4)＝8，则a＝____. 由f f ＝8，可得aln 2·aln 4＝8，即aln 2＋ln 4＝a3ln 2＝8，也即＝23，因为a＞0且a≠1，所以aln 2＝2，两边取对数得ln 2·ln a＝ln 2，解得a＝e. e 返回 4.(链接北师必修一P82B组T3，改编)已知＋＝3，则a＋a－1＝____；a2＋a－2＝____. 由＋＝3，得a＋a－1＋2＝9，即a＋a－1＝7，则a2＋a－2＋2＝49，即a2＋a－2＝47. 7 47 考点探究　提升能力 返回 考点一　指数幂、对数的简单运算 自主练透 √ 1.(2025·广东珠海模拟)已知a＞0且a≠1，下列等式正确的是 A.a－2·a3＝a－6 B.＝a2 C.a6＋a3＝a9 D.＝ 对于A，a＞0且a≠1，故a－2·a3＝a－2＋3＝a，故A错误；对于B，a＞0且a≠1，故＝a6－3＝a3，故B错误；对于C，a6＋a3≠a9，故C错误；对于D，a＞0且a≠1，故＝＝，故D正确.故选D. √ 2.(2025·北京东城期末)已知2a＝3，log45＝b，则2a－2b的值为 A.15 B. C. D.－2 由log45＝b，得4b＝5，即22b＝5，而2a＝3，所以2a－2b＝＝.故选C. √ 3.(多选题)下列运算中正确的是 A.＝log75 B.＝ C.＝3－π D.＋ln＝6 对于A，＝log57，故A错误；对于B，＝＝，故B正确；对于C，＝＝π－3，故C错误；对于D，＋ln＝＋ln 1＝6＋0＝6，故D正确.故选BD. √ 1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指 数幂. 2.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并. 规律方法 考点二　指数幂、对数的运算性质的应用 师生共研 典例1 (2025·天津河西期末)求下列各式的值： (1)0.75－1××＋10＋＋1； 解：0.75－1××＋10＋＋1 ＝××＋＋＋ ＝×－10＋10＋2＝×－20＋2＝－16. (2)＋＋ln－lg 100. 解：＋＋ln－lg 100 ＝＋＋－2 ＝log32×log23＋＋－2 ＝×××＋＋－2＝＋＋－2＝0. 1.在指数幂的运算中，当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 2.在对数的运算中，(1)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数，然后逆用对数的运算法则；(2)利用换底公式可将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用. 规律方法 对点练1.(1)已知32x＝43y＝126，则＋的值为___. 1 因为32x＝43y＝126，所以2x＝，3y＝，所以＋＝＝＝＝＝1. (2)(2025·湖南娄底期末)计算下列各式的值： ①×＋×＋－； 解：原式＝×1＋×＋22×33－＝＋＋4×27－＝2＋108＝110. ②－eln 2＋lg 2－lg＋3lg 5－log32·log49. 解：原式＝－2＋lg 2＋2lg 2＋3lg 5－·＝－8＋3－·＝－8＋3－1＝－6. 考点三　指数与对数运算的实际应用 师生共研 典例2 √ (1)(2024·北京卷)生物丰富度指数d＝是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则 A.3N2＝2N1 B.2N2＝3N1 C.＝ D.＝ 由题意，得＝2.1，＝3.15.若S不变，则2.1ln N1＝3.15 ln N2，即2ln N1＝3ln N2，所以＝.故选D. √ (2)(多选题)(2025·湖南长沙模拟)氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子组成，并带有放射性，会发生β衰变，其半衰期是12.43年.样本中氚的质量N随时间t(单位：年)的衰变规律满足N＝N0·，其中N0表示氚原有的质量，则(参考数据：lg 2≈0.301) A.t＝12.43log2 B.经过24.86年后，样本中的氚元素会全部消失 C.经过62.15年后，样本中的氚元素变为原来的 D.若x年后，样本中氚元素的含量为0.4N0，则x＞16 √ 由题意得N＝N0·，故有＝，左右同时取对数得log2＝ －，故得t＝－12.43log2，故A错误；当t＝24.86时，N＝N0·＝ 2－2·N0＝N0，故B错误；而当t＝62.15时，N＝N0·＝2－5·N0＝N0，即经过62.15年后，样本中的氚元素变为原来的，故C正确；由题意得0.4N0＝N0·，故x＝－12.43log2＝－12.43log2＝－12.43(log22－log25)＝ －12.43(1－log25)＝－12.43＝－12.43，将lg 2≈0.301代入其中，可得x≈－12.43≈16.44＞16，故D正确.故选CD. 解决指数、对数运算实际应用的步骤 第一步：理解题意、理清条件与所求之间的关系； 第二步：运用指数或对数的运算公式、性质等进行运算，把题目中的条件转化为所求. 规律方法 √ 对点练2.(1)(2025·重庆九龙坡期末)放射性核素锶89会按某个衰减率衰减，设初始质量为M0，质量M与时间T(单位：天)的函数关系式为M＝M0·(其中H为常数)，若锶89的半衰期(质量衰减一半所用时间)约为50天，那么质量为M0的锶89经过30天衰减后质量约变为(参考数据：20.6≈1.516) A.0.72M0 B.0.70M0 C.0.68M0 D.0.66M0 由题意，锶89的半衰期(质量衰减一半所用的时间)约为50天，即M0＝M0·，则H＝50，所以质量为M0的锶89经过30天衰减后，质量大约为M0·＝M0·＝M0·≈M0×≈0.66M0.