第二章 6 培优课1 函数性质的综合应用（课件PPT）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦函数性质综合应用专题，对接高考对逻辑推理、直观想象的考查要求，梳理奇偶性、单调性、周期性、对称性四大核心考点，通过考情分析明确客观题高频方向，归纳四大常考题型及解题策略，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题模拟+规律提炼+素养提升”，精选2025年陕西渭南、浙江杭州等模拟题，如例题1利用偶函数对称性与单调性解抽象不等式，通过“变量转化到同一单调区间”等方法培养数学思维，设置规律方法与对点练，助力学生掌握解题技巧，教师可据此高效开展复习教学。

培优课1　函数性质的综合应用 高三一轮复习讲义 北师大版 第二章 函数与基本初等函数 函数性质的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题的形式出现，通过分析函数的性质特点，结合图象研究函数的性质，往往多种性质结合在一起进行考查. 05 03 题型三　函数的奇偶性与对称性 课时测评 02 题型二　函数的奇偶性与周期性 题型一　函数的奇偶性与单调性 01 内容索引 04 题型四　函数的周期性与对称性 题型一　函数的奇偶性与单调性 返回 (1)(2025·陕西渭南模拟)已知f (x－1)为偶函数，且f (x)在上单调递增，若f (a－1)≤f (1)，则实数a的取值范围是 A.[－1，1] B.[－2，2] C.[－3，3] D.[－4，4] 典例1 √ 因为f (x－1)为偶函数，所以函数f (x)的图象关于x＝－1对称，又f (x)在上单调递增，f ≤f (1)，所以≤1＋1，解得－2≤a≤2，则实数a的取值范围是[－2，2].故选B. (2)(多选题)(2025·浙江杭州模拟)已知f (x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且f (x)，g(x)在[0，＋∞)上单调递增，则 A.f ＜f B.f ＜f C.g＜g D.g＜g √ 因为f (x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且f (x)，g(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f (1)＜f (2)，g(2)＞g(1)＞g(0)＝0，f (x)在(－∞，0)上单调递减，g(x)在R上单调递增，对于A，因为f (1)，f (2)的正负无法确定，若f (1)＜f (2)＜0，则f (f (1))＞f (f (2))，故A错误；对于B，由g(2)＞g(1)＞g(0)＝0，f (x)在[0，＋∞)上单调递增，则f (g(1))＜f (g(2))，故B正确；对于C，由f (1)＜f (2)，g(x)在R上单调递增，则g(f (1))＜g(f (2))，故C正确；对于D，由g(1)＜g(2)，g(x)在R上单调递增，则g(g(1))＜g(g(2))，故D正确.故选BCD. √ √ 奇偶性与单调性的综合问题及解题方法 规律方法 对点练1.已知函数y＝f 为偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，若 f (x)＜f ，则x的取值范围是______________________. (－∞，－1)∪ 因为y＝f (3x＋1)为偶函数，所以f (3x＋1)＝f (－3x＋1)，即f (x＋1)＝ f (－x＋1)，则f (x)关于x＝1对称，因为y＝f (3x＋1)在[0，＋∞)上为增函数，且x∈[0，＋∞)时，3x＋1∈[1，＋∞)，所以f (x)在[1，＋∞)上为增函数，在(－∞，1)上为减函数，由f (x)＜f (2x＋1)得＜，即＜，则(x－1)2＜(2x)2，解得x＜－1或x＞，所以x的取值范围为(－∞，－1)∪. 返回 题型二　函数的奇偶性与周期性 返回 √ (1)(2025·安徽亳州模拟)已知偶函数f (x)的定义域为R，f (x)＋f ＝0，且当x∈时，f (x)＝x2－，则f (2 025)＝ A.－ B.－1 C.1 D. 