第一章 7 第五节 第2课时 一元二次不等式及其应用（课件PPT）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦“一元二次不等式及其应用”核心考点，依据高考评价体系梳理了三个“二次”关系、含参不等式解法、恒成立问题等考查要求，通过近五年真题分析明确“含参分类讨论”“恒成立问题”等高频考点占比，归纳已知解集求参数、分式不等式转化等常考题型，体现高考备考的针对性。 课件亮点在于“真题训练+素养导向”，融入2023新课标Ⅰ卷集合与不等式交汇真题，以“转换主元法”突破参数范围恒成立问题，培养学生逻辑思维和模型意识。通过“母题变式”解析含参不等式分类讨论易错点，帮助学生掌握解题技巧，教师可据此精准把握学情，助力高效复习冲刺。

第五节　一元二次函数与一元二次不等式 第2课时　一元二次不等式及其应用 高三一轮复习讲义 北师大版 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 课标研读 1.了解一元二次不等式的现实意义，能借助一元二次函数求解一 元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.　 2.了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 04 03 考教衔接　精研教材 课时测评 02 考点探究　提升能力 教材梳理　夯实基础 01 内容索引 教材梳理　夯实基础 返回 1.一元二次不等式 (1)一元二次不等式的概念 一般地，形如_____________，或______________，或______________，或_______________(其中，x为未知数，a，b，c均为常数，且a≠0)的不等式叫作一元二次不等式. (2)使一元二次不等式成立的________________组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集. ax2＋bx＋c＞0 ax2＋bx＋c＜0 ax2＋bx＋c≥0 ax2＋bx＋c≤0 所有未知数的值 2.三个二次之间的关系 y＝ax2＋bx＋c(a＞0) 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根 有两相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 y＝ax2＋bx＋c(a＞0) 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 一元二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象 ax2＋bx＋c＞0的解集 __________________ R ax2＋bx＋c＜0的解集 __________________ ____ ____ {x｜x＜x1，或x＞x2} {x｜x1＜x＜x2} ⌀ ⌀ 3.分式不等式与整式不等式 (1)＞0(＜0)⇔f (x)·g(x)＞0(＜0). (2)0(≤0)⇔f (x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 常用结论 (1)简单的绝对值不等式｜x｜＞a(a＞0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；｜x｜＜a(a＞0)的解集为(－a，a). 记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间. (2)不等式ax2＋bx＋c＞0(＜0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定. ①不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立⇔ ②不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立⇔ √ √ 自主检测 1.(多选题)下列说法正确的是 A.若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0 B.若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c＜0的解集一定不是空集 C.若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0(a＜0)的解集为R D.不等式0等价于(x－a)(x－b)≥0 √ 2.(链接北师必修一P36例3，改编)不等式(x－3)(x＋2)＞0的解集是 A.