第一章 4 第四节 基本不等式（课件PPT）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦“基本不等式”专题，依据课标要求梳理了不等式成立条件、最值求法及实际应用三大核心考点，通过考点探究分配凑法、常数代换法等角度归纳常考题型，结合新高考Ⅱ卷真题分析考查权重，构建系统备考体系。 课件亮点在于“分层突破+真题实战”策略，如用常数代换法解析“已知2x+y=1求(x+y)/xy最小值”典型题，培养数学思维与运算能力，通过易错点分析强化“一正二定三相等”应用，助力学生掌握解题技巧，为教师提供精准复习指导。

第四节　基本不等式 高三一轮复习讲义 北师大版 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 课标研读 1.掌握基本不等式≥(a≥0，b≥0).　 2.能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题. 3.掌握基本不等式在实际问题中的应用. 04 03 考教衔接　精研教材 课时测评 02 考点探究　提升能力 教材梳理　夯实基础 01 内容索引 教材梳理　夯实基础 返回 微提醒　在运用基本不等式及其变形时，一定要验证等号是否成立. 1.基本不等式 a≤0，b≤0. a＝b 或不等 大于 2.利用基本不等式求最值 当x，y均为正数时，下面的命题均成立： (1)若x＋y＝s(s为定值)，则当且仅当x＝y时，xy取得最大值. (2)若xy＝p(p为定值)，则当且仅当x＝y时，x＋y取得最小值______. 微提醒 利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”. 微提醒 利用基本不等式求最值简记为：积定和最小，和定积最大. 2 常用结论 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R). (2)＋2(a，b同号). (3)ab≤.要根据两数积、两数和、两数平方和选择合适的 形式. √ √ √ 自主检测 1.(多选题)下列命题中不正确的是 A.不等式a2＋b2≥2ab与成立的条件是相同的 B.若x＞0，则y＝x＋的最小值是2 C.函数y＝sin x＋，x∈的最小值是4 D.“x＞0且y＞0”是“＋2”的充要条件 不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，成立的条件是a≥0，b≥0.故A错误；由于x∈(0，＋∞)，故函数y＝x＋的最小值为2.故B正确；由于x∈，sin x＝时，sin x＝±2无解，故sin x＋的最小值不为4.故C错误；“＋2”的充要条件是“xy＞0”.故D错误.故选ACD. 2.(链接北师必修一P30A组T7，改编)设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为 A.77 B.80 C.81 D.82 √ xy≤＝81，当且仅当x＝y＝9时，等号成立.故选C. 因为x≥0，所以x＋1＞0，＞0，利用基本不等式得y＝x＋＝x＋1＋－1≥2－1＝1，当且仅当x＋1＝，即x＝0时，等号成立.所以函数y＝x＋(x≥0)的最小值为1. 3.(链接北师必修一P28T4，改编)函数y＝x＋(x≥0)的最小值为_____. 1 设矩形的一边为x m，面积为y m2，则另一边为×(20－2x)＝(10－x) m，其中0＜x＜10，所以y＝x(10－x)≤＝25，当且仅当x＝ 10－x，即x＝5时，等号成立，所以ymax＝25，即矩形场地的最大面积是 25 m2. 返回 4.(链接北师必修一P30练习T3，改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_____ m2. 25 考点探究　提升能力 返回 考点一　基本不等式的理解及常见变形 自主练透 因为0＜a＜b，所以2b＞a＋b，所以b＞＞.因为b＞a＞0，所以ab＞a2，所以＞a.故b＞＞＞a.故选C. √ 1. 若0＜a＜b，则下列不等式一定成立的是 A.b＞＞a＞ B.b＞＞＞a C.b＞＞＞a D.b＞a＞＞ √ 2.《几何原本》中的几何代数法研究代数问题，这种 方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一 原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证 明，也称为无字证明.现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于点D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为点E，则该图形可以完成的无字证明为 A.(a＞0，b＞0) B.a2＋b2≥2ab(a＞0，b＞0) C.(a＞0，b＞0) D.