第二章 8 第五节 简单的幂函数与几类常见的特殊函数（课件PPT）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦幂函数、对勾函数、高斯函数等特殊函数考点，依据新课标要求梳理定义性质及图象，对接高考评价体系，分析幂函数性质应用、一次分式函数对称中心等高频考点分布，归纳多选题、填空题等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题再现+规律方法+对点训练”模式，如2021全国乙卷一次分式函数奇偶性题深度解析，通过分类讨论、数形结合培养数学思维与数学语言表达，助力学生突破高斯函数值域、最值函数应用等难点，教师可据此精准指导，提升复习效率。

第五节　简单的幂函数与几类常见的 特殊函数 高三一轮复习讲义 北师大版 第二章 函数与基本初等函数 课标研读 1.通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图 象，理解它们的变化规律， 了解幂函数.　 2.了解对勾函数、飘带函数、高斯函数、狄利克雷函数、最值函 数和一次分式函数的图象与性质. 04 03 考教衔接　精研教材 课时测评 02 考点探究　提升能力 教材梳理　夯实基础 01 内容索引 教材梳理　夯实基础 返回 1.幂函数 (1)定义：一般地，形如y＝xα(α为常数)的函数，即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数. (2)简单幂函数的图象和性质 幂函数 y＝x y＝x－1 y＝x2 y＝ y＝x3 图象 幂函数 y＝x y＝x－1 y＝x2 y＝ y＝x3 定义域 R _____________ R ____________ R 值域 R {y｜y∈R且y≠0} ____________ [0，＋∞) R 单调性 增 __________________ ________________ x∈[0，＋∞)增， x∈(－∞，0)减 增 增 奇偶性 奇函数 ________ 偶函数 非奇非偶函数 奇函数 {x｜x≠0} [0，＋∞) [0，＋∞) x∈(－∞，0)减， x∈(0，＋∞)减 奇函数 2.对勾函数、飘带函数   对勾函数 飘带函数 解析式 y＝ax＋(a＞0，b＞0) y＝ax－(a＞0，b＞0) 图象 定义域 _____________ _____________ {x｜x≠0} {x｜x≠0}   对勾函数 飘带函数 单调性 单增区间：； 单减区间：___________________________ 单增区间：(－∞，0)，(0，＋∞) 奇偶性 奇函数 ____函数 渐近线 y＝ax和x＝0 ______ 说明 关注北师教材必修一P61例5、P67T3(4) 关注北师教材必修 一P71T5 奇 x＝0 3.一次分式函数、高斯函数   一次分式函数 高斯函数 解析式 y＝(a≠0，ad≠bc) y＝[x] (不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，又叫取整函数) 图象   一次分式函数 高斯函数 定义域 R 值域 Z 性质 (1)单调性：当ad＞bc时，单减区间：，； 当ad＜bc时，单增区间：， (2)对称性：对称中心_______________ (3)渐近线方程：x＝－和y＝ 不具有单调性、奇偶性、周期性、对称性 说明 关注北师教材P70T3 关注北师教材P55例4 4.最值函数、狄利克雷函数D(x)＝ (1)设min{a，b}＝max{a，b}＝ 直观上来说min{a，b}的作用就是求a，b的最小值，我们将其称为最小值函数，同样，max{a，b}用来表示a，b的最大值，称作最大值函数. (2)狄利克雷函数的性质 ①定义域R；值域{0，1}.②奇偶性：偶函数. ③周期性：以任意正有理数为其周期，无最小正周期. ④无法画出函数的图象，但其图象客观存在. 常用结论 (1) 幂函数的图象一定过点(1，1)，一定不过第四象限. (2)对勾函数y＝ax＋(ab＞0)极值与图象的拐点可利用基本不等式求得. √ √ 自主检测 1.(多选题)下列说法正确的是 A.函数y＝2是幂函数 B.当α＞0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上是增函数 C.函数y＝x＋的单调增区间是(－∞，－)，(，＋∞). D.若幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点 √ 2.已知幂函数f (x)的图象经过点，则f (8)的值等于 A.4 B. C.8 D. 