第二章 3 教材拓展3 分式函数与根式函数的值域（课件PPT）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦分式型与根式型函数的值域这一高考函数板块核心考点，依据高考评价体系梳理了分离常数法、反解法、判别式法、代数换元、三角换元等高频方法，分析了一次分式、二次分式、含根号的一次及二次型等常考题型，体现高考备考的针对性和实用性。 课件亮点在于以典例解析深化应试技巧，如分式函数y=(x²-x)/(x²-x+1)通过判别式法与分离常数法突破，根式函数y=2x+4√(1-x)用代数换元转化为二次函数求值域，培养学生数学思维中的运算能力和推理能力，强化数学语言表达的模型观念。通过对点练实现真题情境迁移，助力学生掌握得分技巧，为教师高效组织专题复习提供清晰指导。

教材拓展3 分式函数与根式函数的值域 高三一轮复习讲义 北师大版 第二章 函数与基本初等函数 02 题型二　根式型函数的值域 题型一　分式型函数的值域 01 内容索引 常见函数的值域 (1)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的值域为R. (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当a＞0时的值域为，当a＜0时的值域为. (3)反比例函数y＝(k≠0)的值域为{y∈R｜y≠0}. (4)指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的值域为{y｜y＞0}. (5)对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的值域为R. (6)正、余弦函数的值域为[－1，1]，正切函数的值域为R. (7)对勾函数y＝ax＋(a＞0，b＞0)的值域为∪. 题型一　分式型函数的值域 返回 求下列函数的值域： (1)y＝； 典例1 解：法一：(分离常数法)因为y＝＝＝－＋， 因为≠0，所以y≠－， 所以函数y＝. 法二：(反解法)由题意知，x≠－，则x＝， 所以所以y≠－， 所以函数y＝. (2)y＝； 解：法一：(判别式法)因为x2－x＋1＝＋＞0， 所以这个函数定义域为R.整理函数得y(x2－x＋1)＝x2－x，即(y－1)x2－(y－1)x＋y＝0. 当y＝1时，方程无解；当y≠1时，所求函数的值域需要使得方程有解，即Δ＝(y－1)2－4y(y－1)≥0 解得－≤y＜1. 所以函数y＝. 法二：(分离常数法)由已知y＝＝＝1－＝1－∈ . (3)y＝. 解：(三角函数的有界性)因为－1≤cos x≤1， 所以2cos x＋3≠0， 所以2ycos x－3sin x＝1－3y， 可得cos(x＋θ)＝1－3y， 所以cos(x＋θ)＝， 因为≤1，所以(1－3y)2≤()2， 整理得5y2－6y－8≤0， 所以y∈. 1.形如f (x)＝的函数可以用反解法或分离常数法求 值域. 2.分式的分子分母的最高次幂为二次，且定义域为R，可以利用判别式法求值域. 3.形如f (x)＝的函数可以利用数形结合或三角函数的有界性求值域. 规律方法 对点练1.求下列函数的值域： (1)y＝； 解：由已知得y＝＝＝1－，x2＋1≥1，0＜≤2， 所以－2≤－＜0， 所以函数y＝. (2)y＝； 解：函数定义域为R，y＝ex－1，ex(y－1)＝－y－1. 当y＝1时方程不成立，所以y≠1. 当y≠1 时，ex＝. 因为ex＞0， 即＞0， 解得－1＜y＜1. 所以函数y＝的值域是(－1，1). (3)y＝. 解：可看作P1(cos x，sin x)，P2(2，0)两点连线的斜率， 令k＝，即所求函数值域转化为求k的取值范围，借助图形： ＝tan 30°＝， ＝tan 150°＝－. 所以函数y＝. 返回 题型二　根式型函数的值域 返回 求下列函数的值域： (1)y＝2x＋4； 解：(代数换元法)令t＝0，x＝1－t2， 所以y＝－2t2＋4t＋2＝－2(t－1)2＋4≤4， 所以函数y＝2x＋4. 典例2 (2)y＝x－. 解：(三角换元)设x＝cos θ，θ∈[0，π]， 则y＝cos θ－｜sin θ｜＝cos， 因为θ∈[0，π]，≤θ＋， 所以－1≤cos； 所以函数y＝x－值域为[－，1]. 　　形如f (x)＝ax＋b±(ac≠0)的函数常用换元法，换元法包括代数换元、三角换元，通过换元转化为求某些初等函数的值域，要注意新元的定义域. 规律方法 自主检测 对点练2.求下列函数的值域： (1)y＝2x－1－； 解：设＝t，则x＝， 函数可化为y＝2×－1－t＝－t2－t＋，对称轴为t＝－1， 所以函数在[0，＋∞)上单调递减， 所以当t＝0时，ymax＝， 所以原函数的值域为. 自主检测 (2)y＝x2＋4. 解：令t＝，则x2＝， 由x2≥0及1－2x2≥0， 得0≤x2≤， 所以0≤t≤1， 则y＝＋4t＝－t2＋4t＋(0≤t≤1)，函数在[0，1]上单调递增， 因此当t＝0时，ymin＝； 当t＝1时，ymax＝4， 所以原函数的值域为. 返回 谢 谢 观 看 分式函数与根式函数的值域 $