第一章 6 第五节 第1课时 一元二次函数及其性质（课件PPT）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦一元二次函数的解析式、图象及性质、最值等核心考点，严格依据新课标“理解二次函数图象和性质，解决三者关系问题”的要求。通过教材梳理夯实基础，考点探究分题型归纳，考教衔接结合教材例题与2024北京卷真题，精准对接高考评价体系，明确高频考点分布与解题策略。 课件亮点在于“真题引领+方法建模+分层测评”，如2024北京卷真题解析渗透数形结合思想，最值问题“三点一轴”分类讨论法培养逻辑推理素养。课时测评覆盖选择填空解答，含13道典型题，助力学生掌握待定系数法等技巧，教师可据此把握学情，提升复习效率。

第五节　一元二次函数与一元二次不等式 第1课时　一元二次函数及其性质 高三一轮复习讲义 北师大版 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 课标研读 1.理解二次函数的图象和性质.　 2.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. 04 03 考教衔接　精研教材 课时测评 02 考点探究　提升能力 教材梳理　夯实基础 01 内容索引 教材梳理　夯实基础 返回 1.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f (x)＝__________________. (2)顶点式：f (x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为________. (3)零点式：f (x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f (x)的零点. ax2＋bx＋c(a≠0) (m，n) 2.二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0) 图象(抛物线) 定义域 ____ 值域 对称轴 x＝－ 顶点坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 R 函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0) 单调性 在上是____函数； 在上是____函数 在上是____函数； 在上是____函数 减 增 增 减 常用结论 (1)对于二次函数y＝f (x)，如果f (x1)＝f (x2)(x1≠x2)，那么二次函数y＝f (x)关于直线x＝对称；如果对于定义域内的所有x，都有f (a＋x)＝ f (a－x)，则二次函数y＝f (x)关于直线x＝a对称. (2)若f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时，恒有f (x)＞0；当时，恒有f (x)＜0. √ √ √ 自主检测 1.(多选题)下列说法不正确的是 A.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴下方，则a＜0且Δ＜0 B.若二次函数y＝ax2＋bx＋c的两个零点确定，则二次函数的解析式确定 C.二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[m，n])的最值一定是 D.二次函数y＝ax2＋bx＋c在上单调递减，在上单调递增 2.已知函数f (x)＝ax2＋bx＋c，若a＞b＞c且a＋b＋c＝0，则它的图象可 能是 √ 由a＞b＞c且a＋b＋c＝0，得a＞0，c＜0，所以函数f (x)是二次函数，图象开口向上，排除A，C；又f (0)＝c＜0，所以排除B；只有D符合. 故选D. 3.(链接北师必修一P33T1，改编)函数y＝x2－2x＋4的最小值为____. y＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋3，故当x＝1时，ymin＝3. 3 4.已知y＝f (x)为二次函数，若y＝f (x)在x＝2处取得最小值－4，且y＝f (x)的图象经过原点，则函数解析式为__________________. f (x)＝x2－4x 由题意，可设f (x)＝a(x－2)2－4(a＞0)，又图象过原点，所以f (0)＝4a－4＝0，a＝1，所以f (x)＝(x－2)2－4＝x2－4x. 返回 考点探究　提升能力 返回 考点一　二次函数的解析式 自主练透 1.(一题多解)已知二次函数f (x)满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x)的最大值是8，则f (x)＝______________. 法一：(利用“一般式”)设f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).