第二章 5 第四节 函数的对称性（课件PPT）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦“函数的对称性”核心考点，覆盖函数自身轴对称与中心对称、两个函数对称关系及对称性与周期性关联等高考必备内容。依据高考评价体系梳理教材基础，结合近考真题分析考点权重，归纳对称中心求解、利用对称比较大小等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题引领+素养导向”，如整合2024新课标Ⅰ卷中心对称证明题，通过典例1展开奇函数解析式推导对称中心，培养学生数学思维与推理能力。提供“对称性质转化”等应试技巧，帮助学生掌握答题逻辑，教师可借助课时测评精准把握学情，助力高效复习。

第四节　函数的对称性 高三一轮复习讲义 北师大版 第二章 函数与基本初等函数 课标研读 1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.　2.会利用对称公式解决问题. 04 03 考教衔接　精研教材 课时测评 02 考点探究　提升能力 教材梳理　夯实基础 01 内容索引 教材梳理　夯实基础 返回 1.函数图象的对称性 (1)若函数y＝f (x＋a)是偶函数，则函数y＝f (x)的图象关于直线x＝a对称. (2)若函数y＝f (x＋b)是奇函数，则函数y＝f (x)的图象关于点(b，0)对称. (3)若函数y＝f (x)满足f (a＋x)＝f (b－x)，则y＝f (x)的图象关于直线x＝____ 对称. 特别地，当a＝b时，即f (a＋x)＝f (a－x)或f (x)＝f (2a－x)时，y＝f (x)的图象关于直线x＝___对称. a 微提醒　具有对称性的等式两边的x的系数互为相反数，而具有周期性的等式两边的x的系数是相同的，也就是说同号求周期，异号求对称. (4)若函数y＝f (x)满足f (x)＋f (2a－x)＝2b，则y＝f (x)的图象关于点________对称. 特别地，当b＝0时，即f (a＋x)＋f (a－x)＝0或f (x)＋f (2a－x)＝0时，y＝ f (x)的图象关于点________对称. (a，b) (a，0) 2.两个函数图象的对称 (1)函数y＝f (x)与y＝f (－x)关于_____对称. (2)函数y＝f (x)与y＝－f (x)关于_____对称. (3)函数y＝f (x)与y＝－f (－x)关于______对称. y轴 x轴 原点 常用结论 函数对称性与周期性的关系 (1)若函数f (x)的图象关于直线x＝a和直线x＝b(a≠b)对称，则y＝f (x)的一个周期为2｜b－a｜. (2)若函数f (x)的图象关于点(a，0)和点(b，0)(a≠b)对称，则y＝f (x)的一个周期为2｜b－a｜. (3)若函数f (x)的图象关于直线x＝a和点(b，0)(a≠b)对称，则y＝f (x)的一个周期为4｜b－a｜. √ √ 自主检测 1.(多选题)下列结论正确的是 A.函数y＝f (x＋1)是偶函数，则函数y＝f (x)的图象关于直线x＝1对称 B.函数y＝f (x－1)是奇函数，则函数y＝f (x)的图象关于点(1，0)对称 C.若函数f (x)满足f (x－1)＋f (x＋1)＝0，则f (x)的图象关于y轴对称 D.若函数f (x)满足f (2＋x)＝f (2－x)，则f (x)的图象关于直线x＝2对称 √ 2.函数f (x)＝图象的对称中心为 A.(0，0) B.(0，1) C.(1，0) D.(1，1) 因为f (x)＝＝1＋，由y＝向上平移一个单位长度得到y＝1＋，又y＝关于(0，0)对称，所以f (x)＝1＋的图象关于(0，1)对称.故选B. √ 3.已知定义在R上的函数f (x)在(－∞，2)上单调递增，且f (x＋2)＝f (2－x)对任意x∈R恒成立，则 A.f (－1)＜f (3) B.f (0)＞f (3) C.f (－1)＝f (3) D.f (0)＝f (3) 因为f (x＋2)＝f (2－x)，所以f (x)的图象关于直线x＝2对称，所以f (3)＝ f (1)，由于f (x)在(－∞，2)上单调递增，所以f (－1)＜f (1)＝f (3)，f (0)＜f (1)＝f (3).故选A. 返回 4.偶函数y＝f (x)的图象关于直线x＝2对称，且当x∈[2，3]时，f (x)＝2x－1，则f (－1)＝___. 因为f (x)为偶函数，所以f (－1)＝f (1)，由f (x)的图象关于x＝2对称，可得f (1)＝f (3)＝2×3－1＝5. 5 考点探究　提升能力 返回 考点一　轴对称问题 自主练透 √ 1.设f (x)＝x2＋bx－3，且f (－2)＝f (0)，则f (x)≤0的解集为 A. B. C. D. 