{x｜－2＜x＜3} B. C.{x｜x＞3，或x＜－2} D. 直接根据一元二次不等式解得x＞3，或x＜－2，则解集为{x｜x＞3，或x＜－2}.故选C. 3.若关于x的不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为，则a＋b＝_____. 依题意知故a＋b＝－14. －14 返回 4.若不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，则实数k的取值范围为__________. 当k＝0时，满足题意；当k≠0时，解得－3＜k＜0， 所以－3＜k≤0，即实数k的取值范围为(－3，0]. (－3，0] 考点探究　提升能力 返回 考点一　三个“二次”间的关系 自主练透 √ 1.已知函数f (x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若f (x)＞0的解集为{x｜－3＜x＜5}，则 A.a＜0，2c－15b＝0 B.a＞0，2c－15b＝0 C.a＜0，2c＋15b＝0 D.a＞0，2c＋15b＝0 因为f (x)＞0的解集为{x｜－3＜x＜5}，所以a＜0，且－3，5是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，所以－3＋5＝－，－3×5＝，所以b＝－2a，c＝－15a，所以2c－15b＝0.故选A. √ 2.(2025·河北保定模拟)设集合A＝{x｜－3≤x≤3}，B＝，且A∩B＝{x｜－2≤x≤3}，则a＝ A.2 B.3 C.4 D.5 因为A∩B＝，所以－2是方程2x2＋(a－8)x－4a＝0的根，即8－2(a－8)－4a＝0，得a＝4，当a＝4时，2x2－4x－16≤0，解得－2≤x≤4，此时B＝{x｜－2≤x≤4}，满足A∩B＝{x｜－2≤x≤3}，所以a＝4.故选C. √ 3.(多选题)若不等式ax2－bx＋c＞0的解集是(－1，2)，则下列选项正确 的是 A.a＜0 B.b＜0且c＞0 C.a＋b＋c＞0 D.不等式ax2－cx＋b＜0的解集是R 由题意，不等式ax2－bx＋c＞0的解集是(－1，2)，可得－1，2是方程ax2－bx＋c＝0的两个根，且a＜0，所以故A正确；则b＝a，c＝ －2a，所以b＜0，c＞0，故B正确；当x＝－1时，a＋b＋c＝0，故C不正确；把b＝a，c＝－2a代入ax2－cx＋b＜0，可得ax2＋2ax＋a＜0，因为a＜0，所以x2＋2x＋1＞0，即(x＋1)2＞0，此不等式的解集为{x｜x≠－1}，故D不正确.故选AB. √ 1.一元二次方程的根就是对应一元二次函数的零点，也是对应一元二次不等式解集的端点值. 2.已知一元二次不等式的解集，可得到对应二次函数的开口方向及与x轴的交点，然后利用代入根或根与系数的关系求待定系数. 规律方法 考点二　一元二次不等式的解法 师生共研 典例1 √ (1)(2025·安徽阜阳期末)已知集合A＝{x｜x2＋x－2≤0}，B＝，则A∩B＝ A.{x｜－2≤x≤2} B.{x｜－2≤x≤1} C.{x｜－2≤x≤－1} D.{x｜－2≤x＜－1} A＝{x｜－2≤x≤1}，而B＝{x｜x＜－1，或x≥2}，故A∩B＝{x｜－2≤x＜－1}.故选D. (2)(一题多变)解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0(a∈R). 解：原不等式变为(ax－1)(x－1)＜0， ①当a＞0时，原不等式可化为(x－1)＜0，所以当a＞1时，解得＜x＜1； 当a＝1时，解集为⌀； 当0＜a＜1时，解得1＜x＜. ②当a＝0时，原不等式等价于－x＋1＜0，即x＞1. ③当a＜0时，＜1，原不等式可化为(x－1)＞0，解得x＞1或x＜. 综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为； 当a＝1时，不等式的解集为⌀； 当a＞1时，不等式的解集为； 当a＝0时，不等式的解集为{x｜x＞1}； 当a＜0时，不等式的解集为. 变式探究 (变条件)本例(2)变为：解关于x的不等式x2－x＋a≥0. 解：因为x2－x＋a≥0， 即0， 当a＞1时，解得x≥a或x≤1； 当a＝1时，0，所以不等式的解集为R； 当a＜1时，解得x≥1或x≤a. 综上可得，当a＞1时，不等式的解集为(－∞，1]∪[a，＋∞)；当a＝1时，不等式的解集为R；当a＜1时，不等式的解集为∪. 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有： (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类. (2)根据判别式Δ与0的关系进行分类. (3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行分类. 