因为f (x)是偶函数，所以f (－x)＝f (x)，由f (x)＋f (3－x)＝0，得f (－x)＋ f (3－x)＝0，即f (x)＝－f (x＋3)，所以f (x)＝f (x＋6)，故f (x)的周期为6，故f (2 025)＝f (6×337＋3)＝f (3)，又由已知f (x)＋f (3－x)＝0得f (3)＝－f (0).因为当x∈时，f (x)＝x2－，所以f (3)＝－＝.故选D. 典例2 √ (2)已知f (x)是定义在R上的奇函数，又f (x)的图象关于x＝1对称，当x∈(0，1]时，f (x)＝－x2＋2x，则下列判断正确的是 A.f (x)的值域为(0，1] B.f (x)的周期为2 C.f (2 024)＝1 D.f (x＋1)是偶函数 对于A，当x∈(0，1]时，f (x)＝－x2＋2x，此时0＜f (x)≤1，又由f (x)是定义在R上的奇函数，则f (0)＝0，且当x∈[－1，0)时，－1≤f (x)＜0，故在区间[－1，1]上，－1≤f (x)≤1，故A错误；对于B，函数f (x)图象关于直线x＝1对称，则有f (2－x)＝f (x)，又由f (x)是定义在R上的奇函数，则f (x)＝－f (－x)＝－f (2＋x)，则有f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，故 f (x)是周期T＝4的周期函数，故B错误； 对于C，f (x)是周期T＝4的周期函数，则f (2 024)＝f (0)＝0，故C错误；对于D，f (x)的图象关于x＝1对称，向左平移1个单位得到f (x＋1)，则函数f (x＋1)的图象关于y轴对称，则f (x＋1)是偶函数，故D正确.故选D. 奇偶性与周期性综合问题的解题策略 规律方法 √ 对点练2.已知偶函数f (x)满足f (x＋2)＝f (x)，且当x∈[0，1]时，f (x)＝cosx，则x∈[2 025，2 026]时，f (x)的解析式为 A.f (x)＝sinx B.f (x)＝－sinx C.f (x)＝cosx D.f (x)＝－cosx 设x∈[－1，0]，则－x∈[0，1]，所以f (－x)＝cos＝cosx，因为f (x)为偶函数，所以f (x)＝f (－x)＝cosx，x∈[－1，0].因为f (x＋2)＝f (x)，所以函数f (x)的周期为2，设x∈[2 025，2 026]，则x－2 026∈[－1，0]，所以f (x)＝f (x－2 026)＝cos＝cos＝－cosx，x∈[2 025， 2 026].故选D. 返回 题型三　函数的奇偶性与对称性 返回 真题再现 构造函数g(x)＝xf (x)，该函数的定义域为R，所以g(－x)＝－xf (－x)＝ －xf (x)＝－g(x)，函数g(x)为奇函数，故函数g(x)图象的对称中心为坐标原点.对于A，函数y＝(x－1)f (x－1)的图象由函数g(x)的图象向右平移1个单位长度得到，故函数y＝(x－1)f (x－1)图象的对称中心为(1，0)； √ (1)已知f (x)是定义在R上的偶函数，则下列函数的图象一定关于点(－1，0)成中心对称的是 A.y＝(x－1)f (x－1) B.y＝(x＋1)f (x＋1) C.y＝xf (x)＋1 D.y＝xf (x)－1 典例3 对于B，函数y＝(x＋1)f (x＋1)的图象由函数g(x)的图象向左平移1个单位长度得到，故函数y＝(x＋1)f (x＋1)图象的对称中心为(－1，0)；对于C，函数y＝xf (x)＋1的图象由函数g(x)的图象向上平移1个单位长度得到，故函数y＝xf (x)＋1图象的对称中心为(0，1)；对于D，函数y＝xf (x)－1的图象由函数g(x)的图象向下平移1个单位长度得到，故函数y＝xf (x)－1图象的对称中心为(0，－1).故选B. 对于A，因为f (－x)＋f (x)＝0，且f (1－x)＝f (1＋x)，则f (1－(1＋x))＝ f (1＋(1＋x))，即f (－x)＝f (x＋2)，则f (x＋2)＝－f (x)，故A错误；对于B，因为f (x＋2)＝－f (x)，则f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，因为f (－x)＋ f (x)＝0，则f (－(2＋x))＋f (2＋x)＝0，即f (2＋x)＝－f (－2－x)＝－f (2－x)，即f (2＋x)＋f (2－x)＝0，故函数y＝f (x)的图象关于点(2，0)对称，故B正确； √ (2)(多选题)已知定义域为R的函数f (x)满足f (－x)＋f (x)＝0，且f (1－x)＝ f (1＋x)，则下列结论一定正确的是 A.f (x＋2)＝f (x) B.