第二章 1 第一节 函数（课件PPT）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦函数核心考点，涵盖函数概念、定义域、解析式及分段函数等课标要求内容，对接高考评价体系，通过教材梳理夯实基础，考点探究归纳选择填空解答等常考题型，真题再现分析考点权重，体现备考针对性。 课件亮点在于高考真题训练与应试技巧指导，如2022浙江卷分段函数真题解析，结合数学思维分层讨论求值问题，用数学语言规范表达函数关系，总结换元法等解析式求法技巧，助力学生掌握答题规律，为教师提供系统复习框架，提升备考效率。

第一节　函　数 高三一轮复习讲义 北师大版 第二章 函数与基本初等函数 课标研读 1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域.　 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、 列表法、解析法)表示函数.　 3.了解简单的分段函数，并能简单应用. 04 03 考教衔接　精研教材 课时测评 02 考点探究　提升能力 教材梳理　夯实基础 01 内容索引 教材梳理　夯实基础 返回 1.函数的概念 定义 给定实数集R中的两个非空数集A和B，如果存在一个__________，使对于集合A中的___________，在集合B中都有__________的数__ 和它对应，那么就把对应关系f称为定义在集合A上的一个函数 三要素 对应关系 y＝f (x)，x∈A 如果两个函数的________相同，并且________完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数 定义域 集合A称为函数的定义域，x称为________ 值域 与x值对应的y值称为________，集合{f(x)｜x∈A}称为函数的______ 对应关系f 每一个数x 唯一确定 y 自变量 函数值 值域 定义域 对应关系 2.函数的表示法与分段函数 函数的表示法 表示函数的常用方法有________、________和图象法 分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数 解析法 列表法 常用结论 (1)直线x＝a与函数y＝f (x)的图象至多有1个交点. (2)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集. √ √ √ 自主检测 1.(多选题)下列结论错误的是 A.若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数 B.函数y＝f (x)的图象可以是一条封闭曲线 C.y＝x0与y＝1是同一个函数 D.函数f (x)＝的定义域为R √ 2.(链接北师必修一P57思考交流，改编)在下列图象中，表示函数图象的可能是 根据函数的定义可知，任意垂直于x轴的直线与函数图象至多有一个交点，只有D正确.故选D. √ 3.(多选题)(链接北师必修一P54例1，改编)下列各组中的两个函数是同一个函数的为 A.y＝2x，n＝2m(m≥0) B.y＝x，v＝ C.F (x)＝｜x｜，g(x)＝ D.f (x)＝x，h(x)＝()2 对于A，y＝2x的定义域为R，n＝2m的定义域为[0，＋∞)，定义域不同，不是同一个函数，故A错误；对于B，v＝＝u，两个函数的定义域相同，对应关系相同，是同一个函数，故B正确；对于C，g(x)＝＝｜x｜＝f (x)，两者是同一个函数，故C正确；对于D，f (x)＝x的定义域为R，h(x)＝()2的定义域为[0，＋∞)，不是同一个函数，故D错误.故选BC. √ 4.(双空题)(链接北师必修一P55例2，改编)已知函数f (x)＝x＋，则f (x)的定义域为__________________；若f (a)＝2，则a的值为____. 要使函数f (x)有意义，必须使x≠0，故f (x)的定义域是(－∞，0)∪(0， ＋∞).由f (a)＝2得a＋＝2，解得a＝1. (－∞，0)∪(0，＋∞) 1 返回 考点探究　提升能力 返回 考点一　函数的定义域 自主练透 √ 1.(2025·河南郑州模拟)函数f (x)＝的定义域为 A.(－∞，0] B.(－∞，1) C.[0，1) D.[0，＋∞) 函数f (x)＝有意义，等价于解得x≤0，故函数的定义域为(－∞，0].故选A. √ 2.(2025·北京东城模拟)函数f (x)＝＋的定义域为 A.∪ B. C.∪ D. 令解得x≤－3且x≠－5，所以函数f (x)的定义域为∪.故选C. √ 3.(2025·江苏徐州模拟)已知函数f (x)的定义域为，则函数g(x)＝的定义域为 A. B. C. D. 函数f (x)的定义域为，由函数g(x)＝有意义，得＜x≤3，所以函数g(x)的定义域为.故 选A. 4.