规律方法 √ 对点练1.(1)(多选题)下列说法正确的是 A.不等式x2－12x＋20＞0的解集为{x｜x＜2，或x＞10} B.不等式x2－5x＋6＜0的解集为 C.不等式9x2－6x＋1＞0的解集为R D.不等式－2x2＋2x－3＞0的解集为⌀ 对于A，不等式x2－12x＋20＞0的解集为，或，故A正确；对于B，不等式x2－5x＋6＜0的解集为，故B正确；对于C，不等式9x2－6x＋1＞0的解集为，故C错误；对于D，不等式－2x2＋2x－3＞0，即＋＜0，解集为⌀，故D正确.故选ABD. √ √ (2)解关于x的不等式x2－ax＋1≤0. 解：由题意知，Δ＝a2－4， ①当a2－4＞0，即a＞2或a＜－2时， 方程x2－ax＋1＝0的两根为x＝， 所以解集为. ②若Δ＝a2－4＝0，则a＝±2. 当a＝2时，原不等式可化为x2－2x＋1≤0， 即(x－1)2≤0，所以x＝1； 当a＝－2时，原不等式可化为x2＋2x＋1≤0， 即(x＋1)2≤0，所以x＝－1. ③当Δ＝a2－4＜0，即－2＜a＜2时， 原不等式的解集为⌀. 综上，当a＞2或a＜－2时，原不等式的解集为 ； 当a＝2时，原不等式的解集为{1}； 当a＝－2时，原不等式的解集为{－1}； 当－2＜a＜2时，原不等式的解集为⌀. 考点三　一元二次不等式恒(能)成立问题 多维探究 典例2 √ 角度1　在R上恒成立问题 (2025·河南南阳模拟)不等式x2＋2x－4＜0对x∈R恒成立，则实数a的取值范围为 A. B. C. D. 当a－2＝0，即a＝2时，－4＜0恒成立，当a－2≠0时，因为x2＋2x－4＜0对x∈R恒成立，所以解得－2＜a＜2.综上，－2＜a≤2，即实数a的取值范围为.故选C. √ 角度2　在给定区间上恒成立问题 已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x｜－2＜x＜3}，且对于∀x∈[1，5]，不等式bx2＋amx＋2c＞0恒成立，则实数m的取值范围为 A. B. C.(13，＋∞) D.(－∞，13) 由不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x｜－2＜x＜3}，可知－2，3为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，且a＜0，故－＝－2＋3＝1，＝(－2)×3＝－6，即b＝－a，c＝－6a，则不等式bx2＋amx＋2c＞0变为－ax2＋amx－12a＞0，由于a＜0，x∈[1，5]，则上式可转化为m＜x＋在x∈[1，5]上恒成立，又x＋2＝4，当且仅当x＝2时等号成立，故m＜4，所以实数m的取值范围为(－∞，4).故选B. 典例3 典例4 √ 角度3　在给定参数范围的恒成立问题 (1)(2025·江西九江期末)若命题“∃a∈[1，3]，ax2＋(a－2)x－2＞0”是假命题，则x不能等于 A.－1 B.0 C.0.5 D.1 根据题意，知原命题的否定“∀a∈，ax2＋x－2≤0”为真命题.令f (a)＝(x2＋x)a－2x－2，故解得－1≤x≤.故选D. (2)(2025·八省适应性测试)已知函数f (x)＝x｜x－a｜－2a2，若当x＞2时， f (x)＞0，则实数a的取值范围是 A.(－∞，1] B.[－2，1] C.[－1，2] D.[－1，＋∞) 当a＞2，x＞2时，f (x)＝x｜x－a｜－2a2＝当2＜x＜a时，f ＝－x2＋ax－2a2，此时Δ＝a2－4×2a2＝－7a2＜0，所以f ＜0，不满足当x＞2时，f (x)＞0，故a＞2不符合题意. √ 当0＜a≤2，x＞2时，f (x)＝x｜x－a｜－2a2＝x2－ax－2a2＝＞0，解得x＞2a，由于x＞2时，f (x)＞0，故2a≤2，解得0＜a≤1.当a＝0，x＞2时，f (x)＝x2＞0恒成立，符合题意.当a＜0，x＞2时，f (x)＝x－2a2＝x2－ax－2a2＝＞0，解得x＞－a，由于x＞2时，f (x)＞0，故－a≤2，解得－2≤a＜0.综上－2≤a≤1.故选B. 恒成立问题的三种解法 1.一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ. 2.一元二次不等式在给定区间上恒成立，一般分离参数或分类 讨论. 3.已知参数范围，求x的范围采用转换主元的方法解决. 规律方法 对点练2.(一题多问，一题练透)已知关于x的不等式2x－1＞m(x2－1). (1)是否存在实数m，使不等式对任意x∈R恒成立？请说明理由. 