函数y＝f (x)的图象关于点(2，0)对称 C.函数y＝f (x＋1)是偶函数 D.f (2－x)＝f (x－1) √ 对于C，因为f (1－x)＝f (1＋x)，故函数y＝f (x＋1)是偶函数，故C正确；对于D，因为f (1－x)＝f (1＋x)，则f (1－(x－1))＝f (1＋(x－1))，即f (2－x)＝f (x)，没有条件能说明f (x)＝f (x－1)，故D错误.故选BC. 　　由函数的奇偶性与对称性可求函数的周期，常用于化简求值、比较大小等. 规律方法 √ 对点练3.(1)若定义在R上的奇函数f (x)满足f (2－x)＝f (x)，在区间(0，1)上，有(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]＞0，则下列说法正确的是 A.函数f (x)的图象关于点(1，0)中心对称 B.函数f (x)的图象关于直线x＝2轴对称 C.在区间(2，3)上，f (x)单调递减 D.f ＞f f (4－x)＝f (2－(x－2))＝f (x－2)＝－f (2－x)＝－f (x)，即f (4－x)＋f (x)＝0，故f (x)的图象关于点(2，0)中心对称，因为f (2－x)＝f (x)，则f (x)的图象关于直线x＝1轴对称，故A、B错误；根据题意可得，f (x)在(0，1)上单调递增，因为f (x)的图象关于直线x＝1轴对称，关于点(2，0)中心对称，则f (x)在(2，3)上单调递减，故C正确；又因为f (x)＝f (2－x)＝－f (x－2)，则f (x＋2)＝－f (x)，所以f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，可知f (x)的周期为4，则f ＝f ＜f ，故D错误.故选C. √ (2)(多选题)(2025·河南驻马店模拟)已知函数f (x)的定义域为R，函数F(x)＝f (1＋x)－(1＋x)为偶函数，函数G(x)＝f －1为奇函数，则 A.函数f (x)的一个对称中心为(2，1) B.f (0)＝－1 C.函数f (x)为周期函数，且一个周期为4 D.f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝6 √ √ 对于A，由函数G(x)＝f －1为奇函数，故f －1＝ －f ＋1，即f ＋f ＝2，即f (2＋x)＋f (2－x)＝2，故函数f (x)的一个对称中心为(2，1)，故A正确；对于B，由f (2＋x)＋ f (2－x)＝2，令x＝0，则f (2)＋f (2)＝2，即f (2)＝1，由函数F(x)＝f (1＋x)－(1＋x)为偶函数，故f (1＋x)－(1＋x)＝f (1－x)－(1－x)，即f (1＋x)＝f (1－x)＋2x，令x＝－1，则f (0)＝f (2)－2＝1－2＝－1，故B正确；对于C，由函数f (x)的一个对称中心为(2，1)，f (0)＝－1，则f (4)＝3，即 f (0)≠f (4)，故函数f (x)不以4为周期，故C错误；对于D，由f (2＋x)＋ f (2－x)＝2，令x＝1，有f (3)＋f (1)＝2，由f (2)＝1，f (4)＝3，故f (1)＋ f (2)＋f (3)＋f (4)＝6，故D正确.故选ABD. 返回 题型四　函数的周期性与对称性 返回 √ (2025·北京大兴模拟)已知函数f (x)对任意x∈R都有f (x＋2)＝ －f (x)，且f (－x)＝－f (x)，当x∈(－1，1]时，f (x)＝x3.则下列结论正确 的是 A.函数y＝f (x)的图象关于点(k，0)(k∈Z)对称 B.函数y＝f (x)的图象关于直线x＝2k(k∈Z)对称 C.当x∈[2，3]时，f (x)＝(x－2)3 D.