第二章 4 第三节 函数的奇偶性、周期性（课件PPT）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦函数奇偶性与周期性核心考点，依据高考评价体系明确概念理解、几何意义、判断应用等考查要求。通过梳理奇偶性定义判断、周期性周期推导等高频考点，归纳出求参数、解不等式、求函数值等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于高考真题深度融入与应试技巧指导，如以2023全国乙卷奇偶性求参数题为例，运用定义法结合方程思想突破，培养学生数学思维与推理意识。通过“性质法判断奇偶性”“周期公式推导”等方法，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此高效指导复习，助力学生冲刺高考。

第三节　函数的奇偶性、周期性 高三一轮复习讲义 北师大版 第二章 函数与基本初等函数 课标研读 1.结合具体函数了解函数奇偶性的概念和几何意义.　 2.会运用基本初等函数的图象理解和研究函数的奇偶性.　 3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数 的周期性解决问题. 04 03 考教衔接　精研教材 课时测评 02 考点探究　提升能力 教材梳理　夯实基础 01 内容索引 教材梳理　夯实基础 返回 微提醒　函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件. 1.函数的奇偶性 f (—x)＝f (x) y轴 f (—x)＝—f (x) 原点 2.函数的周期性 f (x＋T)＝f (x) 最小 最小正数 常用结论 (1)函数奇偶性的常用结论 ①如果函数f (x)是偶函数，那么f (x)＝f (｜x｜). ②奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性. ③在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇. (2)函数周期性的常用结论 对f (x)定义域内任一自变量的值x： ①若f (x＋a)＝－f (x)，则T＝2a(a＞0). ②若f (x＋a)＝，则T＝2a(a＞0). ③若f (x＋a)＝－，则T＝2a(a＞0). √ √ 自主检测 1.(多选题)下列命题是真命题的是 A.若函数f (x)为奇函数，则一定有f (0)＝0 B.存在既是奇函数，又是偶函数的函数 C.对于函数y＝f (x)，若存在x，使f (－x)＝－f (x)，则函数y＝f (x)一定是奇函数 D.若T是函数f (x)的一个周期，则nT(n∈N＋)也是函数f (x)的周期 √ 2. (链接北师必修一P67例2，改编)给出下列函数，其中是奇函数的为 A.f (x)＝x4 B.f (x)＝x＋ C.f (x)＝x3＋cos x D.f (x)＝ 根据函数奇偶性的定义，易判断f (x)＝x4 为偶函数，f (x)＝x＋为奇函数，f (x)＝x3＋cos x既不是偶函数也不是奇函数，f (x)＝为偶函数.故选B. √ 3.(链接北师必修一P69A组T3，改编)已知f (x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是 A.－ B. C.－ D.　　　　 因为f (x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，所以a－1＋2a＝0，所以a＝.又f (－x)＝f (x)，所以b＝0，所以a＋b＝.故选D. 返回 √ 4.已知定义在R上的函数f (x)满足f (x＋2)＝f (x)，当x∈[－1，1]时，f (x)＝x2＋1，则f (2 026.5)等于 A. B. C.2 D.1 由f (x＋2)＝f (x)，可知函数f (x)的周期为2，当x∈[－1，1]时，f (x)＝x2＋1，所以f (2 026.5)＝f ＝f ＝＋1＝.故选B. 考点探究　提升能力 返回 考点一　函数奇偶性的判断 自主练透 √ 1.(2024·天津卷)下列函数是偶函数的是 A.f (x)＝ B.f (x)＝ C.f (x)＝ D.f (x)＝ 对于A，f (－x) ＝＝≠f ，故f (x)不是偶函数；对于B，f (－x)＝＝＝f ，故f (x)是偶函数；对于C，f (x)的定义域为{x｜x≠ －1}，不关于原点对称，故f (x)不是偶函数；对于D，f (－x)＝＝＝－＝－f (x)，故f (x)是奇函数.故选B. √ 2.