设幂函数f (x)＝xα，因为幂函数f (x)的图象经过点，所以f (5)＝5α＝，解得α＝－1，所以f (x)＝x－1，则f (8)＝8－1＝.故选D. f (x)＝＝＝1－，故其图象的对称中心为点(－2，1). 3.函数f (x)＝的图象的对称中心为__________. (－2，1) 4.设max{a，b}＝则函数f (x)＝max{x，x2}的最小值为_____. 0 作出f (x)的图象如图中所示的实线部分，由图可知f (x)的最小值为0. 返回 考点探究　提升能力 返回 考点一　幂函数的图象和性质 自主练透 √ 1.若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一平面直角 坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是 A.d＞c＞b＞a B.a＞b＞c＞d C.d＞c＞a＞b D.a＞b＞d＞c 由幂函数的图象可知，在区间(0，1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x轴，由题图知a＞b＞c＞d.故选B. √ 2. (多选题)已知幂函数f (x)的图象经过点，则下列命题正确的有 A.函数f (x)为偶函数 B.函数f (x)的定义域为[0，＋∞) C.函数f (x)的值域为[0，＋∞) D.f (x)在其定义域上单调递增 设f (x)＝xα，由f (x)的图象经过点，得＝，解得α＝，所以f (x)＝.对于A，f (x)＝的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以f (x)不具有奇偶性，故A错误；对于B，根据偶次方根的被开方数非负得f (x)＝的定义域为[0，＋∞)，故B正确；对于C，由f (x)＝在[0，＋∞)上是增函数，所以函数f (x)的值域为[0，＋∞)，故C正确；对于D，由f (x)＝在[0，＋∞)上是增函数，故D正确.故选BCD. √ √ √ 3. (2025·石家庄模拟)已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为 A.a＜b＜c B.c＜a＜b C.a＞b＞c D.b＜c＜a 由a＝，b＝，c＝，得a＝，b＝，c＝.因为幂函数y＝在区间(0，＋∞)上单调递增，且＜＜，所以＜＜，即c＜a＜b.故选B. 1.对于幂函数的图象首先画出第一象限内的部分，其余象限部分由奇偶性决定. 2.比较幂值的大小时，结合幂值的特点，选择适当的函数，借助单调性比较. 规律方法 考点二　对勾函数、飘带函数与一次分式函数 师生共研 典例1 (2025·安徽马鞍山模拟)已知函数y＝x＋有如下性质：如果常数t＞0，那么该函数在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数. (1)已知f (x)＝，x∈[0，1]，利用上述性质，求函数f (x)的值域； 解：y＝f (x)＝＝＝2x＋1＋－8， 设u＝2x＋1，x∈[0，1]，1≤u≤3，则y＝u＋－8，u∈[1，3]. 由已知性质得，y＝u＋－8在[1，2]上单调递减，在上单调递增， 所以当u＝2时，y取得最小值－4， 又当u＝1时，y＝－3，当u＝3时，y＝－， 所以－4≤y≤－3，即f (x)的值域为[－4，－3]. (2)对于(1)中的函数f (x)和函数g(x)＝－x＋－2a，若∀x1∈[0，1]，∃x2∈[1，2]，使得g(x2)＝f (x1)成立，求实数a的取值范围. 解：因为g(x)＝－x＋－2a在[1，2]上为减函数，故g(x)∈. 由题意，f (x)的值域是g(x)的值域的子集， 所以≤a≤. 所以实数a的取值范围为. 　　对于对勾函数、飘带函数与一次分式函数，要利用其性质(对称性、奇偶性、单调性以及渐近线)解决问题. 规律方法 对点练1.已知函数y＝(常数a∈Z).有如下三个条件：(1)在区间(1，＋∞)上是严格增函数；(2)在定义域上函数值恒为负值；(3)对称中心为(1，a). 问：是否存在整数a，使该函数满足条件(1)、(2)、(3)中的两个条件，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由. 解：y＝＝a＋＝f (x)，当a＋2≠0时，函数值域. 所以(2)成立只能a＝－2. 要使得y＝a＋在区间(1，＋∞)上是严格增函数，则a＋2＜0，a＜－2； 因为f (x)＋f (－x＋2)＝a＋＋a＋＝2a，所以函数f (x)的对称中心为(1，a)， 由(1)(3)得a＜－2，a∈Z.由(2)(3)可得a＝－2. 综上所述，a≤－2且a∈Z. 考点三　高斯函数、狄利克雷函数 师生共研 典例2 √ (1)(2025·江西景德镇模拟)高斯是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿并列，同享盛名.