(a＞0，b＞0) 根据图形，利用射影定理得CD2＝DE·OD，又OD＝AB＝(a＋b)，CD2＝AC·CB＝ab，所以DE＝＝，由于OD≥CD，所以 (a＞0，b＞0).由于CD≥DE，所以＝(a＞0，b＞0).故 选C. 对于A，由选项可知a与b同号，当a＞0且b＞0时，由基本不等式可知恒成立，当a＜0且b＜0时，＜0，＞0，该不等式不成立，故A错误； √ 3.(多选题)已知a，b∈R，则下列不等式成立的是 A. B. C. D.ab≤ √ 对于B，当a＋b＞0时，＞0，则－＝＝≤0恒成立，即恒成立，当a＋b≤0时，原不等式恒成立，故B正确；对于C，当a＋b＞0时，2ab－＝≤0，即2ab≤，恒成立，当a＋b＜0时，2ab－＝≤0，即2ab≤，，故C错误；对于D，由重要不等式可知，a，b∈R，ab≤恒成立，故D正确.故选BD. 　　在利用基本不等式或其变形时，注意不等式成立及等号成立的条件；另注意特殊值的应用. 规律方法 考点二　利用基本不等式求最值 多维探究 由x＞2，则x－2＞0，则y＝＋＋2≥2＋2＝10，当且仅当＝x－2，即x＝6时取等号.故选C. 典例1 √ 角度1　配凑法 (1)(2025·湖南衡阳期末)函数y＝＋x的最小值为 A.8 B.9 C.10 D.11 因为0＜x＜1，所以3－2x＞0，x(3－2x)＝·2x(3－2x)≤·＝，当且仅当2x＝3－2x，即x＝时取等号. (2)已知0＜x＜1，则x(3－2x)的最大值为____. 因为x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，所以＝＋＝＝＋＋3≥2＋3＝2＋3，当且仅当＝，即x＝，y＝－1时取等号.故选D. √ 角度2　常数代换法 (1)(2025·江苏扬州模拟)已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，则的最小值为 A.4 B.4 C.6 D.2＋3 典例2 因为a，b为正实数，方程a＋4b＝ab两边同时除以ab得＋＝1，所以a＋b＝＝＋4＋1＋2＋5＝9，当且仅当＝时等号成立，故a＋b的最小值为9.故选B. √ (2)(2025·广东深圳期末)已知正实数a，b满足a＋4b＝ab，则a＋b的最小 值为 A.4 B.9 C.10 D.20 因为正实数x，y满足x2＋3xy－2＝0，则y＝－，则2x＋y＝2x＋－＝＋2＝，当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立，所以2x＋y的最小值为.故选A. √ 角度3　消元法 (2025·山西太原模拟)已知正实数x，y满足x2＋3xy－2＝0，则2x＋y的最小值为 A. B. C. D. 典例3 令x＋2y＝m，2x＋y＝n，则＋＝1，m＋n＝(x＋2y)＋(2x＋y)＝3(x＋y)，所以x＋y＝＝(m＋n)＝×＝，当且仅当＝，即m＝2，n＝2时等号成立，此时x＝y＝，故x＋y的最小值为. 角度4　换元法 已知正数x，y满足＋＝1，则x＋y的最小值为___. 典例4 1.要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式求最值. 2.常数代换法主要解决形如“已知x＋y＝t(t为常数)，求＋的最值”的问题，先将＋·，再用基本不等式求最值. 3.当所求最值的代数式中的变量多元时，先考虑消元，再凑出积、和为常数的形式，最后利用基本不等式求最值. 4.角度4中的换元法实质还是配凑法或者常数代换法的拓展，在已知条件或者所求表达式的分母上出现一次二项式时，可尝试使用. 规律方法 √ 对点练1.(1)(多选题)下列选项正确的是 A.当x＞时，函数y＝x＋的最小值是 B.已知m，n∈，4m－mn＝1，则m＋的最小值为4 C.的最小值是2 D.已知正实数a，b，若a＋＝1，则＋b的最小值为9 √ √ 对于A，因为x＞，所以2x－1＞0，x－＞0，所以y＝x＋＝x＋＝x－＋＋2＋＝4＋＝，当且仅当x－＝，即x＝时取等号，故A正确；对于B，∀m，n∈，由4m－mn＝1得＋n＝4，m＋＝＝＝4，当且仅当mn＝，即m＝1，n＝3时等号成立，故B正确； 对于C，因为＝＝＋2，等号成立的条件是x2＝－3，所以等号不成立，即最小值不是2，故C错误；对于D，已知a，b为正实数，若a＋＝1，则a＝1－＝， b＞4，＋b＝＋b＝5＋＋b－4≥5＋2＝9，当且仅当＝b－4，即b＝6，a＝时取等号，故D正确.故选ABD. 对于A，a＋b＋1＝ab≤，则(a＋b)2－4(a＋b)－4≥0，解得a＋b≥2＋2，当且仅当a＝b时等号成立，故A正确；对于B，ab＝a＋b＋1≥3＋2，当且仅当a＝b时等号成立，故B错误；对于C，＋＝＝＝1－1－＝2－2，当且仅当a＝b时等号成立，故C正确；对于D，由a＋b＋1＝ab，得4＝(a－1)(2b－2)≤，解得a＋2b≥7，当且仅当a＝2b－1，即a＝3，b＝2时等号成立，所以2a＋4b＝2a＋22b≥22＝16，此时a＝2b，所以等号不能同时取得，故D错误.