已知函数f (x)＝的定义域为R，则实数m的取值 范围是______________. 若函数f (x)的定义域为R，则有m＞0且Δ＝(m－2)2－4m(m－1)≤0，解得m，所以实数m的取值范围是. 1.若已知函数的解析式，使解析式中所含式子(运算)有意义，列出不等式或不等式组求解.注意对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 2.若已知f (x)的定义域为[a，b]，则f (g(x))的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. 3.若已知f (g(x))的定义域为[a，b]，则f (x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域. 规律方法 考点二　函数的解析式 师生共研 典例1 (1)已知f (1－sin x)＝cos2x，求f (x)的解析式； 解：(换元法)设1－sin x＝t，t∈[0，2]， 则sin x＝1－t， 因为f (1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x， 所以f (t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2]， 即f (x)＝2x－x2，x∈[0，2]. (2)(一题多变)已知f ＝x2＋，求f (x)的解析式； 解：(配凑法)因为f ＝x2＋＝－2， 所以f (x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞). (3)已知f (x)是一次函数且3f (x＋1)－2f (x－1)＝2x＋17，求f (x)的解析式； 解：(待定系数法)因为f (x)是一次函数，可设f (x)＝ax＋b(a≠0)， 所以3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17， 即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，所以 解得 所以f (x)的解析式是f (x)＝2x＋7. (4)(一题多变)已知f (x)满足2f (x)＋f (－x)＝3x，求f (x)的解析式. 解：(解方程组法)因为2f (x)＋f (－x)＝3x，① 所以将x用－x替换，得2f (－x)＋f (x)＝－3x，② 由①②解得f (x)＝3x. 变式探究 1.(变条件)若本例(2)条件变为f ＝x4＋，则f (x)的解析式为__________________. f ＝x4＋＝－2，又x2＋2＝2，当且仅当x2＝，即x＝±1时等号成立.设t＝x2＋，则t≥2，所以f (t)＝t2－2(t≥2)，所以f (x)＝x2－2(x≥2). f (x)＝x2－2(x≥2) 2.(变条件)若本例(4)条件变为2f (x)＋f ＝3x，则f (x)的解析式为__________________. f (x)＝2x－，x≠0 因为2f (x)＋f ＝3x　①，所以将x用替换，得2f ＋f (x)＝3·　②，由①②解得f (x)＝2x－，x≠0. 函数解析式的求法 1.已知函数f (g(x))的解析式，可用换元法或配凑法求解. 注意：(1)形如x±与x2＋，ax±a－x与a2x＋a－2x，sin x±cos x与sin xcos x 一般都运用配凑法； (2)无论换元还是配凑都要注意新元的范围. 2.若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法. 3.已知关于f (x)与f 或f (－x)等的关系式，可用解方程组法. 规律方法 √ 对点练1.(1)(2025·重庆模拟)已知函数f (1－x)＝，则f (x)＝ A.－1 B.－1(x≠1) C.－1 D.－1(x≠1) 令t＝1－x，则x＝1－t，且x≠0，则t≠1，可得f (t)＝＝－1(t≠1)，所以f (x)＝－1(x≠1).故选B. (2)已知函数f (x)满足f (x)＋2f (2－x)＝－1，则f (x)＝__________________ ______________________. 由f (x)＋2f (2－x)＝－1，将x换成2－x，可得f (2－x)＋2f (2－(2－x))＝－1，即f (2－x)＋2f (x)＝－1，联立方程组解得f (x)＝(x≠2且x≠0). (x≠2且x≠0) (3)已知f (f (x))＝4x＋9，且f (x)为一次函数，则f (x)＝__________________. 因为f (x)为一次函数，所以设f (x)＝kx＋b(k≠0)，所以f (f (x))＝f (kx＋b)＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋b(k＋1)，因为f (f (x))＝4x＋9，所以k2x＋b(k＋1)＝4x＋9恒成立，所以所以 f (x)＝2x＋3或f (x)＝－2x－9. 