函数y＝｜f (x)｜的最小正周期为2 典例4 因为f (x＋2)＝－f (x)，所以f (x)＝－f (x－2)， 故f (x＋2)＝f (x－2)，所以f (x)的周期为4，又 f (－x)＝－f (x)，所以f (－x)＝f (x－2)，故f (x) 关于x＝－1对称，又当x∈(－1，1]时，f (x)＝x3，故画出f (x)的部分图象 如下： 对于A，函数y＝f (x)的图象不关于点(1，0)中心对称，故A错误；对于B，函数y＝f (x)的图象不关于直线x＝2对称，故B错误；对于C，当x∈[2，3]时，x－2∈[0，1]，则f (x)＝－f (x－2)＝－(x－2)3，故C错误；对于D，由图象可知y＝f (x)的最小正周期为4，又｜f (x＋2)｜＝｜－f (x)｜＝ ｜f (x)｜，故y＝｜f (x)｜的最小正周期为2，故D正确.故选D. 　　函数f (x)满足的关系f (a＋x)＝f (b－x)表明的是函数图象的对称性，函数f (x)满足的关系f (a＋x)＝f (b＋x)(a≠b)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆. 规律方法 f (x)的图象关于x＝－3对称，则f (－x)＝f (x－6)，又f (x＋3)＝f (x－3)，则f (x)的周期T＝6，所以f (－x)＝f (x－6)＝f (x)，所以f (x)为偶函数，故A正确；当x∈[0，3]时，f (x)＝4x＋2x－11单调递增，因为T＝6，故f (x)在[－6，－3]上也单调递增，故B不正确；f (x)关于x＝－3对称且T＝6，所以f (x)关于x＝3对称，故C正确；f (100)＝f (16×6＋4)＝f (4)＝f (－2)＝f (2)＝9，故D正确.故选ACD. √ 对点练4.(多选题)已知f (x)的定义域为R，其函数图象关于直线x＝－3对称，且 f (x＋3)＝f (x－3)，若当x∈[0，3]时，f (x)＝4x＋2x－11，则下列结论正确的是 A.f (x)为偶函数 B.f (x)在[－6，－3]上单调递减 C.f (x)关于x＝3对称 D.f (100)＝9 √ √ 返回 课 时 测 评 返回 因为f (x)是定义在R上的奇函数，所以f (0)＝0，f (－x)＝－f (x)，由函数 f (x)的周期为4，得f (x＋4)＝f (x)，所以f (－2)＝f (2)＝－f (－2)，则 f (－2)＝f (2)＝0，又f (1)＝1，所以f (2 024)＋f (2 025)＋f (2 026)＝f (0) ＋f (1)＋f (2)＝0＋1＋0＝1.故选A. √ 1.已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，周期为4，且f (1)＝1，则f (2 024)＋f (2 025)＋f (2 026)＝ A.1 B.2 C.0 D.－1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 √ 由f (1－x)＝f (1＋x)，得f (－x)＝f (x＋2)，又由f (x)是奇函数，得f (－x)＝－f (x)，两式消元得－f (x)＝f (x＋2)，又由此可得－f (x＋2)＝f (x＋4)，则f (x＋4)＝f (x)，即可得f (x)是一个周期为4的周期函数.所以 f (2 024)＝f (0)，又f (0)＝0，则f (2 024)＝f (0)＝0.故选A. 2.(2025·广西桂林模拟)已知定义域为R的函数f (x)是奇函数，且f (1＋x)＝ f (1－x)，则f (2 024)＝ A.0 B.1 C.2 D.3 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 √ 因为f (x)＝f (2－x)，所以f (x)的图象关于直线x＝1对称，因为f (x)在区间[1，2]上单调递减，所以f (x)在区间[0，1]上单调递增，又因为f (x)是偶函数，所以f (x)＝f (－x)，所以f (2－x)＝f (－x)，所以f (x)是周期为2的函数，所以f (x)在区间[－2，－1]上也单调递增.故选B. 3.定义在R上的函数f (x)是偶函数，且f (x)＝f (2－x)，若f (x)在区间[1，2]上单调递减，则函数f (x) A.在区间[0，1]上单调递增，在区间[－2，－1]上单调递减 B.在区间[0，1]上单调递增，在区间[－2，－1]上单调递增 C.在区间[0，1]上单调递减，在区间[－2，－1]上单调递减 D.