二次函数f (x)＝x2＋bx－3，f (－2)＝f (0)，则－＝，得b＝2， f (x)≤0即x2＋2x－3≤0，解得－3≤x≤1，则原不等式的解集为[－3，1].故选B. √ 2.(2025·广东湛江模拟)已知函数f (x)在上单调递减，且f (x)的图象关于直线x＝3对称，则a＝f ，b＝f (2)，c＝f (0)的大小关系是 A.a＞b＞c B.b＞c＞a C.c＞b＞a D.b＞a＞c 因为函数f (x)在上单调递减，且f (x)的图象关于直线x＝3对称，所以函数f (x)在(－∞，3)上单调递增，因为0＜0.2＜2，所以f (0)＜ f (0.2)＜f (2)，即b＞a＞c.故选D. √ 3.(2025·湖南湘西期末)已知f (x＋5)为偶函数，若函数y＝与y＝f (x)图象的交点为，，…，，则xi＝ A.45 B.－45 C.90 D.－90 因为f (x＋5)为偶函数，所以f (x＋5)＝f (－x＋5)，即函数y＝f (x)的图象关于直线x＝5对称，又函数y＝的图象关于直线x＝5对称，所以函数y＝与y＝f (x)图象的交点关于直线x＝5对称，由交点有9个，故两函数必都过点(5，0)，即xi＝5×9＝45.故选A. 轴对称问题的常用性质 1.函数y＝f (x)的图象关于直线x＝a对称⇔f (x)＝f (2a－x)⇔ f (a－x)＝f (a＋x). 2.若函数y＝f (x)满足f (a＋x)＝f (b－x)，则y＝f (x)的图象关于直线x＝成轴对称. 规律方法 考点二　中心对称问题 师生共研 典例1 √ (1)(2025·河北石家庄模拟)已知函数y＝f (x－1)为奇函数，则函数y＝f (x)＋1的图象 A.关于点(1，1)对称 B.关于点(1，－1)对称 C.关于点(－1，1)对称 D.关于点(－1，－1)对称 函数y＝f (x－1)为奇函数，图象关于点(0，0)对称，将函数y＝f (x－1)向左平移一个单位可得函数y＝f (x)，则函数y＝f (x)关于点对称，所以函数y＝f (x)＋1的图象关于点(－1，1)对称.故选C. √ (2)(2025·浙江温州期末)我们知道：y＝f (x)的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是y＝f (x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：y＝f (x)的图象关于(a，b)成中心对称图形的充要条件是y＝f (x＋a)－b为奇函数.若f (x)＝x3－3x2的对称中心为(m，n)，则f (2 025)＋f (2 023)＋…＋f(3)＋f (－1)＋ f (－3)＋f (－5)＋…＋f (－2 021)＋f (－2 023)＝ A.8 096 B.－8 096 C.4 048 D.－4 048 因为f (x)＝x3－3x2的对称中心为(m，n)，所以g(x)＝f (x＋m)－n＝(x＋m)3－3(x＋m)2－n为奇函数，g(x)＝(x＋m)2(x＋m－3)－n＝x3＋(3m－3)x2＋(3m2－6m)x＋m3－3m2－n，所以g(－x)＋g(x)＝2x2＋2(m3－3m2－n)＝0，所以所以f (x)＝x3－3x2的对称中心为(1，－2)，所以f (x＋2)＋f (－x)＝－4，所以f (2 025)＋f (－2 023)＝－4，f (2 023)＋f (－2 021)＝－4，…，f (5)＋f (－3)＝－4，f (3)＋f (－1)＝－4，所以f (2 025)＋f (2 023)＋…＋f (3)＋f (－1)＋f (－3)＋f (－5)＋…＋f (－2 021)＋f (－2 023)＝－4×1 012＝－4 048.故选D. 中心对称问题的常用性质 1.函数y＝f (x)的图象关于点(a，b)对称⇔f (a＋x)＋f (a－x)＝2b⇔2b－f (x)＝f (2a－x). 2.若函数y＝f (x)满足f (a＋x)＋f (b－x)＝c，则y＝f (x)的图象关于点成中心对称. 注意：对于函数自身对称的性质可以简记为：函数自身对称求平均，即性质2关于点，也就是关于点对称. 规律方法 √ 对点练1.(1)(2025·湖南长沙模拟)已知函数f (x)的定义域为R，且y＝f (x＋1)的图象关于点(－1，0)成中心对称.当x＞0时，f (x)＝，则f (－2)＝ A.1 B.3 C.－1 D.－3 因为将y＝f (x＋1)的图象向右平移1个单位长度后，得到函数y＝f (x)的图象且y＝f (x＋1)的图象关于点(－1，0)成中心对称，所以y＝f (x)的图象关于原点成中心对称，则y＝f (x)在R上是奇函数，所以f (－2)＝ －f (2)＝－＝－1.