2x＋3或－2x－9 考点三　分段函数 多维探究 典例2 √ (2025·湖北武汉期中)已知函数f (x)＝则f (f (－1))的值为 A.－1 B. C.－sin 1 D. 角度1　分段函数求值 因为f (x)＝所以f (－1)＝＝，所以f (f (－1))＝ f ＝sin＝－1.故选A. 典例3 √ (1)(2025·浙江杭州期中)设f (x)＝若f (m)＝ f ，则f ＝ A.12 B.16 C.2 D.6 依题意，函数f (x)在(0，1)上单调递增，在[1，＋∞)上单调递增，由f (m)＝f (m＋1)，知m＜m＋1，因此＝2(m＋1－1)，解得m＝，所以f ＝f (4)＝6.故选D. 角度2　分段函数与方程、不等式 (2)(2025·重庆质检)已知函数f (x)＝则f (x)＜f (x＋1)的解集 为______________. 当x≤0时，x＋1≤1，f (x)＜f (x＋1)等价于x2－1＜(x＋1)2－1，解得－＜x≤0；当0＜x≤1时，x＋1＞1，此时f (x)＝x2－1≤0，f (x＋1)＝log2(x＋1)＞0，所以当0＜x≤1时，恒有f (x)＜f (x＋1)；当x＞1时，x＋1＞2，f (x)＜f (x＋1)等价于log2x＜log2(x＋1)，此时也恒成立.综上，不等式 f (x)＜f (x＋1)的解集为. 关于分段函数求值(范围)、不等式问题的解题思路 1.求函数值：当出现f (f (a))的形式时，应从内到外依次求值. 2.求自变量的值：在分段函数定义区间的各段上分别求出相应自变量的值，要代入检验. 3.在解决方程、不等式问题时，一是根据每一段的解析式分别求解；二是利用函数的图象快速解决. 规律方法 √ 对点练2.(1)(多选题)已知函数f (x)＝则下列关于函数f(x)的结论正确的是 A.f (x)的定义域为R B.f (x)的值域为(－∞，4] C.若f (x)＝2，则x的值是－ D.f (x)＜1的解集为(－1，1) 函数f (x)＝的定义域是[－2，＋∞)，故A错误；当 －2≤x＜1时，f (x)＝x2，值域为[0，4]，当x≥1时，f (x)＝－x＋2，值域为(－∞，1]，故f (x)的值域为(－∞，4]，故B正确； √ 当x≥1时，令f (x)＝－x＋2＝2，无解，当－2≤x＜1时，令f (x)＝x2＝2，解得x＝－，故C正确；当－2≤x＜1时，令f (x)＝x2＜1，解得x∈(－1，1)，当x≥1时，令f (x)＝－x＋2＜1，解得x∈(1，＋∞)，故f (x)＜1的解集为(－1，1)∪(1，＋∞)，故D错误.故选BC. (2)(双空题)已知函数f (x)＝若f (a)＝4，则实数a的值是_______；若f (a)≥2，则实数a的取值范围是___________________. 若f (a)＝4，则解得a＝－2或a＝5.若 f (a)≥2，则解得－3≤a＜－1或a≥4，所以实数a的取值范围是[－3，－1)∪[4，＋∞). －2或5 [－3，－1)∪[4，＋∞) 返回 考教衔接　精研教材 返回 真题再现 (2022·浙江卷)已知函数f (x)＝则f ＝_______；若当x∈[a，b]时，1≤f (x)≤3，则b－a的最大值是__________. 3＋ 由已知f ＝－＋2＝，f ＝＋－1＝，所以f ＝.当x≤1时，由1≤f (x)≤3可得1≤－x2＋2≤3，所以－1≤x≤1，当x＞1时，由1≤f (x)≤3可得1≤x＋－1≤3，所以1＜x≤2＋，综上所述，1≤f (x)≤3等价于－1≤x≤2＋，所以[a，b]⊆[－1，2＋]，所以b－a的最大值为3＋. 返回 教材呈现 (北师必修一P70T2(2))已知f (x)＝求f (－5)，f (f (－1)). 点评：本题与教材习题角度相同，考查分段函数的求值；然后在教材的基础上增加不等式的考查，是源于教材、高于教材的具体体现. 课 时 测 评 返回 由题意知解得0＜x＜1或1＜x≤e，即f (x)的定义域为(0，1)∪.故选A. √ 1.(2025·湖北孝感期末)函数f (x)＝＋的定义域为 A.(0，1)∪ B.(－∞，1)∪ C. D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 √ 令t＝＋1，t≥1，则x＝(t－1)2，所以f (t)＝(t－1)2＋3＝t2－2t＋4，即f (x)＝x2－2x＋4(x≥1).故选B. 2.(2025·广东深圳期中)已知f ＝x＋3，则f (x)＝ A.x2－2x＋2(x≥0) B.x2－2x＋4(x≥1) C.x2－2x＋4(x≥0) D.x2－2x＋2(x≥1) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 √ 根据题意，由函数y＝g(x)的图象，可得g(2)＝1，则f [g(2)＋1]＝f (2)＝3.