在区间[0，1]上单调递减，在区间[－2，－1]上单调递增 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 由f ＝f ＝－f (f (x))，且定义域(全体实数)关于原点对称，得 f (f (x))是奇函数，由f ＝f (g(x))，且定义域(全体实数)关于原点对称，得f (g(x))为偶函数，故A、B均错误；由题易知函数f (x)在R上单调递减，函数g(x)在(－∞，0)上单调递增，由－1＞－2，得f (－1)＜f (－2)，从而f ＞f ，即C错误；由0＝f (0)＜f (－1)＜f (－2)，得＜f (－2)，从而g＞g，即D正确.故选D. √ 4.(2025·陕西渭南模拟)已知f (x)是定义在R上的奇函数，g(x)是定义在R上的偶函数，且f (x)，g(x)在[0，＋∞)上单调递减，则 A.f (f (x))是偶函数 B.f (g(x))是奇函数 C.f ＜f D.g＞g 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 √ 因为y＝g(2x－1)＋1为奇函数，所以g(－2x－1)＋1＝－g(2x－1)－1，即g(－2x－1)＋g(2x－1)＝－2，故g(x)的对称中心为，即(－1， －1)，由于函数y＝f (x)与y＝g(x)的图象关于直线x＝1对称，且(－1，－1)关于x＝1的对称点为(3，－1)，故y＝f (x)的对称中心为(3，－1).故选D. 5.(2025·四川成都模拟)定义在R上的函数y＝f (x)与y＝g(x)的图象关于直线x＝1对称，且函数y＝g(2x－1)＋1为奇函数，则函数y＝f (x)图象的对称中心是 A.(－1，－1) B.(－1，1) C. D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 √ √ √ f (x)是偶函数，所以f (－x)＝f (x)，因为f (x＋1)是奇函数，所以f (1－x)＝－f (1＋x)，即f (1－x)＋f (1＋x)＝0，故f (x)关于点(1，0)对称，故A正确；因为f (1－x)＋f (1＋x)＝0，令x＝0，得f (1)＝0，从而f (－1)＝f (1)＝0，所以f (－1)＝k·3－1－2＝0，故k＝6，故B正确； 6. (多选题)(2025·安徽阜阳期中)已知f (x)是定义在R上的偶函数，f (x＋1)为奇函数，当x∈[－1，0]，f (x)＝k·3x－2，则下列说法中正确的是 A.f (x)关于点(1，0)对称 B.k＝6 C.f (2 026)＝－4 D.2是f (x)的一个周期 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 因为f (1－x)＝f (x－1)，所以f (x－1)＝－f (x＋1)，f (x＋1)＝－f (x＋3)，且f (x－1)＝f (x＋3)，所以周期T＝4，故D错误；由f (2 026)＝f (4×506＋2)＝f (2)，且x∈[－1，0]，f (x)＝6×3x－2，故f (0)＝6×30－2＝6－2＝4，在式子f (x－1)＝－f (x＋1)中，令x＝1，得f (0)＝－f (2)，所以f (2)＝－4，故C正确.故选ABC. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 √ √ 7.(多选题)(2025·安徽滁州期末)已知定义在R上的函数y＝f (x)满足f (x)＋ f (－x)＝0，且f (1－x)＝f (1＋x).若x∈[0，1]时，f (x)＝log2(x＋1)，则 A.f (x)的最小正周期T＝4 B.f (x)的图象关于对称 C.f ＝1－log23 D.函数y＝f (x)＋在区间[－2，0]上所有零点之和为－2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 因为f (x)＋f (－x)＝0，所以f (x)是奇函数；因为f (1－x)＝f (1＋x)，所以f (x)的图象关于x＝1对称，所以f (2＋x)＝f ＝f (－x)＝－f (x)，则f ＝ －f (2＋x)，因而f ＝f (x)，所以f (x)的最小正周期T＝4，故A正确；由f (4 050－x)＝f ＝f (2－x)＝f (x)，则f (x)的一个对称轴为x＝2 025，故B错误；f ＝f ＝f ＝f ＝log23－1，故C错误；当x∈[0，1]时，f (x)＝log2(x＋1)单调递增且值域为[0，1]，因为f (x)的图象关于x＝1对称，所以f (x)在[1，2]单调递减且值域为[0，1]，又因为f (x)是奇函数，所以 f (x)在[－2，0]的图象关于x＝－1对称且值域为[－1，0]，所以函数y＝f (x)＋在区间[－2，0]上有两个零点，且所有零点之和为－2，故D正确.