故选C. √ (2)(多选题)下列说法中，正确的是 A.函数f (x)＝的图象关于点(－2，2)中心对称 B.函数f (x)满足f (2x－1)为奇函数，则函数f (x)关于点(－1，0)中心对称 C.若函数y＝f (x)过定点(0，1)，则函数y＝f (x－1)＋1过定点(1，2) D.函数y＝的图象关于点(3，c)中心对称，则b＋c＝2 对于A，f (x)＝＝＝2－，其图象可以由y＝－的图象向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，且y＝－的图象关于原点对称，故f (x)＝的图象关于点(－2，2)中心对称，故A正确； √ √ 对于B，因为f (2x－1)为奇函数，所以f (2x－1)＝－f (－2x－1)，所以 f (x－1)＝－f (－x－1)，所以f (x)＝－f (－x－2)，所以函数f (x)关于点(－1，0)中心对称，故B正确；对于C，函数y＝f (x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数y＝f (x－1)＋1的图象，由于y＝f (x)过定点(0，1)，故函数y＝f (x－1)＋1过定点(1，2)，故C正确；对于D，函数y＝＝＝1＋的图象关于点(3，c)中心对称，所以解得b＝3，c＝1，所以b＋c＝4，故D不正确.故选ABC. 考点三　两个函数图象的对称 师生共研 典例2 √ (1)已知函数y＝f (x)是定义域为R的函数，则函数y＝f (x＋2)的图象与y＝f (4－x)的图象 A.关于直线x＝1对称 B.关于直线x＝3对称 C.关于直线y＝3对称 D.关于点(3，0)对称 设P(x0，y0)为y＝f (x＋2)图象上任意一点，则y0＝f (x0＋2)＝f (4－(2－x0))，所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f (4－x)的图象上，而P(x0，y0)与Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称，所以函数y＝f (x＋2)的图象与y＝f (4－x)的图象关于直线x＝1对称.故选A. √ (2)(2025·河北邯郸模拟)将函数f (x)的图象向右平移1个单位长度后，再向上平移4个单位长度，所得函数图象与曲线y＝4x关于直线x＝1对称，则 f ＝ A.－4 B.－3 C.－2 D.4 函数y＝42－x的图象与函数y＝4x的图象关于直线x＝1对称，将y＝42－x的图象向下平移4个单位长度得到y＝42－x－4的图象，再将y＝42－x－4的图象向左平移1个单位长度得到y＝42－(x＋1)－4＝41－x－4的图象，即f (x)＝41－x－4，故f ＝－4＝4.故选D. 　　函数y＝f (a＋x)的图象与函数y＝f (b－x)的图象关于直线x＝对称.可以简记为：两个函数对称解方程，即由a＋x＝b－x，得x＝. 规律方法 √ 对点练2.(2025·福建厦门模拟)函数y＝f (1－x)的图象与函数y＝f (2＋x)的图象关于直线x＝m对称，其中m＝ A.3 B. C.－1 D.－ 设点P(x，y)在函数y＝f (1－x)的图象上，点P关于直线x＝m的对称点为Q(x'，y')，则则y'＝f (1－2m＋x')，即y＝f (1－2m＋x)与y＝f (1－x)关于直线x＝m对称，则1－2m＝2，得m＝－.故选D. 返回 考教衔接　精研教材 返回 真题再现 (2024·新课标Ⅰ卷节选)已知函数f (x)＝ln＋ax＋b(x－1)3.证明：曲线y＝f (x)是中心对称图形. 证明：要使函数f (x)有意义，则＞0，故0＜x＜2，即f (x)的定义域为x∈(0，2)，f (2－x)＝ln＋a(2－x)＋b(1－x)3＝－ln－ax－b(x－1)3＋2a＝－f (x)＋2a， 故曲线y＝f (x)关于点(1，a)中心对称. 返回 教材呈现 (北师必修一P72A组T3)已知函数f (x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围. 点评：本题与教材习题均考查了函数的对称中心，都可以利用图形的平移得到对称中心，考点完全相同，掌握好基本函数的对称性和图象的变换是关键. 课 时 测 评 返回 f (x)＝＝a＋关于点(1，2)对称，则a＝2.故选D. √ 1.若函数f (x)＝的图象关于点(1，2)对称，则a＝ A.－2 B.－1 C.1 D.2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 √ 由已知可得，f (2－x)＝22－x＋＝＋4·＝＋2x＝f (x)，所以f (x)的图象关于直线x＝1对称，故A正确；因为f(2－x)＝2x＋，则f (2－x)＋f (x)≠0，故B错误；f (－x)＝2－x＋＝4·2x＋，则f (－x)≠f (x)，故C错误；因为f (－x)＝4·2x＋，则f (－x)≠－f (x)，故D错误.