(多选题)下列函数中具有奇偶性的是 A.f (x)＝x＋sin x B.f (x)＝(x－1) C.f (x)＝ln(－x) D.f (x)＝ 对于A，f (x)的定义域为R，由f (－x)＝－x＋sin(－x)＝－f (x)，知f (x)为奇函数；对于B，令0，解得x≤－1或x＞1，即函数f (x)的定义域为(－∞，－1]∪(1，＋∞)，不关于原点对称，即f (x)为非奇非偶函数； √ √ 对于C，因为x2＋1＞x2，所以－x＞0恒成立，即f (x)的定义域为R，又f (－x)＋f (x)＝ln(＋x)＋ln(－x)＝0，故f (x)为奇函数；对于D，显然函数f (x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.因为当x＜0时，－x＞0，则f (－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝ －f (x)；当x＞0时，－x＜0，则f (－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f (x)；综上可知，对于定义域内的任意x，总有f (－x)＝－f (x)成立，所以函数f (x)为奇函数.故选ACD. √ 3.(多选题)设函数f (x)，g(x)的定义域都为R，且f (x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的有 A.f (x)g(x)是偶函数 B.｜f (x)｜＋g(x)是偶函数 C.f (x)｜g(x)｜是奇函数 D.｜f (x)g(x)｜是奇函数 因为f (x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以｜f (x)｜是偶函数，｜g(x)｜是偶函数.根据一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f (x)g(x)为奇函数，f (x)｜g(x)｜为奇函数，所以｜f (x)g(x)｜为偶函数，故A、D错误，C正确；由两个偶函数的和还是偶函数得B正确.故选BC. √ 4. (2025·辽宁辽阳一模)若f (x)是定义在R上的奇函数，则下列函数是奇函数的是 A.y＝f (2x＋2－x) B.y＝f (2x－x) C.y＝f (2x－2－x) D.y＝f (2x＋x) 依题意，f (x)是定义在R上的奇函数，f (－x)＝－f (x)，对于A，对于函数y＝ f (2x＋2－x)，f (2－x＋2x)＝f (2x＋2－x)，所以函数y＝f (2x＋2－x)不是奇函数；对于B，对于函数y＝f (2x－x)，f (2－x＋x)≠－f (2x－x)，所以函数y＝f (2x－x)不是奇函数；对于C，对于函数y＝f (2x－2－x)，f (2－x－2x)＝－f (2x－2－x)，所以函数y＝f (2x－2－x)是奇函数；对于D，对于函数y＝f (2x＋x)，f (2－x－x)≠－f (2x＋x)，所以函数y＝f (2x＋x)不是奇函数.故选C. √ 1.判断函数奇偶性的方法 (1)定义法；(2)图象法；(3)性质法. 2.判断函数的奇偶性的关键点 (1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数. (2)判断f (x)与f (－x)的关系，在判断奇偶性的运算中，可以判断f (x)＋ f (－x)＝0(奇函数)或f (x)－f (－x)＝0(偶函数)是否成立. (3)正确识别常用函数(如y＝ax＋a－x是偶函数，y＝ax－a－x、y＝、y＝loga(－x)是奇函数)的奇偶性有助于判断复杂函数的奇偶性. 规律方法 考点二　函数奇偶性的应用 多维探究 典例1 √ 角度1　已知函数的奇偶性求参数 (2023·全国乙卷)已知f (x)＝是偶函数，则a＝ A.－2 B.－1 C.1 D.2 因为f (x)＝为偶函数，则f (x)－f (－x)＝－＝＝0，又因为x不恒为0，可得ex－e(a－1)x＝0，即ex＝e(a－1)x，则x＝(a－1)x，即1＝a－1，解得a＝2.故选D. √ 角度2　利用奇偶性求值(解析式) (1)设函数f (x)＝x5＋2x3＋3x＋1在区间[－2 025，2 025]上的最大值是M，最小值为m，则M＋m等于 A.0 B.1 C.2 D.3 由题意知，函数f (x)的定义域为R，关于原点对称，令g(x)＝f (x)－1＝x5＋2x3＋3x，则函数g(x)为奇函数，所以g(x)在区间[－2 025，2 025]上的最大值与最小值之和为0，即M－1＋m－1＝0，所以M＋m＝2.故选C. 典例2 √ (2)奇函数f (x)在(0，＋∞)上的解析式是f (x)＝x(1－x)，则函数f (x)在(－∞，0)上的解析式是 A.f (x)＝－x(x－1) B.f (x)＝x(1＋x) C.f (x)＝－x(1＋x) D.f (x)＝x(x－1) 令x∈(－∞，0)，则－x∈(0，＋∞)，由已知可得f (－x)＝－x(1＋x)，因为f (x)为奇函数，所以f (－x)＝－f (x)，所以当x∈(－∞，0)时，f (x)＝ －f (－x)＝x(1＋x).