故选AD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 由条件②函数y＝f (x)的图象关于直线x＝1对称，所以f (－1)＝f (3)，由①f (x＋1)＝－f (x)，可得f (3)＝f (2＋1)＝－f (2)， 8.已知定义在R上的函数y＝f (x)满足以下三个条件： ①对于任意的x∈R，都有f (x＋1)＝－f (x)； ②函数y＝f (x)的图象关于直线x＝1对称； ③对于任意的x1，x2∈[0，1]，＞0.则f (－1)，f ，f (2)的大小顺序是____________________.(用“＜”连接) f (－1)＜f ＜f (2) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 因为f (2)＝f (1＋1)＝－f (1)，即－f (2)＝f (1)，所以f (3)＝f (1)，所以 f (－1)＝f (1)，由③知＜0，所以函数f (x)在[0，1]上单调递减，由条件②函数y＝f (x)的图象关于直线x＝1对称，所以f (x)在[1，2]上单调递增，所以f (1)＜f ＜f (2)，即f (－1)＜f ＜f (2). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 因为函数y＝f (x)的图象关于直线x＝对称，且f (x)共有3个零点，则x＝必为其中一个零点，并且另外两个零点关于x＝对称，所以所有零点之和为. 9.若函数y＝f (x)的图象关于直线x＝对称，且y＝f (x)共有3个零点，则所 有零点之和为____. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 由题意可知，f (x)是偶函数，f (x)不存在对称中心，f (x)存在最小正周期，且最小正周期为2，所以f (x)＝满足题意. 10.(开放题)(2025·广东广州模拟)写出一个同时具有下列性质的函数f (x)＝ ____________. ①f (x)是偶函数；②f (x)不存在对称中心；③f (x)存在最小正周期，且最小正周期为2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 √ 11.(2025·河北沧州模拟)已知函数f (x)定义域为R，且函数f (x)与f (x＋1)均为偶函数，当x∈[0，1]时，f (x)是减函数，设a＝f ，b＝f ，c＝ f ，则a，b，c的大小关系为 A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.c＞a＞b D.b＞a＞c 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 因为函数f (x)是偶函数，则f (－x)＝f (x)，又函数f (x＋1)为偶函数，则 f (－x)＝f (2＋x)，即f (x)＝f (2＋x)，所以函数f (x)是周期为2的函数，则b＝f ＝f ，c＝f ＝f (log162)＝f ，且当x∈[0，1]时， f (x)是减函数，由＜＜可得f ＞f ＞f ，即c＞a＞b.故选C. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 12.(多选题)(2025·江苏盐城开学考)已知函数f (x)，g(x)的定义域均为R，函数f (x＋2)为奇函数，f (x－1)为偶函数，g(x)为奇函数，g(x)的图象关于直线x＝2对称，则下列说法正确的是 A.函数f (x)的一个周期为6 B.函数g(x)的一个周期为8 C.若f (0)＝2，则f (6)＋g(12)＝－2 D.