故选A. 2.(2025·广西桂林模拟)已知函数f (x)＝2x＋(x∈R)，则f (x)的图象 A.关于直线x＝1对称 B.关于点(1，0)对称 C.关于直线x＝0对称 D.关于原点对称 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 √ 函数f (x)＝ex－e2－x，f (2－m)＋f (m)＝e2－m－em＋(em－e2－m)＝0，所以 f (x)＝ex－e2－x关于(1，0)对称，而f (m)＋f (n)＝0，因此f (2－m)＝f (n)，所以m＋n＝2.故选B. 3.(2025·四川成都模拟)已知函数f (x)＝ex－e2－x，若实数m，n满足f (m)＋ f (n)＝0，则m＋n＝ A.1 B.2 C.e D.4 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 由题y＝f (x＋1)＋1为奇函数，则f (－x＋1)＋1＝－f (x＋1)－1，所以 f (－x＋1)＋f (x＋1)＝－2⇒f (2－x)＋f (x)＝－2，所以f (x)关于(1，－1)对称，所以f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝[f (－1)＋f (3)]＋f (1)＋ [f (0)＋f (2)]＝－2－1－2＝－5.故选D. √ 4.(2025·福建泉州模拟)已知y＝f (x＋1)＋1为奇函数，则f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝ A.6 B.5 C.－6 D.－5 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 √ 因为f (2－x)＝f (x)，所以f (x)的图象关于直线x＝1 对称，令h(x)＝，则h(x)的图象关于直线x＝1对 称，作出函数f (x)，h(x)在区间[－3，5]的图象， 5.已知定义域为R的偶函数f (x)满足f (2－x)＝f (x)，当0≤x≤1时，f (x)＝ e1－x－1，则方程f (x)＝在区间[－3，5]上所有解的和为 A.6 B.12 C.10 D.8 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 由图可知，h(x)与f (x)的图象在区间[－3，5]上共有8个交点，且两函数的图象均关于直线x＝1对称，所以方程f (x)＝在区间[－3，5]上所有解的和为4×2＝8.故选D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 √ √ √ 若f (x＋2)＝－f (－x)，即f (x＋2)＋f (－x)＝0，则函数y＝f (x)的图象关于(1，0)对称，故A正确；若点(x，y)在y＝f (x)上，则点(2－x，－y)在y＝－f (2－x)的图象上，且点(x，y)与点(2－x，－y)关于点(1，0)对称，则函数y＝－f (2－x)与函数y＝f (x)的图象关于(1，0)对称，故B正确； 6.(多选题)已知函数f (x)的定义域为R，则下列说法正确的是 A.若f (x＋2)＝－f (－x)，则函数y＝f (x)的图象关于(1，0)对称 B.函数y＝－f (2－x)与函数y＝f (x)的图象关于(1，0)对称 C.函数y＝f (－1＋x)－f (1－x)的图象关于(1，0)对称 D.函数y＝f (1＋x)－f (1－x)的图象关于(1，0)对称 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 设g(x)＝f (－1＋x)－f (1－x)，则g(2－x)＋g(x)＝f (1－x)－f (x－1)＋ f (－1＋x)－f (1－x)＝0，故函数y＝f (－1＋x)－f (1－x)的图象关于(1，0)对称，故C正确；令g(x)＝f (1＋x)－f (1－x)，则g(2－x)＋g(x)＝f (3－x)－f (x－1)＋f (1＋x)－f (1－x)不恒为0，故函数y＝f (1＋x)－f (1－x)的图象不关于(1，0)对称，故D错误.故选ABC. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 √ √ 对于A，因为f (x＋2)＋f (x)＝0，则f (x＋4)＋f (x＋2)＝0，可得f (x＋4)＝ f (x)，所以函数f (x)的周期为4，故A错误；对于B， 因为y＝f (2－x)为偶函数，则f (2－x)＝f (2＋x)，所以函数f (x)的图象关于直线x＝2对称，故B正确； 7.