用他名字命名的高斯函数也称取整函数，记作[x]，是指不超过实数x的最大整数，例如[6.8]＝6，[－4.1]＝－5，该函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域.若函数f (x)＝log2，则当x∈[0，1]时， [f (x)]的值域为 A. B. C. D. 由－x2＋x＋2＞0，得(x＋1)＜0，解得－1＜x＜2，则f (x)的定义域为，当x∈[0，1]时，令t＝－x2＋x＋2，函数y＝－x2＋x＋2在上单调递增，在上单调递减，又u＝log2t在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x)在上单调递增，在上单调递减，所以f (x)的值域为，又因为1＝log22＜log2＜log24＝2，所以根据高斯函数定义可知.故选C. (2)(多选题)(2025·山东济南质检)德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名的函数f (x) ＝称为狄利克雷函数，则关于函数f (x)的叙述，正确的是 A.函数y＝f (x)的图象是两条直线 B.f (f (x))＝1 C.f ()＞f (1) D.∀x∈R，都有f (1－x)＝f (2＋x) 对于A，函数y＝f (x)的图象是断续的点集，不是两条直线，故A错误；对于B，当x为有理数时，f (x)＝1，所以f (f (x))＝f (1)＝1，当x为无理数时，f (x)＝0，f (f (x))＝f (0)＝1，故B正确； √ √ 对于C，f ()＝0，f (1)＝1，所以f (1)＞f ()，故C错误；对于D，由题意，函数定义域为R，且f (－x)＝f (x)，所以f (x)为偶函数，取不为零的有理数T，若x是有理数，则x＋T也是有理数；若x是无理数，则x＋T也是无理数；所以根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f (x＋T)＝f (x)对∀x∈R恒成立，故f (x＋2)＝f (x)＝f (－x)＝f (1－x)，所以∀x∈R，都有f (1－x)＝f (2＋x)，故D正确.故选BD. 　　此类问题属于新定义问题，解题时要根据题目提供的信息，转化为所学知识和方法来解决问题. 规律方法 对点练2.(1)已知狄利克雷函数D(x)＝则下列结论正确的是 A.D(x)是偶函数 B.D(x)是单调函数 C.D(x)的值域为[0，1] D.D(π)＞D(3.14) 对于A，当x∈Q时，显然－x∈Q，此时恒有D(x)＝D(－x)＝1，当x∉Q时，此时x是无理数，显然－x也是无理数，此时恒有D(x)＝D(－x)＝0，所以D(x)是偶函数，故A正确；对于B，因为D(0)＝D(1)＝1，所以函数D(x)不是实数集上的单调函数，故B不正确；对于C，由函数的解析式，可知D(x)的值域为{0，1}，故C不正确；对于D，因为D(π)＝0，D(3.14)＝1，所以D(π)＜D(3.14)，故D不正确.故选A. √ (2)(多选题)(2025·湖北名校联考)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如 [－2.1]＝－3，[2.1]＝2，则下列说法正确的是 A.函数y＝x－[x]在区间[k，k＋1)(k∈Z)上单调递增 B.若函数f (x)＝，则y＝[f (x)]的值域为{0} C.若函数f (x)＝｜－｜，则y＝[f (x)]的值域为{0，1} D.x∈R，x≥[x]＋1 √ √ 对于A，x∈[k，k＋1)，k∈Z，有[x]＝k，则函数y＝x－[x]＝x－k在[k，k＋1)上单调递增，故A正确；对于B，f ＝＝－∈(－1，0)，则＝－1，故B不正确；对于C，f (x)＝＝＝，当0≤｜cos 2x｜≤时，1≤2－2｜cos 2x｜≤2，1≤f (x)≤，有[f (x)]＝1，当＜｜cos 2x｜≤1时，0≤2－2｜cos 2x｜＜1，0≤f (x)＜1，有[f (x)]＝0，所以y＝[f (x)]的值域为{0，1}，故C正确；对于D，当x＝2时，[x]＋1＝3，有2＜[2]＋1，故D不正确.故选AC. 考点四　最值函数 师生共研 典例3 (多选题)(2025·江苏苏州模拟)定义min{x，y}表示x，y中的最小者，设函数f (x)＝min{x2－3x＋3，3－｜x－3｜}，则 A.f (x)有且仅有一个极小值点为 B.f (x)有且仅有一个极大值点为3 C.∀x∈∪，f (x)≤1 D.