若2≤x＜4时，g(x)＝ln(x＋1)，则当10≤x＜12时，g(x)＝ln(x－7) √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 对于A，由函数f (x＋2)为奇函数，得f (－x＋2)＝－f ( x＋2)，即f (4－x)＝ －f (x)，由f (x－1)为偶函数，得f (－x－1)＝f (x－1)，即f (－x－2)＝f (x)，因此f (4－x)＝－f (－x－2)，即f (x＋6)＝－f (x)，f (x＋12)＝－f (x＋6)＝f (x)，则函数f (x)的一个周期为12，由于－f (x)与f (x)不一定恒等，故A错误；对于B，由g(x)的图象关于直线x＝2对称，得g(4－x)＝g(x)，由g(x)为奇函数，得g(－x)＝－g(x)，则g(4－x)＝－g(－x)，即g(x＋4)＝－g(x)，因此g(x＋8)＝ －g(x＋4)＝g(x)，函数g(x)的一个周期是8，故B正确；对于C，f (6)＝－f (0)＝－2，g(4)＝g(0)＝0，因此f (6)＋g(12)＝－2＋g(4)＝－2，故C正确；对于D，2≤x＜4时，g(x)＝ln(x＋1)，由10≤x＜12，得2≤x－8＜4，因此g(x)＝g(x－8)＝ln(x－8＋1)＝ln(x－7)，故D正确.故选BCD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 13.(2025·广西梧州模拟)若m∈R，f (x)＝则满足f f 的m的最大值为_____. － 当x＞0时，－x＜0，即f (－x)＝＝2x＝f (x)，当x＜0时，－x＞0，即 f (－x)＝2－x＝＝f (x)，在上，f (－x)＝f (x)都成立，即f (x)为偶函数.因为f (x)在(0，＋∞)上单调递增，所以不等式f f ，即，解得m≤ －.故m的最大值为－. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 √ 14.(2025·山东聊城模拟)设函数f (x)的图象与函数y＝2cos πx的图象关于x轴对称，将f (x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则函数y＝的图象与y＝g(x)的图象的所有交点的横坐标之和为 A.8 B.6 C.4 D.2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 由题意得f (x)＝－2cos πx，则g(x)＝ －2cos＝－2sin πx.函数y＝ 的图象由函数y＝的图象向右平移1个单位长度 得到.由函数y＝的图象与y＝g(x)的图象都关于点(1，0)对称，在定义域内有4个交点.所以函数y＝的图象与y＝g(x)的图象的所有交点的横坐标之和为2×2＝4.故选C. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 15.(多选题)(2025·陕西渭南模拟)已知f (x)是定义在R上的函数，f (x)－ f (－x)＝0，且满足f (x＋1)为奇函数，当x∈[0，1)时，f (x)＝－cos，下列结论正确的是 A.f (1)＝0 B.f (x)的周期为2 C.f (x)的图象关于点(1，0)中心对称 D.f ＝－ √ √ √ 因为f (x＋1)为奇函数，所以f (－x＋1)＝－f (x＋1)，所以f (－0＋1)＝ －f (0＋1)，所以f (1)＝0，故A正确；因为当x∈[0，1)时，f (x)＝ －cos，所以f (0)＝－cos 0＝－1，因为f (－x＋1)＝－f (x＋1)，所以 f (2)＝－f (0)＝1，故f (2)≠f (0)，所以2不是f (x)的周期，故B错误； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 返回 因为f (x＋1)为奇函数，所以函数f (x＋1)的图象关于原点对称，所以f (x)的图象关于点(1，0)中心对称，故C正确；由f (－x＋1)＝－f (x＋1)， f (x)－f (－x)＝0，可得f (x＋2)＝－f (－x－1＋1)＝－f (－x)＝－f (x)，所以f (x＋4)＝f (x＋2＋2)＝－f (x＋2)＝f (x)，所以函数f (x)为周期函数，周期为4，所以f ＝f ＝f ＝f ，又当x∈[0，1)时，f (x)＝－cos，所以f ＝－cos＝－，故D正确.故选ACD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 函数性质的综合应用 $