解：原不等式等价于mx2－2x＋(1－m)＜0， 当m＝0时，－2x＋1＜0不恒成立； 当m≠0时，若不等式对于任意实数x恒成立， 则需m＜0且Δ＝4－4m(1－m)＜0，无解， 所以不存在实数m，使不等式恒成立. (2)若不等式对任意x∈[0，1]恒成立，求实数m的取值范围. 解：令f (x)＝mx2－2x－m＋1. 当m＞0时，解得m＞1； 当m＝0时，－2x＋1＜0在[0，1]上不恒成立； 当m＜0时，因为二次函数图象的对称轴为直线x＝，抛物线开口向下，所以只需f (0)＝－m＋1＜0，解得m＞1，矛盾. 综上，实数m的取值范围为(1，＋∞). (3)对于m∈[－2，2]，不等式恒成立，求实数x的取值范围. 解：利用转换主元法，设g(m)＝(x2－1)m－(2x－1). 若当m∈[－2，2]时，g(m)＜0恒成立， 则 解得＜x＜， 所以实数x的取值范围为. (4)若不等式在[2，3]上有解，求实数m的取值范围. 解：因为x∈[2，3]，不等式可整理为m＜， 即m＜， 设2x－1＝t∈[3，5]，则x2－1＝， 所以m＜＝＝. 因为函数y＝t和函数y＝－在[3，5]上均为增函数，所以函数y＝t－＋2在[3，5]上为增函数，则函数y＝在[3，5]上为减函数， 所以m＜＝1. 故实数m的取值范围为(－∞，1). 返回 考教衔接　精研教材 返回 真题再现 法一：因为N＝{x｜x2－x－6≥0}＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)，而M＝{－2，－1，0，1，2}，所以M∩N＝{－2}.故选C. 法二：因为M＝{－2，－1，0，1，2}，将－2，－1，0，1，2代入不等式x2－x－6≥0，只有－2使不等式成立，所以M∩N＝{－2}.故选C. √ (2023·新课标Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x｜x2－x－6≥0}，则M∩N＝ A.{－2，－1，0，1} B.{0，1，2} C.{－2} D.{2} 返回 教材呈现 (北师必修一P44A组T5)求下列不等式的解集： (1)2x2－7x－15＜0； (2)－x2＋4x－3≤0. 点评：两题均考查了一元二次不等式的解法，在解一元二次不等式时首先将不等式化为标准形式，然后再利用根与系数的关系解题. 课 时 测 评 返回 由－x2＋3x＋10＞0，得x2－3x－10＜0，解得－2＜x＜5，所以原不等式的解集为(－2，5).故选A. √ 1.不等式－x2＋3x＋10＞0的解集为 A.(－2，5) B.(－∞，－2)∪(5，＋∞) C.(－5，2) D.(－∞，－5)∪(2，＋∞) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 √ 不等式≤x－2可化为－≤0，即有≤0，于是解得0≤x＜2或x≥4，所以原不等式的解集为∪.故选B. 2.(2025·广东湛江模拟)不等式≤x－2的解集为 A.∪ B.∪ C. D.∪ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 √ 由已知可得1，2为方程x2＋mx＋n＝0的根，由韦达定理可得故选B. 3.(2025·浙江绍兴模拟)若关于x的不等式＞0的解集为，则 A.m＝3，n＝2 B.m＝－3，n＝2 C.m＝3，n＝－2 D.m＝－3，n＝－2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 因为对任意的x∈(1，4)，都有ax2－2x＋2＞0恒成立，所以a＞对任意的x∈(1，4)恒成立.设f (x)＝＝－＋＝－2＋，因为x∈(1，4)，所以＜＜1，所以当＝，即x＝2时，f (x)max＝，所以实数a的取值范围是.故选D. √ 4.对任意的x∈(1，4)，不等式ax2－2x＋2＞0都成立，则实数a的取值范围是 A.[1，＋∞) B. C. D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 √ 对于A，4x2－5x＋1＞0⇔＞0⇔x＜或x＞1，故A错误；对于B，2x2－x－6≤0⇔≤0⇔－≤x≤2，故B错误； 5.(多选题)(2025·广东深圳模拟)下列说法正确的是 A.不等式4x2－5x＋1＞0的解集是 B.不等式2x2－x－6≤0的解集是 C.若不等式ax2＋8ax＋21＜0恒成立，则a的取值范围是⌀ D.若关于x的不等式2x2＋px－3＜0的解集是，则p＋q的值为－ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 若不等式ax2＋8ax＋21＜0恒成立，当a＝0时，21＜0不成立，所以只能而该不等式组无解，故C正确；对于D，由题意得q，1是一元二次方程2x2＋px－3＝0的两根，从而解得p＝1，q＝－，而当p＝1，q＝－时，一元二次不等式2x2＋x－3＜0⇔＜0⇔－＜x＜1，满足题意，所以p＋q的值为－，故D正确.