故选D. √ (2)(多选题)(2025·安徽六安期末)地震释放的能量E与地震震级M之间的关系式为lg E＝4.8＋1.5M，2024年8月12日日本宫崎县发生的7.1级地震释放的能量为E1，2023年1月28日伊朗西北发生的5.9级地震释放的能量为E2，2023年2月6日土耳其卡赫拉曼马拉什省发生的7.8级地震释放的能量为E3，下列说法正确的是 A.E1约为E2的10倍 B.E3超过E2的100倍 C.E3超过E1的10倍 D.E3低于E1的10倍 √ 对于A，lg E1－lg E2＝1.5×，所以＝101.8，故A错误；对于B，lg E3－lg E2＝1.5×，＝102.85＞100，故B正确；对于C，lg E3－lg E1＝1.5×，＝101.05＞10，故C正确，D错误.故选BC. 返回 考教衔接　精研教材 返回 真题再现 根据题意有－＝－，即3loga2－＝－，设t＝loga2 (a＞1)，则t＞0，故3t－＝－，解得t＝(t＝－1舍去)，所以loga2＝，所以＝2，所以a＝64. (2024·全国甲卷)已知a＞1且－＝－，则a＝____. 64 返回 教材呈现 (北师必修一P108B组T4)已知a，b是方程2(ln x)2－3ln x＋1＝0的两个实数根，求下列各式的值： (1)＋； (2)logab＋logba. 点评：本题与教材习题类似，主要考查对数的运算和整体代换的思想方法；体现了高考题源于教材、高于教材的命题趋势. 课 时 测 评 返回 lg a＋lg b＝lg ab＝lg 1＝0.故选A. √ 1.已知a＞0，b＞0.若ab＝1，则lg a＋lg b＝ A.0 B.1 C.2 D.3 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 √ 对于A，(a2)3＝a6，故A错误；对于B，log26－log23＝log2＝log22＝1，故B正确；对于C，·＝a0＝1，故C错误；对于D，对数的真数部分要大于0，故D错误.故选B. 2.下列计算正确的是 A.＝a5 B.log26－log23＝1 C.·＝0 D.log3＝2log3 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 √ 由alog94＝1可得4a＝9，即(2a)2＝9，2a＝3，故2－a＝.故选C. 3.(2025·河南南阳模拟)已知alog94＝1，则2－a＝ A. B. C. D.3 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 因为5m＝7n＝t且＋＝2，易知t＞0且t≠1，所以m＝log5t，n＝log7t，所以＝logt5，＝logt7，所以＋＝logt5＋logt7＝logt35＝2，则t＝.故选D. √ 4.(2025·四川成都模拟)若实数m，n，t满足5m＝7n＝t且＋＝2，则t＝ A.2 B.12 C. D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 √ 由2log3＋log3b＝0，得a＞0，b＞0，且log3a－2＋log3b＝0，即log3a－2b＝0，所以a－2b＝1，b＝a2，而此时b＝2a不一定成立，故C错误；由于＝2b，即22a＝2b，所以b＝2a，故A错误；由于a·eln a＝b，即为a·a＝a2＝b，故B正确；又log8ab＝log8a3＝loa3＝log2a，故D正确.故选BD. 5.(多选题)(2025·江苏南京模拟)已知2log3＋log3b＝0，则下列等式一定正确的是 A.＝2b B.a·eln a＝b C.b＝2a D.log2a＝log8ab √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 √ √ 6.(多选题)(2025·重庆期末)放射性物质在衰变中产生辐射污染逐步引起了人们的关注，已知放射性物质数量随时间t的衰变公式N(t)＝N0，N0表示物质的初始数量，τ是一个具有时间量纲的数，研究放射性物质常用到半衰期，半衰期T指的是放射性物质数量从初始数量到衰变成一半所需的时间，已知ln 2≈0.7，下表给出了铀的三种同位素τ的取值：若铀234、铀235和铀238的半衰期分别为T1，T2，T3，则 A.T＝τln 0.5 B.T与τ成正比例关系 C.T1＞T2 D.T3＞10 000T1 物质 τ的量纲单位 τ的值 铀234 万年 35.58 铀235 亿年 10.2 铀238 亿年 64.75 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 对于A，利用衰变公式N(t)＝N0，又N(t)＝N0，故N0＝N0，两边取对数得，ln 0.5＝－，T＝τln 2，故A错误；对于B，由A可知，T与τ成正比例关系，故B正确；对于C，由B可知，T与τ成正比例关系，由于铀234的τ值小于铀235的τ值，故T1＜T2，故C错误；对于D，T3＝τln 2＝6.475×109ln 2，T1＝τln 2＝3.558×105ln 2，故＝＞1，故D正确.故选BD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 当x＞0，y＞0时，x＋y＝＋＝2；当x＜0，y＜0时，x＋y＝－＋－＝－2. 7.(2025·广东中山模拟)若xy＝3，则x＋y＝__________. ±2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 因为10m＝2，10n＝3，所以m＝lg 2，n＝lg 3.