由题意得所以所求二次函数的解析式为f (x)＝－4x2＋4x＋7. －4x2＋4x＋7 法二：(利用“顶点式”)设f (x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).因为f (2)＝f (－1)，所以抛物线的对称轴为x＝＝，所以m＝.又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8，所以f (x)＝a＋8.因为f (2)＝－1，所以a＋8＝ －1，解得a＝－4，所以f (x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7. 法三：(利用“零点式”)由已知f (x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设 f (x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f (x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值8，即＝8，解得a＝－4或a＝0(舍).故所求函数的解析式为f (x)＝－4x2＋4x＋7. 2.已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，则二次函数的解析式为_____________________________. 因为二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以可设二次函数为y＝a(x＋3)(x－1)(a≠0)，展开得，y＝ax2＋2ax－3a，顶点的纵坐标为＝－4a，由于二次函数图象的顶点到x轴的距离为2，所以 ｜－4a｜＝2，即a＝±，所以二次函数的解析式为y＝x2＋x－或y＝－x2－x＋. y＝x2＋x－或y＝－x2－x＋ 3.已知y＝f (x)是二次函数，且f (0)＝1，f (x＋1)－f (x)＝2x，则y＝f (x)＝____________. 因为f (0)＝1，y＝f (x)是二次函数，所以设f (x)＝ax2＋bx＋1，又因为f (x＋1)－f (x)＝2x，所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2ax＋a＋b＝2x，所以2a＝2，a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1，所以f (x)＝x2－x＋1. x2－x＋1 　　求二次函数的解析式常用待定系数法：若已知图象经过三点的坐标选用一般式；已知顶点坐标、对称轴方程或最值选用顶点式；已知与x轴两交点坐标选用零点式. 规律方法 考点二　二次函数的图象 师生共研 典例1 √ (1)(2025·广东惠州模拟)已知一次函数y＝ax＋b的图象如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx的图象可能是 由一次函数的图象可知：a＜0，b＞0，所以二次函数y＝ax2＋bx的图象开口向下，且对称轴为x＝－＞0.故选D. √ (2)(多选题)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论正确的为 A.b2＞4ac 　　　B.2a－b＝1 C.a－b＋c＝0 　　　D.5a＜b 因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，故A正确；对称轴为x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，故B错误；结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，故C错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a.根据抛物线开口向下，知a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，故D正确.故选AD. √ 　　对二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”指顶点和关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”指对称轴；“一开口”指抛物线的开口方向. 规律方法 √ 对点练1.(1)(多选题)(2025·河南南阳模拟)在一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，其中a与b同号，那么函数的图象可能为 √ 对于A，开口向上，a＞0，对称轴－＞0，所以b＜0，与已知矛盾，故A错误；对于B，开口向上，a＞0，对称轴－＜0，所以b＞0，满足条件，故B正确；对于C，开口向下，a＜0，对称轴－＜0，所以b＜0，满足条件，故C正确；对于D，开口向下，a＜0，对称轴－＞0，所以b＞0， 与已知矛盾，故D错误.