故选CD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 √ √ √ 6.(多选题)(2025·江苏南京期末)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x｜1＜x＜3}，则 A.a＜0 B.a＋b＋c＝0 C.4a＋2b＋c＜0 D.不等式cx2－bx＋a＜0的解集是 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 由题意可知，1，3是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，且a＜0，⇒对于A，由以上可知a＜0，故A正确；对于B，当x＝1时，代入方程可得a＋b＋c＝0，故B正确；对于C，因为1＜2＜3，不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x｜1＜x＜3}，故将x＝2代入不等式左边为4a＋2b＋c＞0，故C错误；对于D，原不等式可变为3ax2＋4ax＋a＜0，且a＜0，可得3x2＋4x＋1＞0，解集为，故D正确.故选ABD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 根据函数图象可知，方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为1和2，且a＞0，根据韦达定理，可知－＝3，＝2，即b＝－3a，c＝2a，代入(ax＋b)(bx＋c)＜0中可得(ax－3a)(－3ax＋2a)＜0，化简可得(x－3)(3x－2)＞0，解得x∈∪. 7.已知函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则不等式＜0的解集是_______________________. ∪ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 由题意m≥3＋＋＝＋对任意x∈恒成立，因为y＝＋上单调递减，所以m≥3＋1＋1＝5，即实数m的取值范围是[5，＋∞). 8.(2025·浙江杭州模拟)对任意x∈，不等式x2≥x＋1恒成立，则实数m的取值范围是__________. [5，＋∞) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 9.(13分)已知函数y＝x2－x＋1，a＞0. (1)比较a与的大小；(6分) 解：因为a－＝＝， 且a＞0， 所以当0＜a＜1时，a＜；当a＞1时，a＞； 当a＝1时，a＝. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (2)解关于x的不等式y≤0.(7分) 解：由题意，x2－x＋1≤0， 即(x－a)≤0， 当0＜a＜1时，有a＜，则不等式解集为； 当a＞1时，有a＞，则不等式解集为； 当a＝1时，有a＝，则不等式解集为. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 因为＝ad－bc，由＞，得到4a2－2＞2a2－(4－5a)，整理得到2a2－5a＋2＞0，解得a＞2或a＜，故实数a的取值范围为∪(2， ＋∞).故选D. 10.(新定义)(2025·辽宁本溪期末)定义行列式＝ad－bc，若行列式＞，则实数a的取值范围为 A. B.∪ C. D.∪ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 √ 11.(多选题)(2025·安徽淮北期末)已知关于x的一元二次不等式ax2－2ax＋b＞0的解集为A＝{x｜m＜x＜n}(其中m＜n)，关于x的一元二次不等式ax2－2ax＋b＞－2的解集为B＝{x｜p＜x＜q}，则 A.A∩B＝B B.⊆B C.m＋n＝p＋q D.当b＜－2时，＋的最小值为3 √ 因为关于x的一元二次不等式ax2－2ax＋b＞0的解集为A＝(其中m＜n)，所以二次函数y1＝ax2－2ax＋b与x轴有两个交点且a＜0，交点坐标分别为，，又关于x的一元二次不等式ax2－2ax＋b＞－2的解集为B＝，即二次函数y2＝ax2－2ax＋b＋2与x轴有两个交点且a＜0，交点坐标分别为， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 ，又二次函数y2＝ax2－2ax＋b＋2的图象是由y1＝ax2－2ax＋b向上平移2个单位得到的，又y1＝ax2－2ax＋b开口向下，对称轴为x＝1，由于无法确定b的值，只能得到y1＝ax2－2ax＋b与y2＝ax2－2ax＋b＋2图象的大致情形如图所示(这里只列出其中一种)：所以p＜m＜1＜n＜q， 则A⊆B，所以A∩B＝A，A∪B＝B⊆B，故A错误，B正确；又m＋n＝2，p＋q＝2，所以m＋n＝p＋q，故C正确；因为p，q为关于x的方程ax2－2ax＋b＋2＝0的两根，所以p＋q＝2， pq＝， 又b＜－2，所以b＋2＜0，所以pq＝＞0，所以p＞0， q＞0，所以＋＝＋＝＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当 ＝，即p＝q＝1时取等号，显然p＜q，所以＋＞3，故D错误.