故选B. √ 角度3　利用奇偶性解不等式 若定义在R上的奇函数f (x)在区间(0，＋∞)上单调递增，且f (3)＝0，则满足xf (x－2)＜0的x的取值范围为 A.(－∞，－1)∪(2，5) B.(－∞，－1)∪(0，5) C.(－1，0)∪(2，5) D.(－1，0)∪(5，＋∞) 因为定义在R上的奇函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增，且f (3)＝0，所以f (x)在(－∞，0)上也单调递增，且f (－3)＝0，f (0)＝0，所以当x∈(－∞，－3)∪(0，3)时，f (x)＜0，当x∈(－3，0)∪(3，＋∞)时，f (x)＞0，所以由xf (x－2)＜0，可得解得－1＜x＜0或2＜x＜5，即x∈ (－1，0)∪(2，5).故选C. 典例3 1.利用函数的奇偶性求值或求参数值，需借助奇偶性转化为求已知区间上的函数值或得到参数的恒等式，然后求值.尤其对于“奇函数f (x)＋常函数A”的“最大值M＋最小值N”问题时，有结论M＋N＝2A成立. 2.利用函数的奇偶性画出函数在其对称区间上的图象，利用数形结合求解相关问题. 规律方法 √ 对点练1.(1)(2025·四川雅安模拟)已知函数f (x)＝cos 2x是偶函数，则实数a＝ A.1 B.－1 C.2 D.－2 因为f (x)是定义域为R的偶函数，所以f (－x)＝cos＝cos 2x＝f (x)＝cos 2x，所以－aex＋＝ex－，即a＝－ex，则(a＋1)＝0恒成立，所以a＋1＝0，解得a＝－1.故选B. √ (2)已知函数f (x)是奇函数，函数g(x)是偶函数.若f (x)－g(x)＝xsin x，则 f ＝ A. B.－ C.0 D.－1 由函数f (x)是奇函数，函数g(x)是偶函数，f (x)－g(x)＝xsin x，故f (－x)－g(－x)＝－xsin(－x)，即－f (x)－g(x)＝xsin x，将该式和f (x)－g(x)＝xsin x相减可得f (x)＝0，则f ＝0.故选C. (3)函数f (x)是定义域为R的奇函数，f (x)在(0，＋∞)上单调递增，且f (2)＝0，则不等式＞0的解集为________________________. 由于f (x)是定义域为R的奇函数，所以f (0)＝0，又 f (x)在(0，＋∞)上单调递增，且f (2)＝0，所以f (x)的 大致图象如图所示.由f (－x)＝－f (x)可得， ＝＝＞0，当x＜0时，只需f (x)＜0，由图象可知x＜－2；当x＞0时，只需f (x)＞0，由图象可知x＞2；综上，不等式的解集为 (－∞，－2)∪(2，＋∞). (－∞，－2)∪(2，＋∞) 考点三　函数的周期性及应用 师生共研 典例4 √ (一题多变)(1)(2025·河南焦作模拟)已知定义在R上的偶函数f (x)满足f (x＋3)＝－，若f (－1)＝2，则f ＝ A.－ B. C.－2 D.2 由f (x＋3)＝－，得f(x＋6)＝－，所以f (x＋6)＝f (x)，所以T＝6是函数f (x)的一个周期，所以f ＝＝f (4)＝－，又f (x)是偶函数且f (－1)＝2，所以f (1)＝2，即f ＝－.故选A. √ (2)设f (x)是定义在R上且满足f (x＋1)＝f (x－1)的偶函数，当x∈[2，3]时， f (x)＝x，则x∈[－2，0]时，f (x)＝ A.x＋4 B.2－x C.3－｜x＋1｜ D.2－｜x＋1｜ 因为f (x)满足f (x＋1)＝f (x－1)，所以f (x)是周期为2的偶函数，x∈[2，3]时，f (x)＝x，所以x∈[－2，－1)时，(2＋x)∈[0，1)，(4＋x)∈[2，3)， 此时f (x)＝f (4＋x)＝4＋x；当x∈[－1，0]时，－x∈[0，1]，(2－x)∈[2，3]，此时f (x)＝f (－x)＝f (2－x)＝2－x，所以f (x)＝综上可得，x∈[－2，0]时，f (x)＝3－｜x＋1｜.故选C. 变式探究 1.(变条件)本例(1)中f (x＋3)＝－改为f (x＋3)＝－，其余条件不变，则f (2 032)＝_______. 由f (x＋3)＝－，得f (x＋6)＝－，所以f (x＋6)＝－1－，所以f (x＋9)＝－1－＝－1＋[1＋f (x)]＝f (x)，所以T＝9是函数f (x)的一个周期，所以f (2 032)＝(226×9－2)＝f (－2)，由f (－2＋3)＝－，即f (－2)＝－1－，又f (x)是偶函数且f (－1)＝2，所以 f (1)＝2，即f (－2)＝－，所以f (2 032)＝－. － 2.