∃k∈R，f (x)≤k恒成立 √ √ √ 由题意，函数f (x)＝作出函数f (x)的 图象，如图所示，由图象知，f (x)有且仅有一个极小值点为， 故A正确；函数有两个极大值点1和3，故B错误；令f (x)≤1， 可得解得x≤2或x≥5，即当x∈∪时，f (x)≤1，故C正确；由图象知，当x＝3时，函数f (x)的最大值f (3)＝3，所以存在实数k≥3，使得f (x)≤k恒成立，故D正确.故选ACD. 　　通常利用函数的图象解决最值函数问题. 规律方法 对点练3.(2025·天津滨海新区模拟)给定函数f (x)＝x＋2，g(x)＝4－x2，对于∀x∈R，用M(x)表示f (x)，g(x)中的较小者，记为M(x)＝min{f (x)，g(x)}，则M(x)的最大值为___. 3 根据定义可得M(x)的图象如图： 由 得B，所以M(x)的最大值为3. 返回 考教衔接　精研教材 返回 真题再现 由题意可得f (x)＝＝－1＋，对于A，f (x－1)－1＝－2不是奇函数；对于B，f (x－1)＋1＝是奇函数；对于C，f (x＋1)－1＝－2，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，f (x＋1)＋1＝，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选B. √ (2021·全国乙卷)设函数f (x)＝，则下列函数中为奇函数的是 A.f (x－1)－1 B.f (x－1)＋1 C.f (x＋1)－1 D.f (x＋1)＋1 返回 教材呈现 (北师必修一P73B组T4)设f (x)＝，求证： (1)f (－x)＝(x≠±1)； (2)f ＝－f (x)(x≠－1，且x≠0). 点评：本题与教材习题函数关系式完全一致，都可以求出对应函数的关系式，考点、解法完全相同，是高考试题源于课本的典例. 课 时 测 评 返回 函数f (x)＝－的定义域为{x｜x≠2}，又f (x)＝－的图象是由y＝ －向右平移2个单位而来，y＝－的单调递增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，所以f (x)＝－的单调递增区间为(－∞，2)，(2，＋∞).故选D. √ 1.函数f (x)＝－的单调递增区间是 A.(2，＋∞) B.(－∞，2) C.(－∞，2)∪(2，＋∞) D.(－∞，2)，(2，＋∞) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 √ 因为幂函数f (x)＝x2m－3在(0，＋∞)上是增函数，所以解得m＝2.故选A. 2.(2025·广东广州模拟)若幂函数f (x)＝x2m－3在(0，＋∞)上单调递增，则实数m的值为 A.2 B.1 C.－1 D.－2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 √ 由题意函数f (x)＝，定义域为{x｜x≠1}，则f (2－x)＝＝，故f (x)＋f (2－x)＝＋＝＝＝4， 3.若函数f (x)＝，则f ＋f ＋…＋f ＋f ＋ f ＋… ＋f 的值为 A.2 022 B.4 042 C.4 044 D.8 084 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 即函数f (x)＝的图象关于点(1，2)成中心对称，故f ＋f ＝4，f ＋f ＝4，…，f ＋f ＝4，故f ＋ f ＋…＋f ＋f ＋f ＋…＋f ＝2 021×4＝8 084.故选D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 因为4－x≤x＋2⇒x≥1；4－x≤⇒x≥3；x＋2≤⇒x≤0，所以可得y＝又将x＝3代入y＝(6－x)得y＝1；将x＝3代入y＝4－x得y＝1，所以函数y在上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，将x＝0代入y＝得y＝2，将x＝0代入y＝x＋2得y＝2，所以函数y在x＝0处取得最大值为y＝2，无最小值.故选A. √ 4.对任意实数x，规定y取4－x，x＋2，三个值中的最小值，则函数y A.有最大值2，无最小值 B.有最大值2，最小值1 C.有最大值1，无最小值 D.无最大值，无最小值 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 √ 5.(多选题)高斯是德国著名的数学家，被认为是世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的称号.用其名字命名的“高斯函数”为：f (x)＝[x]，x∈R，其中[x]表示不超过x的最大整数，例如：＝－2，＝2.