故选BC. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 12.(15分)(一题多问)已知f (x)＝ax2－3x－4. (1)若f (x)≥0对∀a∈[1，2]恒成立，求实数x的取值范围；(3分) 解：令g(a)＝ax2－3x－4，则有 即解得x≥4或x≤－1. 故x的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (2)若f (x)≥0在x∈[1，2]上恒成立，求实数a的取值范围；(4分) 解：f (x)≥0在x∈[1，2]上恒成立，即ax2－3x－4≥0在x∈[1，2]上恒 成立， 所以a在x∈[1，2]上恒成立，等价于a，x∈[1，2]. 令y＝＝4＋3＝4－，∈. 由二次函数的性质知，当＝1，即x＝1时，ymax＝＝7，即a≥7， 故实数a的取值范围为[7，＋∞). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (3)解关于x的不等式f (x)≥0.(8分) 解：由题意可知f (x)＝ax2－3x－4≥0. 当a＝0时，－3x－4≥0，解得x≤－， 所以不等式的解集为. 当a≠0时，令Δ＝9＋16a＞0，得a＞－， 由ax2－3x－4＝0，解得x1＝，x2＝. 当a＞0时，x1＜x2，所以不等式的解集为； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 当－＜a＜0时，x1＞x2，所以不等式的解集为. 当Δ＝9＋16a＝0，即a＝－时，x1＝x2＝－， 所以不等式的解集为. 当Δ＝9＋16a＜0，即a＜－时，原不等式的解集为⌀. 综上所述，当a＝0时，原不等式的解集为；当a＞0时，原不等式的解集为；当－＜a＜0时，原不等式的解集为；当a＝－时，原不等式的解集为；当a＜－时，原不等式的解集为⌀. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 13.(新角度)下面给出了问题：“已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x｜－2＜x＜1}，解关于x的不等式ax2－bx＋c＞0.”的一种解法： 因为不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x｜－2＜x＜1}，又不等式ax2－bx＋c＞0可化为a(－x)2＋b(－x)＋c＞0，所以－2＜－x＜1，即－1＜x＜2.所以不等式ax2－bx＋c＞0的解集为{x｜－1＜x＜2}. 参考上述解法，解答问题： 若关于x的不等式＋＜0的解集为{x｜－2＜x＜－1，或1＜x＜3}. 则关于x的不等式＋＜0的解集为 A.∪ B.(－1，1)∪(1，3) C.(－3，－1)∪(1，2) D.∪ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 因为x＝0不是不等式＋＜0的解，所以不等式＋＜0等价于＋＜0，所以－2＜－＜－1或1＜－＜3，解得－1＜x＜－＜x＜1.故选A. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 14.已知f (x)＝2x2＋bx＋c，不等式f (x)＜0的解集是.若不等式组的正整数解只有一个，则实数k的取值范围是__________. 因为不等式f (x)＜0的解集是(0，5)，所以0，5是一元二次方程2x2＋bx＋c＝0的两个实数根，可得所以f (x)＝2x2－10x；不等式组 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 即为 解得因为不等式组的正整数解只有一个，可得该正整数解就是6，可得6＜5－k≤7，解得－2≤k＜－1，所以实数k的取值范围是[－2，－1). 返回 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 谢 谢 观 看 一元二次不等式及其应用 $