(变条件)本例(2)中f (x＋1)＝f (x－1)改为f (x＋1)＝2f (x－1)，其余条件不 变，f (x)的解析式为f (x)＝_________________________. 因为f (x＋1)＝2f (x－1)，所以f (x＋2)＝2f (x)，即f (x)＝f (x＋2)，f (x＋2)＝f (x＋4).x∈[2，3]时，f (x)＝x，所以x∈[－2，－1)时，(2＋x)∈[0，1)，(4＋x)∈[2，3)， 此时f (x)＝f (4＋x)＝(4＋x)＝1＋x；当x∈[－1，0]时，－x∈[0，1]，(2－x)∈[2，3]，此时f (x)＝f (－x)＝f (2－x)＝(2－x)＝1－x，所以f (x)＝ 解与函数的周期性有关的问题 1.根据题意，求出函数的周期. 2.利用函数的周期性，将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题. 规律方法 对点练2.(1)已知函数f (x)的定义域为R，对任意x都有f (x＋4)＝f (x)，当x∈时，f (x)＝则f ＝ A.0 B.1 C.2 D.e F (x＋4)＝f (x)，故f (2 024)＝f (0)＝e，所以f (f (2 024))＝f (e)＝1＋ln e＝2.故选C. √ √ (2)(多选题)(2025·福建泉州模拟)设f (x)是定义在R上的奇函数，且f (x＋2)＝－f (x)，当0≤x≤1时，f (x)＝x，则下列说法正确的是 A. f (π)＝4－π B.f (x)是周期为4的周期函数 C.当1≤x≤3时，f (x)＝2－x D.当－4≤x≤4时，方程f (x)＝m(－1≤m＜0)的所有实根之和为4 由f (x＋2)＝－f (x)得f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，则周期T＝4，故B正确；又当0≤x≤1时，f (x)＝x，所以f (π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝π－4，故A错误； √ 当－1≤x≤0时，则0≤－x≤1，又f (x)是定义在R上的奇函数，所以f (x)＝－f (－x)＝－(－x)＝x，所以当－1≤x≤1时，f (x)＝x，当1≤x≤3时，则－1≤x－2≤1，因为f (x＋2)＝－f (x)，所以f (x)＝－f (x－2)＝－(x－2)＝2－x，故C正确；作出函数 f (x)在[－4，4]的图象，如图，则f (x)的最小值为－1，若m＝－1，则方程f (x)＝m在[－4，4]的解为x1＝－1，x2＝3，则x1＋x2＝2，若－1＜m＜0，则方程f (x)＝m在[－4，4]的解共有4个，设从小到大依次为x1，x2，x3，x4，根据对称性可知x1＋x2＝－2，x3＋x4＝6，所以x1＋x2＋x3＋x4＝4，故D错误.故选BC. 返回 考教衔接　精研教材 返回 真题再现 要使函数f (x)有意义，必须满足＞0，解得x＜－或x＞，因为函数 f (x)是偶函数，所以对任意x∈∪，都有f (－x)＝ f (x)，即(－x＋a)ln＝(x＋a)ln，则(x－a)ln＝(x＋a)ln对任意x∈∪恒成立，所以a＝0，故选B. √ (2023·新课标Ⅱ卷)若f (x)＝(x＋a)ln为偶函数，则a＝ A.－1 B.0 C. D.1 返回 教材呈现 (北师必修一P73B组T7)已知函数f (x)＝(x＋1)(x－a)是偶函数，求实数a 的值. 点评：本题与教材习题结构形式、考点完全相同，均考查利用函数的奇偶性求参数的值；然后在教材的基础上函数关系式变得复杂，难度高于教材；掌握常见函数的奇偶性起到事半功倍的效果. 课 时 测 评 返回 对于A，因为f (x)＝ln x的定义域为(0，＋∞)， 所以f (x)＝ln x不具有奇偶性，故A错误；对于B，C，可知f (x)＝x3，f (x)＝sin x均为奇函数，故B，C错误；对于D，因为f (x)＝ex＋e－x的定义域为R，且f (－x)＝e－x＋ex＝ex＋e－x＝f (x)，故D正确.故选D. √ 1.下列函数中，是偶函数的为 A.f (x)＝ln x B.f (x)＝x3 C.f (x)＝sin x D.f (x)＝ex＋e－x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 √ 由于f (x)为偶函数，则f (－x)＝f (x)恒成立，则f (－1)＝f (1)，则有 －1·＝a＋，可得a＝－，经验证满足f (－x)＝f (x)恒成立.故选B. 2.(2025·陕西宝鸡模拟)已知函数f (x)＝x·为偶函数，则a＝ A.－1 B.－ C. D.