故选D. 3.已知函数y＝f (x)的对应关系如下表所示，函数y＝g(x)的图象是如图所示的曲线ABC，则f [g(2)＋1]的值为 x 1 2 3 f (x) 2 3 0 A.0 B.1 C.2 D.3 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 4.图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术.科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时30 s注满，设注水过程中，壶中水面高度为h，注水时间为t，则下面选项中最符合h关于t的函数图象的是 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 水壶的结构：底端与上端细、中间粗，所以在注水速度恒定的情况下，开始水的高度增加的快，中间增加的慢，最后又变快，由图可知选项A符合. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 √ 5.(多选题)(2025·广东广州模拟)中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，则下列选项中不是同一个函数的是 A.y＝ln ex与y＝eln x B.y＝x2与y＝｜x｜2 C.y＝x0与y＝1 D.y＝x＋1与y＝ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 对于A，函数y＝ln ex的定义域为R，函数y＝eln x的定义域为(0，＋∞)，故A不是；对于B，函数y＝x2与y＝｜x｜2的定义域均为R，且｜x｜2＝x2，y＝x2与y＝｜x｜2是相同函数，故B是；对于C，函数y＝x0的定义域为{x∈R｜x≠0}，y＝1的定义域为R，故C不是；对于D，函数y＝x＋1的定义域为R，y＝的定义域为{x∈R｜x≠1}，故D不是.故选ACD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 √ √ 对于A，因为f (sin x)＝cos 2x＝1－2sin2x，令t＝sin x，所以f (t)＝1－2t2，－1≤t≤1，故A正确；对于B，f (cos 2x)＝sin x，取x＝，得f (0)＝，取x＝－，得f (0)＝－，故B错误；对于C，令t＝x2＋2x，所以｜x＋1｜＝＝，即f (t)＝(t≥－1)，符合题设，故C正确；对于D，取x＝1，f (2)＝2；取x＝－1，f (2)＝0，故D错误.故选AC. 6.(多选题)(2025·山东烟台模拟)存在函数f (x)满足：对于任意的x∈R，都有 A.f ＝cos 2x B.f ＝sin x C.f ＝ D.f ＝ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 已知函数f (x)的定义域为，则2 018x∈， 2 026x∈，则. 7.(1)定义域是一个函数的三要素之一.已知函数f (x)的定义域为[211， 985]，则函数f (2 018x)＋f (2 026x)的定义域为__________________. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 因为函数y＝f (x－1)的定义域是[－1，2]，即x∈[－1，2]，则x－1∈[－2，1]；对于函数y＝f (1－3x)，可知1－3x∈[－2，1]，解得x∈[0，1]，所以函数y＝f (1－3x)的定义域为[0，1]. (2)(2025·江西瑞金模拟)已知函数y＝f (x－1)的定义域是，则y＝ f (1－3x)的定义域为_________. [0，1] 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 依题意，当x0≤0时，f (x0)≥3等价于3，解得x0≥0，故得x0＝0；当x0＞0时，f (x0)≥3等价于log2x0≥3，解得x0≥8，故得x0≥8.综上可得，x0的取值范围是{0}∪[8，＋∞). 8.(2025·浙江杭州模拟)已知函数y＝f (x)，其中f (x)＝若 f (x0)≥3，则x0的取值范围是__________________. {0}∪[8，＋∞) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 9.(13分)已知函数f (x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令F(x)＝min{f (x)，g(x)}(即f (x)和g(x)中的较小者). (1)分别用图象法和解析式表示F(x)；(7分) 解：在同一平面直角坐标系中画出函数f (x)，g(x)的图象如图①所示. 