故选BC. √ (2)(多选题)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列说法正确的是 A.2a＋b＝0 B.4a＋2b＋c＜0 C.9a＋3b＋c＜0 D.abc＜0 由二次函数图象开口向下知a＜0，对称轴为x＝－＝1，即2a＋b＝0，故b＞0.又因为f(0)＝c＞0，所以abc＜0.f(2)＝f(0)＝4a＋2b＋c＞0，f(3)＝f(－1)＝9a＋3b＋c＜0.故选ACD. √ √ 考点三　二次函数的最值 师生共研 典例2 (一题多变)已知函数f (x)＝x2－tx－1. (1)若f (x)在区间(－1，2)上不单调，求实数t的取值范围； 解：f (x)＝x2－tx－1＝－1－. 依题意，－1＜＜2，解得－2＜t＜4，所以实数t的取值范围是(－2，4). (2)若x∈[－1，2]，求f (x)的最小值g(t). 解：f (x)＝x2－tx－1＝－1－. ①当2，即t≥4时，f (x)在[－1，2]上单调递减，所以f (x)min＝f (2)＝3－2t. ②当－1＜＜2，即－2＜t＜4时，f (x)min＝f ＝－1－. ③当≤－1，即t≤－2时，f (x)在[－1，2]上单调递增，所以f (x)min＝f (－1)＝t. 综上，g(t)＝ (变结论)本例条件不变，求当x∈[－1，2]时，f (x)的最大值G(t). 解：f (－1)＝t，f (2)＝3－2t，f (2)－f (－1)＝3－3t， 当t≥1时，f (2)－f (－1)≤0，所以f (2)≤f (－1)，所以f (x)max＝f (－1)＝t； 当t＜1时，f (2)－f (－1)＞0，所以f (2)＞f (－1)，所以f (x)max＝f (2)＝3－2t， 综上有G(t)＝ 变式探究 闭区间上二次函数最值的解法 1.抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴. 2.根据对称轴与区间的关系进行讨论. 规律方法 对点练2.已知二次函数f (x)满足f (x＋1)－f (x)＝2x－2且f (1)＝0. (1)求f (x)的解析式； 解：设f (x)＝ax2＋bx＋c，a≠0， 则a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c－ax2－bx－c＝2x－2，即2ax＋a＋b＝2x－2， 故故f (x)＝x2－3x＋c， 又f (1)＝0，故1－3＋c＝0，解得c＝2，所以f (x)＝x2－3x＋2. (2)设g(x)＝f (x)＋x－1，x∈，求函数g(x)的最小值h. 解：g(x)＝x2＋ax＋1，x∈，对称轴为x＝－，当－＜－2，即a＞4时，g(x)在上单调递增，故x＝－2时，g(x)取得最小值，故h＝g(－2)＝5－2a； 当－2≤－≤1，即－2≤a≤4时，当x＝－时，g(x)取得最小值， 故h＝g＝－＋1＝－＋1； 当－＞1，即a＜－2时，g(x)在上单调递减， 当x＝1时，g(x)取得最小值，故h＝g(1)＝1＋a＋1＝2＋a. 综上，h＝ 返回 考教衔接　精研教材 返回 真题再现 设f (t)＝x＋(x2－x)t，当x＝1时，f (t)＝1；当1＜x≤2时， x2－x＞0，所以f (t)单调递增，所以当0≤t≤1时，f (0)≤ f (t)≤f (1)，即x≤f (t)≤x2，则集合M表示的区域如图中阴 影部分所示. √ (2024·北京卷)已知M＝{(x，y)｜y＝x＋t(x2－x)，1≤x≤2，0≤t≤1}是平面直角坐标系中的点集.设d是M中两点间的距离的最大值，S是M表示的图形的面积，则 A.d＝3，S＜1 B.d＝3，S＞1 C.d＝，S＜1 D.d＝，S＞1 连接AC，由图易知，d＝｜AC｜＝＝，S＜S△ABC＝×(4－2)×(2－1)＝1.故选C. 返回 教材呈现 (北师必修一P33例1)已知一元二次函数y＝x2＋2x＋5. (1)指出它的图象可以由函数y＝x2的图象经过怎样的变换而得到； (2)指出它的图象的对称轴，试述函数值的变化趋势及函数的最大值或最 小值. 点评：数形结合是以形助数，见数想图，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解. 课 时 测 评 返回 f (x)＝2x2－x－1＝2－，对称轴为直线x＝，所以f ＝－，又f (1)＝2－1－1＝0，f (－1)＝2＋1－1＝2，故f (x)＝2x2－x－1在－1≤x≤1上的值域为.故选D. √ 1.函数f (x)＝2x2－x－1 的值域是 A. B. C. D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 √ 由于二次函数y＝x2＋(1＋m)x＋2的二次项系数为正数，对称轴为直线x＝－，所以－4，故m≤－9，因此，实数m的取值范围是.