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 √ 设x＜0，则－x＞0，f (－x)＝－x＋sin(－x)＝－x－sin x，因为函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，所以f (x)＝f (－x)＝－x－sin x.故选B. 3.(2025·上海黄浦期末)已知函数y＝f (x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f (x)＝x＋sin x，当x＜0时，f (x)的表达式为 A.x＋sin x B.－x－sin x C.－x＋sin x D.x－sin x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 由x∈R，f (－x)＝－x－sin(－x)＝－x＋sin x＝－f (x)，故f (x)为奇函数，则c＝－f (－)＝f ()，＜＜2＜π，函数y＝sin x在上单调递减，故f (x)＝x－sin x在上单调递增，则f ＜f (2)＜f (π)，即a＞b＞c.故选A. √ 4.(2025·广东深圳期末)已知函数f (x)＝x－sin x，a＝f (π)，b＝f (2)，c＝ －f ，则a，b，c的大小关系为 A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.b＞c＞a D.b＞a＞c 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 √ 对于A，两个单调区间中间要用“和”或“，”连接，故A错误；对于B， 因为f (x)是定义在R上的偶函数，所以f (－π)＝f (π)，又f (x)在上单调递减，则f (－π)＞f (5)，故B错误； 5.(多选题)f (x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f (x)＝4x－x2，则下列说法中错误的是 A.f (x)的单调递增区间为∪[0，2] B.f (－π)＜f (5) C.f (x)的最大值为4 D.f (x)＞0的解集为 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 对于C，当x≥0时，f (x)＝4x－x2＝－＋4，f (x)最大值为4，又因为f (x)是偶函数，所以f (x)的最大值为4，故C正确；对于D，如图所示：f (x)＞0的解集为∪，故D错误.故选ABD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 √ √ √ 因为f (x＋1)为奇函数，所以f (－x＋1)＝－f (x＋1)，即f (－x)＋f (x＋2)＝0，故f (x)的图象关于点(1，0)中心对称，故A正确； 6.(多选题)已知函数f (x)对∀x∈R，都有f (x)＝f (－x)，f (x＋1)为奇函数，且x∈[0，1)时，f (x)＝x2，则下列结论正确的是 A.函数f (x)的图象关于点(1，0)中心对称 B.f (x)是周期为2的函数 C.f (－1)＝0 D.f ＝ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 由f (－x)＝f (x)，f (－x)＋f (x＋2)＝0得f (x)＝－f (2＋x)，所以f (x＋2)＝－f (x)，所以f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，即f (x)是周期为4的函数，故B错误；由f (－x＋1)＝－f (x＋1)，令x＝0，得f (1)＝－f (1)，所以f (1)＝0，故f (－1)＝f (1)＝0，故C正确；当x∈[0，1)时，f (x)＝x2， 因为f (x)的周期为4，所以f ＝f ＝f ＝，故D正确.故选ACD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 由最小正周期为5的偶函数，可考虑三角函数中的余弦型函数f (x)＝Acos ωx＋b(A≠0)，满足f (－x)＝Acos ωx＋b＝f (x)，即是偶函数.根据最小正周期T＝＝5，可得ω＝.令A＝1，b＝0，f (x)＝cosx. 7.(开放题)写出一个最小正周期为5的偶函数_________________________. f (x)＝cosx(答案不唯一) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 根据函数f (x)是周期为4的偶函数，以及当x∈[0，2]时，f (x)＝x－1，画出函数f (x)的部分图象如图所示，由图可知，当x∈(－1，0)时，f (x)＜0，xf (x)＞0符合题意；当x∈(1，3)时，f (x)＞0，xf (x)＞0符合题意；综上所述，不等式的解集为(－1，0)∪(1，3). 