由图①中函数取值的情况，结合函数F(x)的定义，可得函数F(x)的图象如图②所示. 令－x2＋2＝x，得x＝－2或x＝1.结合图②，可得F(x)＝ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (2)求函数F(x)的定义域和值域.(6分) 解：由图②知，F(x)的定义域为R，F(x)max＝F(1)＝1，所以F(x)的值域为(－∞，1]. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 要使f (x)＝lg有意义，则＞0，即(1－x)(1＋x)＞0，解得－1＜x＜1，所以函数f (x)的定义域为(－1，1).要使g(x)＝f (x－1)＋有意义，则≤x＜2， 所以函数g(x)的定义域为.故选B. 10.已知函数f (x)＝lg，则函数g(x)＝f (x－1)＋的定义域是 A.{x｜x＞2，或x＜0} B. C.{x｜x＞2} D. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 11.(2025·安徽淮北模拟)已知函数f (x)满足2f －f ＝x，则f (x)＝____________. (x≠1) 由2f －f ＝x　①，得2f －f ＝－x　②，由①②得3f ＝x，则f ＝x，令1＋＝t，则x＝(t≠1)，所以f (t)＝(t≠1)，故f (x)＝(x≠1). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 12.(15分)已知函数f (x)＝. (1)求f ＋f (3)，f ＋f (2)的值；(4分) 解：已知函数f (x)＝， 所以f ＋f (3)＝＋＝＋＝1， f ＋f (2)＝＋＝＋＝1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (2)探索f (x)＋f ；(5分) 解：由f (x)＝，得f ＝＝， 所以f (x)＋f ＝1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (3)利用(2)的结论求表达式：f ＋f ＋…＋f ＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 024)＋f (2 025)的值.(6分) 解：由(2)知f (x)＋f ＝1，f (1)＝＝， 所以f ＋f ＋…＋f ＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 024)＋f (2 025)＝2 024＋f (1)＝2 024×1＋＝. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 13. (多选题)(2025·河北石家庄模拟)如图所示，连接棱长为2的正方体各面的中心得到一个多面体容器，从顶点A处向该容器内注水，直至注满水为止.图中水面的高度为h，水面对应四边形的面积为S，容器内水的体积为V，则下列说法正确的是 A.S是h的函数 B.h是S的函数 C.S是V的函数 D.V是S的函数 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 对于A，当水面的高度h确定时，水面对应四边形的面积S也唯一确定，则S是h的函数，故A正确；对于B，当水面对应四边形的面积S确定时，水面高度h可能出现两种可能，则h不是S的函数，故B错误；对于C，V随h的增大而增大，V是h的函数，h也是V的函数，因此S是V的函数，故C正确；对于D，当水面对应四边形的面积S确定时，V可能出现两个值，V不是S的函数，故D错误.故选AC. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 14.(开放题)已知函数f (x)＝试举出一个a的值，使得 f (a)＋f (6－a)＝成立，则a可以为__________(写出一个即可). －1(或7) 因为函数f (x)＝可得当x＞1时，f (x)＝log2(x＋1)＞log22＝1，当x≤1时，f (x)＝2x－1－2≤20－2＝－1.当a＞1且6－a＞1，即1＜a＜5时，f (a)＋f (6－a)＞1＋1与f (a)＋f (6－a)＝矛盾，不符合题意；当a＞1且6－a≤1，即a≥5时，f (a)＋f (6－a)＝log2(a＋1)＋25－a－2＝，则a＝7；当a≤1且6－a＞1，即a≤1时，则f (a)＋f (6－a)＝2a－1－2＋log2(7－a)＝，则a＝－1.综上所述，a可以为－1或7. 返回 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 谢 谢 观 看 函　数 $