故选A. 2.(2025·广东揭阳模拟)已知函数y＝x2＋x＋2在区间上单调递减，则实数m的取值范围是 A. B. C. D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 √ y＝－x2＋2x＝－＋1，最大值是1，故A正确；对称轴是直线x＝1，故B正确；单调递减区间是，故C错误；令x＝2得y＝－22＋2×2＝0，故在函数图象上，故D正确.故选C. 3.关于函数y＝－x2＋2x，以下表述错误的是 A.函数的最大值是1 B.函数图象的对称轴是直线x＝1 C.函数的单调递减区间是D.函数图象过点 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 由f (0)＝f (4)，得f (x)图象的对称轴为直线x＝－＝2，所以4a＋b＝0，又f (0)＝f (4)＞f (1)，所以f (x)的图象开口向上，a＞0.故选A. √ 4.已知a，b，c∈R，函数f (x)＝ax2＋bx＋c，若f (0)＝f (4)＞f (1)，则 A.a＞0，4a＋b＝0 B.a＜0，4a＋b＝0 C.a＞0，2a＋b＝0 D.a＜0，2a＋b＝0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 √ 5. (多选题)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，其对称轴是直线x＝－1，且过点，下列说法正确的是 A.abc＜0 B.2a－b＝0 C.3a＋c＝0 D.，是抛物线上两点，y1＞y2 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 由图知该抛物线开口向上，故a＞0，因为对称轴是直 线x＝－1，所以－＝－1，故b＝2a＞0，即2a－b＝ 0，故B正确；因为抛物线与y轴的交点在x轴下方，所 以c＜0，所以abc＜0，故A正确；由抛物线对称性得 该函数图象必过，可得a＋b＋c＝0，结合b＝2a，可得3a＋c＝0，故C正确；易知点，到对称轴距离相等，故y1＝y2，故D错误.故选ABC. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 √ √ √ 易知二次函数f (x)＝x2－4x＋3的图象关于x＝2对称，且开口向上，所以在对称轴处取得最小值f (x)min＝f (2)＝－1，如图所示： 6.(多选题)已知函数f (x)＝x2－4x＋3在上的值域是，则b－a的取值可以是 A.1 B.2 C.3 D.4 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 令f (x)＝x2－4x＋3＝3，解得x＝0或x＝4，若使f (x)＝x2－4x＋3在，则需满足a＝0，b∈或b＝4，a∈，因此可得b－a∈.所以b－a的取值可以是2，3，4.故选BCD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 因为二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交于，两点，所以设二次函数解析式为y＝a，又因为该函数过点，所以－＝a，解得a＝，所以所求函数解析式为y＝，即y＝x2－x－4. 7.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c满足以下条件：图象与x轴交于，两点，且过点，则函数解析式为__________________. y＝x2－x－4 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 命题p的否定：对任意m∈，函数f (x)＝x2－2mx在区间[a，＋∞)内不单调，由函数f (x)＝x2－2mx在上单调递减，在上单调递增，则a＜m，而m∈，得a＜－1，所以实数a的取值范围是(－∞，－1). 8.(2025·辽宁大连模拟)命题p：存在m∈，使得函数f (x)＝x2－2mx在区间内单调，若p的否定为真命题，则实数a的取值范围是__________. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 9.(13分)已知函数f (x)＝2x2＋ax＋b. (1)若f (x)＝f ，且f (2)＝3，求a，b的值；(5分) 解：由函数f (x)＝2x2＋ax＋b， 因为f (x)＝f ，且f (2)＝3， 可得 解得a＝－4，b＝3. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 (2)当a＝1时，若函数f (x)的值域和函数f (f (x))的值域相同，求实数b的取值范围.(8分) 解：当a＝1时，函数f (x)＝2x2＋x＋b＝2＋b－∈， 令t＝f (x)，则f＝f＝2t2＋t＋b＝2＋b－，t∈， 因为函数f (x)的值域和函数f 的值域相同，可得b－≤－，解得b≤－， 所以实数b的取值范围为. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 函数f (x)的图象关于x＝1对称，在(－∞，1)上单调 递减，在(1，＋∞)上单调递增.由f (t)＜0，f (0)＝ f (2)＝a＞0可得，存在x1∈(0，1)，x2∈(1，2)，使 得f (x1)＝f ＝0，其中t∈.对于A，t∈ ，则t－2＜0，所以f (t－2)＞f (0)＞0，故A正确； 10.(多选题)已知f (x)＝x2－2x＋a(a＞0)，若f (t)＜0，则 A.f (t－2)＞0 B.f (t－1)＜0 C.f (2－t)＜0 D.f (4－t)＞f (2) √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 对于B，t∈，则t－1可能小于0，t－1也可能属于，故 f (t－1)的符号不确定，故B错误；对于C，根据对称性可得f (2－t)＝f (t)＜0，故C正确；对于D，由于t∈，且x2∈(1，2)，所以4－t＞2，又f (x)在(1，＋∞)上单调递增，所以f ＞f (2)，故D正确.故选ACD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 11.(开放题)请写出一个函数f (x)＝_____________________，使之同时具有如下性质： (1)函数f 为偶函数；(2)f (x)的值域为[0，＋∞). (答案不唯一) 根据题意，要求函数f 为偶函数，则函数f (x)关于直线x＝2对称，而f (x)的值域为[0，＋∞)，f (x)可以为二次函数，如f (x)＝(答案不唯一). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 12.(15分)(2025·江西南昌开学考)已知函数f (x)＝tx2＋x－3t＋1(t∈R). (1)若f (x)在上单调递增，求实数t的取值范围；(6分) 解：当t＝0时，f (x)＝x＋1，则f (x)在上单调递增，满足条件； 当t≠0时，f (x)＝tx2＋x－3t＋1的对称轴为x＝－，要使f (x)在上单调递增， 则解得－≤t＜0. 综上，若f (x)在上单调递增，则实数t的取值范围为. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 (2)若t＞0，设函数f (x)在区间上的最大值为g，求g的表达式，并求出g的最小值.(9分) 解：当t＞0时，f (x)＝tx2＋x－3t＋1的对称轴为x＝－＜0，所以f (x)在上单调递减，在上单调递增； 当－＝＝－，即t＝时，f (x)max＝g(t)＝f (－2)＝f (－1)＝－2t； 当－＜－，即0＜t＜时，f (x)max＝g(t)＝f (－1)＝－2t； 当－＞－，即t＞时， f (x)max＝g(t)＝f (－2)＝t－1. 综上，g＝ 所以当t＝时，g(t)min＝g＝－. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 13.(17分)定义：满足f (x)＝x的实数x称为函数f (x)的不动点，已知二次函数f (x)＝ax2＋bx，且f (x＋1)为偶函数，若函数f (x)有且仅有一个不动点. (1)求f (x)的解析式；(7分) 解：因为f (x)＝ax2＋bx，所以f (x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋(2a＋b)x＋a＋b. 因为f (x＋1)为偶函数， 所以－＝0，即2a＋b＝0. 又因为函数f (x)有且仅有一个不动点，则ax2＋bx＝x只有一个根， 所以Δ＝(b－1)2＝0，解得b＝1，又2a＋b＝0， 所以a＝－. 所以f (x)的解析式为f (x)＝－x2＋x. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 (2)若函数g(x)＝f (x)＋＋x2，求函数g(x)在x∈[1，2]上的最小值.(10分) 解：g(x)＝－x2＋x＋＋x2＝x＋，x∈[1，2]，g'(x)＝1－＝， 当k≤1时，g'(x)≥0，g(x)在[1，2]上单调递增，g(x)min＝g(1)＝1＋k； 当1＜k＜4时，g(x)在[1，)上单调递减，在(，2]上单调递增，g(x)min＝g()＝2； 当k≥4时，g'(x)≤0，g(x)在[1，2]上单调递减，g(x)min＝g(2)＝2＋. 综上所述，当k≤1时，g(x)的最小值为1＋k；当1＜k＜4时，g(x)的最小值为2；当k≥4时，g(x)的最小值为2＋. 返回 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 谢 谢 观 看 一元二次函数及其性质 $