令函数g(x)＝x－[x]，则下列说法正确的是 A.x－1＜[x]≤x B.g(x)是周期函数 C.f (x)在R上单调递增 D.f ＝g √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 对于A，[x]表示不超过x的最大整数，故x－1＜[x]≤x，故A正确；对于B，函数g(x)＝x－[x]，则g(x＋1)＝x＋1－＝x－[x]＝g(x)，即g(x)是周期函数，故B正确；对于C，不妨取x＝1.2以及x＝1.3，则f ＝＝1，f ＝＝1，即f (x)在R上不单调递增，故C错误；对于D，f ＝＝1，g＝－＝，则g＝×＝1，即f ＝g，故D正确.故选ABD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 √ √ √ 对于A，当x为有理数时，－x为有理数，则D(－x)＝D(x)＝1.当x为无理数时，－x为无理数，则D(－x)＝D(x)＝0.故当x∈R 时，D(－x)＝D(x)，所以D(x)是偶函数，故A是真命题； 6.(多选题)德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名命名，其解析式为D(x)＝以下四个命题，其中真命题有 A.D(x)是偶函数 B.D(x)的周期是任意非零有理数 C.D是奇函数 D.∃x，y∈R，D＝D(x)＋D(y) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 对于B，∀r∈Q且r≠0，当x是有理数时，x＋r是有理数，D(x＋r)＝D(x)＝1.当x是无理数时，x＋r是无理数，D＝D(x)＝0.所以∀x∈R，D＝D(x)，故B是真命题；对于C，D＝1是偶函数，不是奇函数，故C是假命题；对于D，当x＝，y＝时，x＋y＝＋是无理数，则D＝0，D(x)＋D(y)＝0＋0＝0，满足D＝D(x)＋D(y)，故D是真命题.故选ABD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 在同一平面直角坐标系中作出两函数图象如图所示. 由图可得，函数f (x)＝x－8与g(x)＝3x－x2的交点为 (4，－4)，(－2，－10)，所以m(x)＝min{f (x)，g(x)} ＝故m(x)max＝ m(4)＝－4. 7.已知函数f (x)＝x－8，g(x)＝3x－x2，x∈R，用m(x)表示f (x)，g(x)中的较小者，记为m(x)＝min{f (x)，g(x)}，则函数m(x)的最大值为______. －4 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 因为f ≤f ，则f －f ≤0，k－＋－k－－＝－1≤0，即≤1，当k2－＜0，－＜k＜，因为k∈Z，则k＝0，t≥－.当k2－＞0，即k＞或k＜－时，t≤k2－恒成立，所以t≤＝.综上－≤t≤，所以实数t的最大值为. 8.因函数f (x)＝x＋(t＞0)的图象形状像对勾，我们称形如“f (x)＝x＋(t＞0)”的函数为“对勾函数”，该函数具有性质：在(0，)上是减函数，在(，＋∞)上是增函数，若对勾函数f (x)＝x＋(t＞0) 对于任意的k∈Z，都有f ≤f ，则实数t的最 大值为____. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 9.(13分)已知函数f (x)＝｜x－a｜－＋a，a∈R. (1)若a＝0，试判断f (x)的奇偶性，并说明理由；(3分) 解：当a＝0时，f (x)＝｜x｜－(x≠0)，f (－x)＝｜x｜＋≠f (x)，f (－x)≠－f (x)， 所以f (x)既不是奇函数又不是偶函数. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (2)若f (x)在[1，a]上单调，且对任意x∈[1，a]，f (x)＜－2恒成立，求a的取值范围；(4分) 解：法一：当x∈[1，a]时，f (x)＝－x－＋2a， 因为f (x)在[1，a]上单调，所以1＜a≤3，此时f (x)在[1，a]上单调递增， f (x)max＝f (a)＝－＋a， 由题意f (x)max＝－＋a＜－2恒成立， 即a2＋2a－9＜0，所以－－1＜a＜－1. 又1＜a≤3， 所以a的取值范围为(1，－1). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 法二：(参数分离)当x∈[1，a]时，f (x)＝－x－＋2a，因为f (x)由[1，a]上单调，所以1＜a≤3，由于f (x)＝－x－＋2a＜－2，即a＜－1， 只要a＜－1，解得－－1＜a＜－1，又1＜a≤3， 所以a的取值范围为(1，－1). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (3)若x∈[1，6]，当a∈(3，6)时，求f (x)的最大值的表达式M(a).(6分) 解：当x∈[1，6]时， F (x)＝ 又a∈(3，6)，由上式知，f (x)在区间(a，6]上单调递增. 当a∈(3，6)时，f (x)在[1，3)上单调递增，在[3，a]上单调递减. 所以f (x)在[1，3)上单调递增，在[3，a]上单调递减，在(a，6]上单调递增， 则f (x)max＝max{f (3)，f (6)} 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 ＝max＝ 综上所述，f (x)的最大值的表达式为M(a)＝ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 对于A，令－2≠0，解得x≠±2，所以f (x)的定义域为，则A正确；对于B，若x＞2，则f (x)＝，因为y＝x－2在(2，＋∞)上单调递增，且y＝x－2＞0，可知f (x)＝在(2，＋∞)上单调递减，故B 正确； 10.(多选题)已知函数f (x)＝，则 A.f (x)的定义域为 B.f (x)在(2，＋∞)上单调递减 C.f ＝－6 D.f (x)的值域是(－∞，0)∪(0，＋∞) √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 对于C，因为f ＝，所以f ＝－6，故C正确；对于D，因为x≠±2，则0，且≠2，可得－2∈∪(0，＋∞)，当－2∈时，f (x)＝≤－2；当－2∈(0，＋∞)时，f(x)＝＞0；所以f (x)的值域是∪(0，＋∞)，故D错误.故选ABC. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 √ 11.(多选题)(2025·湖南长沙期末)对于任意的x∈R，[x]表示不超过x的最大整数.十八世纪，y＝[x]被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”.下列说法正确的是 A.函数y＝[x]，x∈R的图象关于原点对称 B.函数y＝x－[x]，x∈R的值域为 C.对于任意的x，y∈R，不等式[x]＋恒成立 D.不等式2[x]2＋[x]－1＜0的解集为{x｜0≤x＜1} √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 对于A，当0≤x＜1时，y＝[x]＝0，当－1＜x＜0时，y＝[x]＝－1，所以y＝[x]，x∈R不是奇函数，即函数y＝[x]，x∈R的图象不是关于原点对称，故A错误；对于B，由取整函数的定义知，[x]≤x＜[x]＋1，所以x－1＜[x]≤x，所以0≤x－[x]＜1，所以函数y＝x－[x]，x∈R的值域为，故B正确；对于C，由取整函数的定义知，∀x，y∈R，[x]≤x，≤y，所以[x]＋＝[[x]＋[y]]≤，故C正确；对于D，由2[x]2＋[x]－1＜0得＜0，解得－1＜[x]＜，结合取整函数的定义可得，故D正确.故选BCD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 12.(15分)(一题多问)在研究函数过程中，经常会遇到一类形如y＝(k、f、d、e为实常数且d≠0)的函数，我们称为一次型分式函数.请根据条件完成下列问题. (1)设a是实数，函数f (x)＝，请根据a的不同取值，讨论函数y＝f (x)的奇偶性，并说明理由；(4分) 解：对于函数f (x)＝，其定义域为， 若a＝0，此时f (x)＝1，定义域关于原点对称，且显然有f (x)＝f (－x)， 故此时f (x)＝是偶函数， 若a≠0，则定义域不关于原点对称，故此时f (x)＝既不是奇函数也不是偶函数. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (2)设m是实数，函数g(x)＝.若g(x)＜0成立的一个充分非必要条件是＜x＜，求实数m的取值范围；(5分) 解：根据题意可知不等式g(x)＜0的解集包含区间， 由g(x)＝＜0⇒＜0， 若m－1＝2m，即m＝－1时，此时不等式无解，不符合题意； 若m－1＜2m，即m＞－1时，此时不等式的解集为， 要符合题意，则需m－1≤＜≤2m⇒m∈， 注意到等号不能同时取得，故满足条件； 若m－1＞2m，即m＜－1时，此时不等式的解集为， 显然m－1＜0＜，不符合题意. 综上，实数m的取值范围为. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (3)设n是实数，函数h(x)＝4－，若存在区间⊆，使得{y｜y＝h(x)，x∈}＝[nλ，nμ]，求n的取值范围.(6分) 解：易知函数h(x)＝4－上单调递增， 由题意可知⇒h(x)＝nx有两个不等实根， 即4－＝nx在上有两个不同解， 即n＝－＋4在上有两个不同解， 易知∈，由二次函数的性质可知3＜n＜4. 所以n的取值范围为. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 13.(多选题)(2025·江西南昌期末)函数f (x)＝x－[x]是物理中常见的锯齿波函数，其中[x]表示不大于x的最大整数，标准锯齿波波形先呈直线上升，随后陡落，再上升，再陡落，如此反复.下列说法正确的有 A.[x＋1]＝[x]＋1 B.函数y＝2x－[2x]的最小正周期为 C.函数y＝3x－[3x－1]的值域为[1，2] D.函数y＝x－[－x]为周期函数 √ √ 令x＝m＋t，m∈Z，0≤t＜1，则[x]＝m，[x＋1]＝[m＋t＋1]＝m＋1，而[x]＋1＝m＋1，故A正确； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 f (x＋1)＝x＋1－[x＋1]＝x＋1－([x]＋1)＝x－[x]＝f (x)，即f (x＋1)＝f (x)，所以f (x)是周期函数，1是f (x)＝x－[x]的一个周期，设T是函数f (x)＝x－[x]的一个周期，T≠0，即f (x＋T)＝f (x)，所以x＋T－[x＋T]＝x－[x]⇒T＝[x＋T]－[x]，故函数的周期为整数，而1是最小的正整数，故f (x)＝x－[x]的最小正周期为1，根据图象的伸缩变换，y＝2x－[2x]的图象是由f (x)＝x－[x]图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，所以函数y＝2x－[2x]的最小正周期为，故B正确； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 由f (x)＝x－[x]＝m＋t－m＝t，所以f (x)的值域为，而y＝3x－[3x－1]＝3x－＋1，又0≤3x－＜1⇒1≤3x－＋1＜2，即函数y＝3x－[3x－1]的值域为，故C错误；当x∈时，－x∈ ，所以＝－1，所以y＝x＋1，当x∈时，－2≤－x＜－1，＝－2，所以y＝x＋2，当x∈，－3≤－x＜－2，＝－3，y＝x＋3，y随x增大而增大，故不是周期函数，故D错误.故选AB. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 14.若函数f (x)在定义域内的某区间M上是增函数，且在M上是减函数，则称函数f (x)在M上是“弱增函数”，则下列说法正确的是______. ①若f (x)＝x2，则存在区间M使f (x)为“弱增函数”； ②若f (x)＝x＋，则存在区间M使f (x)为“弱增函数”； ③若f (x)＝x＋x3，则f (x)为R上的“弱增函数”； ④若f (x)＝x2＋(4－a)x＋a在区间(0，2]上是“弱增函数”，则a＝4. ②④ 对于①，f (x)＝x2在(0，＋∞)上为增函数，y＝＝x在(0，＋∞)上是增函数，因此不存在区间M使f (x)＝x2为“弱增函数”，故①错误；对于②，由对勾函数的性质知： 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 f (x)＝x＋在[1，＋∞)上为增函数，y＝＝1＋x－2在[1，＋∞)上为减函数，因此存在区间M＝[1，＋∞)使f (x)＝x＋为“弱增函数”，故②正确；对于③，函数f (x)＝x＋x3在R上单调递增，y＝＝1＋x2，显然函数在(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上为减函数，因此函数f (x)＝x＋x3不是R上的“弱增函数”，故③错误； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 对于④，若f (x)＝x2＋(4－a)x＋a在区间(0，2]上是“弱增函数”，则 f (x)＝x2＋(4－a)x＋a在(0，2]上为增函数，有－≤0，解得a≤4，又y＝＝x＋(4－a)＋在(0，2]上为减函数，而当a≤0时，y＝＝x＋(4－a)＋为增函数，不符合题意，于是a＞0，又由对勾函数的单调性知，函数y＝x＋在(0，]上是减函数，因此2，即a≥4，所以a＝4.故④正确.故答案为②④. 返回 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 谢 谢 观 看 简单的幂函数与几类常见的特殊函数 $