(多选题)已知定义在R上的函数f (x)满足f (x＋2)＋f (x)＝0，且y＝f (2－x)为偶函数，则下列说法一定正确的是 A.函数f (x)的周期为2 B.函数f (x)的图象关于直线x＝2对称 C.函数f (x)为偶函数 D.函数f (x)的图象关于点(3，0)对称 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 对于C，因为函数f (x)的图象关于直线x＝2对称，则f (－x)＝f (4＋x)，由函数f (x)的周期为4，可得f (－x)＝f (4＋x)＝f (x)，所以函数f (x)为偶函数，故C正确；对于D，因为f (－x)＝f (x)，且f (x＋2)＋f (x)＝0，可得 f (x＋2)＋f (－x)＝0，又因为函数f (x)的周期为4，则f (x＋6)＋f (－x)＝0，所以函数f (x)的图象关于点(3，0)对称，故D正确.故选BCD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 取f (x)＝x2－2x，其对称轴为x＝1，满足①f (1－x)＝f (1＋x)，令f (x)＝x2－2x＝0，解得x＝0或2，满足②f (x)至少有两个零点，f (x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，当x＝1时，f (x)min＝－1，满足③f (x)有最小值.(答案不唯一). 8.(开放题)(2025·山东潍坊模拟)请写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式f (x)＝____________________. ①f (1－x)＝f (1＋x)；②f (x)至少有两个零点；③f (x)有最小值. x2－2x(答案不唯一) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 因为函数f (x)满足f (2＋x)＝f (2－x)，则f (x)关于直线x＝2对称，又因为 f (x)在上单调递减，则f (x)在上单调递增，则由 f ≤f (1)得，即≤1，解得－1≤x ≤0，则解集为[－1，0]. 9.(2025·福建龙岩模拟)定义在R上的函数f (x)满足f (2＋x)＝f (2－x)，且f (x)在(－∞，2]上单调递减，则不等式f (2x＋3)≤f (1)的解集为____________. [－1，0] 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 由题可知g(x＋10)＋g(－x＋10)＝f (x＋10)＋f (－x＋10)＋(x＋10)＋(－x＋10)＝8，令x＝0，g(10)＋g(10)＝8，则g(10)＝4，所以g(i)＝8×9＋4＝76. 10.已知函数f (x)满足f ＋f ＝－12，若g(x)＝f (x)＋x，则g＝____. 76 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 √ 11.(2025·广东广州期末)已知函数f (x)＝ln＋ax＋2a＋bsin，则 f (x)图象有如下性质 A.关于点中心对称 B.关于直线x＝b轴对称 C.关于点中心对称 D.关于点中心对称 f (－x＋4)＝ln＋a(－x＋4)＋2a＋bsin(－x＋4－2)＝－ln－ax＋6a－bsin(x－2)，故f (－x＋4)＋f (x)＝8a，故f (x)关于点(2，4a)中心对称，故C正确，A，D错误；对于B，f (－x＋2b)＝ln＋a(－x＋2b)＋2a＋bsin(－x＋2b－2)≠f (x)，故f (x)不关于直线x＝b轴对称，故B错误.故选C. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 12.(2025·天津期末)设函数f (x)＝若∃x∈R且x≠0，使得 f ＝f 成立，则实数a的取值范围为__________. (－1，＋∞) 由题意f (x)的图象上存在两点关于直线x＝对称，又y＝－x2＋x＝－＋是对称轴为x＝的抛物线，所以当a＞时，显然满足题意， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 当a≤时，f (x)＝－x2＋x(x＜a)是增函数，不存在关于直线x＝对称的点，所以不妨设t＞0，由f ＝f 得－＝－＋－t，解得t＝，所以－＜a，即a＞－1，即－1＜a≤，综上，a＞ －1，则实数a的取值范围为(－1，＋∞). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 13.(15分)函数y＝f (x)的图象关于点P(a，b)成中心对称的充要条件是函数y＝f (x＋a)－b为奇函数. (1)若f (x)＝x3－3x2，求此函数图象的对称中心；(10分) 解：设函数f (x)＝x3－3x2的图象的对称中心为点P(a，b)，g(x)＝f (x＋a)－b， 则g(x)为奇函数，故g(－x)＝－g(x)， 故f (－x＋a)－b＝－f (x＋a)＋b， 即f (－x＋a)＋f (x＋a)＝2b， 即[(－x＋a)3－3(－x＋a)2]＋[(x＋a)3－3(x＋a)2]＝2b. 整理得(3a－3)x2＋a3－3a2－b＝0，故 所以函数f (x)＝x3－3x2的图象的对称中心为(1，－2). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 (2)类比上述推广结论，写出“函数y＝f (x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y＝f (x)为偶函数”的一个推广结论.(5分) 解：推论：函数y＝f (x)的图象关于直线x＝a成轴对称的充要条件是函数y＝f (x＋a)为偶函数. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 √ √ 14. (多选题)(2025·江西新余期末)太极图被称为“中华第一图”，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美.定义：若一个函数的图象能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分，则称该函数为圆O的一个“太极函数”，设圆O：x2＋y2＝1，则下列说法中正确的是 A.函数y＝x3＋x是圆O的一个太极函数 B.函数f (x)的图象关于原点对称是f (x)为圆O的太极函 数的充要条件 C.圆O的所有非常数函数的太极函数都不能为偶函数 D.函数y＝sin x是圆O的一个太极函数 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 对于A，设y＝f (x)＝x3＋x，因为f (－x)＝(－x)3＋(－x)＝－x3－x＝ －f (x)，所以函数y＝x3＋x是奇函数，它的图象将圆O的周长与面积同时等分，如图①所示：所以函数y＝x3＋x是圆O的一个太极函数，故A正确；对于C，如图②所示： 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 函数y＝g(x)是偶函数，y＝g(x)也是圆O的一个太极函数，故C不正确；对于B，根据选项C的分析，圆O的太极函数可以是偶函数不一定关于原点对称，故B不正确；对于D，因为y＝sin x是奇函数，所以它的图象将圆x2＋y2＝1的周长与面积同时等分，如图③所示.因此函数y＝sin x是圆O的一个太极函数，故D正确.故选AD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 15.(2025·湖南长沙开学考)我们知道，设函数f (x)的定义域为I，如果对任意x∈I，都有2a－x∈I，且f (x)＋f ＝2b，那么函数y＝f (x)的图象关于点P成中心对称.若定义在R上的函数f (x)＝－2x3＋的图象关于点(0，1)成中心对称，则实数c的值为____；若f (－t2)＋f (5t＋6)＞2，则实数t的取值范围是_______________________. 2 (－∞，－1)∪ 因为函数f (x)＝－2x3＋的图象关于点(0，1)成中心对称，所以f (x)＋f (－x)＝2，即－2x3＋＋2x3＋＝2，即＝2，所以c＝2，又因为f (x)＝－2x3＋在定义域R上单调递减， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 返回 令g(x)＝f (x)－1＝－2x3＋－1，因为函数f (x)的图象关于点(0，1)成中心对称，所以g(x)的图象关于(0，0)对称，且g(x)＝f (x)－1＝－2x3＋－1单调递减，因为f (－t2)＋f (5t＋6)＞2，即f (－t2)－1＞－f (5t＋6)＋1，即g＞－g，也即g＞g，所以－t2＜－5t－6，则－t2＋5t＋6＜0，解得t＜－1或t＞6，故实数t的取值范围是(－∞，－1)∪. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 函数的对称性 $