8.函数f (x)是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f (x)＝x－1，则不等式 xf (x)＞0在(－1，3)上的解集为___________________. (－1，0)∪(1，3) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 9.(13分)设f (x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f (x＋2)＝ －f (x).当x∈[0，2]时，f (x)＝2x－x2. (1)求证：f (x)是周期函数；(3分) 解：证明：因为f (x＋2)＝－f (x)，所以f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x). 所以f (x)是周期为4的周期函数. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 (2)当x∈[2，4]时，求f (x)的解析式；(4分) 解：当x∈[－2，0]时，－x∈[0，2]，由已知得f (－x)＝2(－x)－(－x)2＝ －2x－x2. 又f (x)是奇函数，所以f (－x)＝－f (x)＝－2x－x2，所以f (x)＝x2＋2x. 又当x∈[2，4]时，x－4∈[－2，0]，所以f (x－4)＝(x－4)2＋2(x－4). 又f (x)是周期为4的周期函数，所以f (x)＝f (x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8. 从而求得x∈[2，4]时，f (x)＝x2－6x＋8. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 (3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 026).(6分) 解：f (0)＝0，f (1)＝1，f (2)＝0，f (3)＝－1.又f (x)是周期为4的周期 函数， 所以f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…＝f (2 020)＋ f (2 021)＋f (2 022)＋f (2 023)＝0， f (2 024)＋f (2 025)＋f (2 026)＝f (0)＋f (1)＋f (2)＝1， 所以f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 026)＝1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 因为f (x)是定义在R上的奇函数，所以f (0)＝0，又因为f (x)的周期为T＝2，所以f (－4)＝f (－2)＝f (2)＝f (4)＝f (0)＝0，因为当x∈(0，2)时， f (x)＝2x－2，则f (1)＝0，结合周期性，可知f (－3)＝f (－1)＝f (1)＝f (3)＝0，综上，f (x)在区间[－4，4]内的零点个数为9.故选C. 10.已知定义在R上的奇函数f (x)的周期为2，且当x∈(0，2)时，f (x)＝2x－2.则函数f (x)在区间[－4，4]内的零点个数为 A.5 B.7 C.9 D.11 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 √ 11.(多选题)(2025·江西南昌期末)已知f (x)为定义在R上的奇函数，g(x)为定义在R上的偶函数，则 A.f (f (x))＝f B.g(g(x))＝g(－g(－x)) C.f (g(x))＝－f (－g(－x)) D.g(f (x))＝－g(－f (－x)) √ √ 对于A，因为f (x)为定义在R上的奇函数，g(x)为定义在R上的偶函数，所以f (－x)＝－f (x)，g(－x)＝g(x)，所以f ＝f (f (x))，故A正确；对于B，g(－g(－x))＝g(－g(x))＝g(g(x))，故B正确；对于C， f (－g(－x))＝f ＝－f (g(x))，即f (g(x))＝－f (－g(－x))，故C正确；对于D，g(－f (－x))＝g(f (x))，故D错误.故选ABC. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 12.