所以2m＋lg 25＋10m－n＝2lg 2＋lg 25＋10lg 2－lg 3＝lg 4＋lg 25＋＝lg 100＋＝. 8.(2025·四川德阳模拟)已知10m＝2，10n＝3，则2m＋lg 25＋10m－n＝ ____.(用数字作答) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 9.(13分)(1)已知＋＝3，计算：；(6分) 解：因为＋＝3，所以＝9，即x＋x－1＋2＝9，所以x＋x－1＝7， 所以(x＋x－1)2＝49，即x2＋x－2＋2＝49， 所以x2＋x－2＝47， 所以＝＝4. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (2)已知a＝＋－，b＝log39＋log3，求lg a2－b2 025＋2 025的值.(7分) 解：由题意a＝＋－＝＋1－＝－＝1， b＝log39＋log3＝log332＋log33－3＝2－3＝－1， 所以lg a2－b2 025＋2 025＝lg 12－(－1)2 025＋2 025＝0－(－1)＋2 025＝ 2 026. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 ＝＝＝2·＝2·＝2· ≈2≈1.917.故选C. 10.(2025·福建南平模拟)对任意非零实数α，当充分小时，(1＋x)α≈1＋α·x.如：＝＝2≈2×＝2.25，用这个方法计算的近似值为 A.1.906 B.1.908 C.1.917 D.1.919 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 11.(2025·安徽淮北模拟)已知正实数a，b满足logab＋logba＝，aa＝bb，则a ＋b＝_____. 令t＝logab，则logba＝，由logab＋logba＝，得t＋＝，所以2t2－5t＋2＝0，解得t＝或t＝2，所以logab＝或logab＝2，所以＝b或a2＝b， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 当＝b时，则a＝b2，由aa＝bb，得＝b2a＝bb，所以2a＝b，由又a＞0，解得所以a＋b＝.当a2＝b时，由aa＝bb，得aa＝＝a2b，所以a＝2b，由又a＞0，解得所以a＋b＝.综上所述，a＋b＝. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 12.(15分)已知函数f (x)＝，g(x)＝. (1)分别计算f (4)－5f (2)g(2)，f (9)－5f (3)g(3)的值；(7分) 解：f (4)－5f (2)g(2)＝－5×× ＝－＝－＝0， f (9)－5f (3)g(3)＝－5××＝－＝0. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (2)根据(1)的计算过程，写出涉及函数f (x)和g(x)对所有不等于0的实数x都成立的一个等式，并证明.(8分) 解：由此概括出对所有不等于0的实数x有f (x2)－5f (x)g(x)＝0，证明如下： f (x2)－5f (x)g(x)＝－)－5×·＝－＝0， 因此，等式成立. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 13.(多选题)(2025·江西南昌模拟)某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常，排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm，继续排气4分钟后又测得浓度为32 ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y(单位：ppm)与排气时间t(单位：分钟)之间满足函数关系y＝aeRt(a，R为常数，e是自然对数的底数).若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm，人就可以安全进入车库了，则下列说法正确的是 A.a＝128 B.R＝ln 2 C.排气12分钟后浓度为16 ppm D.排气32分钟后，人可以安全进入车库 √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 设f (t)＝aeRt，代入(4，64)，(8，32)，得解得a＝128，R＝－ln 2，故A正确，B错误；此时f (t)＝128＝27·＝，所以f (12)＝24＝16(ppm)，故C正确；当f (t)≤0.5时，即≤0.5＝ 2－1，得7－≤－1，所以t≥32，所以排气32分钟后，人可以安全进入车库，故D正确.故选ACD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 14.(2025·广东深圳期末)若x，y，z∈R＋，且2x＝3y＝6z，∈(n，n＋1)，n∈N，则n的值为_____. 25 因为x，y，z∈R＋，则2x＝3y＝6z＞1，令2x＝3y＝6z＝t＞1，则x＝log2t，y＝log3t，z＝log6t，＝＝＝＝lg 6＝＝13＋＋，令m＝∈(1，2)，则＝13＋4m＋，其中m∈(1，2)，m≠时，由对勾函数性质知4m＋∈，则＝13＋4m＋∈，所以n＝25. 返回 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 谢 谢 观 看 指数运算与对数运算 $