若f (x)＝sin x＋x3＋x＋1 012，则不等式f (x＋1)＋f (2x)＞2 024的解集是 ______________. f (x)的定义域为R，令g(x)＝sin x＋x3＋x，则f (x)＝g(x)＋1 012，所以g(－x)＝sin(－x)－x3－x＝－sin x－x3－x＝－g(x)，所以g(x)是奇函数，又g'(x)＝cos x＋3x2＋1＞0，所以g(x)在R上是增函数，由f (x＋1)＋f (2x)＞2 024，得g(x＋1)＋1 012＋g(2x)＋1 012＞2 024，所以g(x＋1)＋g(2x)＞0，所以g(x＋1)＞－g(2x)＝g(－2x)，所以x＋1＞－2x，解得x＞－，则原不等式的解集为. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 13.(15分)(一题多问) 已知f (x)是定义在[－1，1]上的偶函数，且x∈[－1，0]时，f (x)＝. (1)求函数f (x)的表达式；(4分) 解：当x∈(0，1]时，－x∈[－1，0)，因为f (x)是定义在[－1，1]上的偶 函数， 所以f (x)＝f (－x)＝－， 因此f (x)＝ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 (2)判断并证明函数f (x)在区间[0，1]上的单调性；(5分) 解：函数f (x)在区间[0，1]上单调递减. 证明如下：设x1，x2是[0，1]上任意两个实数，且x1＜x2，则有0≤x1＜x2≤1，由(1)可知f (x)＝－，x∈[0，1]， 于是f (x1)－f (x2)＝－－＝. 因为0≤x1＜x2≤1，所以x1－x2＜0，x1x2＜1， 所以f (x1)－f (x2)＞0⇒f (x1)＞f (x2)， 所以函数f (x)在区间[0，1]上单调递减. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 (3)解不等式f (1－a)－f (3＋a)＜0.(6分) 解：因为偶函数f (x)在区间[0，1]上单调递减， 所以f (1－a)－f (3＋a)＜0⇒f (1－a)＜f (3＋a)⇒ 解得a∈⌀，所以不等式f (1－a)－f (3＋a)＜0的解集为空集. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 √ √ 14.(多选题)(2025·山东滨州期末)设函数f (x)＝＋，则下列结论正确的是 A.f (x)在区间(0，＋∞)上为增函数 B.f (x)为偶函数 C.f (x)的值域为(0，2] D.不等式f (x＋1)＞f (2)的解集为(－3，1) √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 函数f (x)的定义域为R，f (－x)＝＋＝f (x)，所以f (x)为偶函数，故B正确；当x≥0时，易知，函数f (x)在[0，＋∞)上单调递减，由对称性可知，函数f (x)在(－∞，0)上单调递增，f (0)＝2，且f (x)＞0，则f (x)的值域为(0，2]，故A错误，C正确；不等式f (x＋1)＞f (2)等价于f (｜x＋1｜)＞f (2)，则＜2，解得－3＜x＜1，即不等式f (x＋1)＞f (2)的解集为(－3，1)，故D正确.故选BCD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 15.(多选题)狄利克雷是解析数论的创始人之一，对数学分析和数学物理有突出贡献，与其有关的函数y＝x2－D(x)＝称为类狄利克雷函数，以下关于类狄利克雷函数的说法正确的是 A.是偶函数 B.D(D(x))＝1 C.值域是[0，1] D.函数y＝x2－D(x)值域包含正整数集 √ √ 由题意，函数D(x)的定义域是R ，若x是有理数则－x也是有理数，若x是无理数则－x也是无理数，所以D(x)＝D(－x)，函数D(x)为偶函数，所以y＝x2－D(x)为偶函数，故A正确； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 返回 当x是无理数时，D(D(x))＝D(0)＝1；当x是有理数时，D(D(x))＝D(1)＝1，故B正确；当x＝2时，x2－1＝3，故C错误；函数y＝x2－D(x)＝由x2－1＝4，可得x＝±，此时x为无理数，所以x2－1≠4，由x2＝4，可得x＝±2，此时x为有理数，所以x2≠4，综上可知，函数y＝x2－D(x)的值域内不含有4，故D错误.故选AB. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 函数的奇偶性、周期性 $