故选AC. √ (2)(多选题)(2025·苏锡常镇联考)已知正数a，b满足ab＝a＋b＋1，则 A.a＋b的最小值为2＋2 B.ab的最小值为1＋ C.＋的最小值为2－2 D.2a＋4b的最小值为16 √ 令2x＋y＝m，x＋2y＝n，则x＝，y＝，且m＞0，n＞0，因此＋＝＋＝＋＝－－2＝，当且仅当＝，即m＝n时取等号，则＋. (3)已知x，y为正实数，则＋的最大值为____. 考点三　利用基本不等式求参数的值或范围 师生共研 因为不等式x＋－1≥a恒成立，则a，因为x＞－1，所以x＋－1＝x＋1＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＝0时取等号，所以a≤0.即实数a的取值范围为(－∞，0]. 典例5 (1)若对任意的x＞－1，不等式x＋－1≥a恒成立，则实数a的取值范围是__________. (－∞，0] 已知不等式(x＋y)9对任意正实数x，y恒成立，只需(x＋y)的最小值大于或等于9，因为(x＋y)＝1＋a＋＋a＋2＋1＝(＋1)2，当且仅当y＝x时，等号成立，所以(＋1)2≥9，所以a≥4，即正实数a的最小值为4. (2)已知不等式(x＋y)9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为___. 4 　　分离参数法是处理此类问题的首选方法，一般转化为基本不等式求最值或转化为求某个函数的最值问题. 规律方法 因为a2＋b2＝k，所以a2＋(b2＋1)＝k＋1，所以(k＋1)＝[a2＋(b2＋1)]＝＋＋13≥2＋13＝25，当且仅当＝，即3a2＝2(b2＋1)＝(k＋1)时等号成立，即＋，由题意可得1，又k＞0，解得0＜k≤24，故k的最大值为24.故选C. √ 对点练2.(1)(2025·安徽蚌埠模拟)已知a2＋b2＝k，若＋1恒成立，则k的最大值为 A.4 B.5 C.24 D.25 原不等式变形为k(x－1)＋＋k≥12，则原问题转化成不等式k(x－1)＋12－k在(1，＋∞)上恒成立，所以只需12－k≤即可.由基本不等式可知，k(x－1)＋2＝4，当且仅当k(x－1)＝时等号成立，所以只需12－k≤4成立，即(＋6)(－2)≥0，所以k≥4，即kmin＝4. (2)设k＞0，若关于x的不等式kx＋12在(1，＋∞)上恒成立，则k的最小值为____. 4 考点四　基本不等式的实际应用 师生共研 典例6 某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计三个等高的宣传栏(栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形)，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm.当直角梯形的高为__________ cm时，用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小). 12 设直角梯形的高为x cm，因为宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2，且海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm，所以海报宽AD＝x＋4，海报长DC＝＋8，故S矩形ABCD＝AD·DC＝(x＋4)＝8x＋＋1 472≥2＋1 472＝192＋1 472，当且仅当8x＝，即x＝12时，等号成立.所以当直角梯形的高为12 cm时，用纸量最少. 　　利用基本不等式求解实际问题时，根据实际问题设出变量，注意变量的实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，基本不等式求得函数的最值. 规律方法 对点练3.某小区要建一座八边形的休闲公园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200 m2的十字形地域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4 200元/m2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪，造价为80元/m2.设总造价为S(单位：元)，AD长为x(单位：m)，则S的最小值是__________，此时x的值是__________. 118 000 由题知，AM＝，又AM＞0，则0＜x＜10，S＝4 200x2＋210×(200－x2)＋80×2×＝4 200x2＋42 000－210x2＋＝4 000x2＋＋38 000≥2＋38 000＝80 000＋38 000＝118 000，当且仅当4 000x2＝，即 x＝时等号成立，所以当x＝时，S取最小值118 000. 返回 考教衔接　精研教材 返回 真题再现 因为ab≤(a，b∈R)，由x2＋y2－xy＝1可变形为－1＝3xy≤，解得－2≤x＋y≤2，当且仅当x＝y＝－1时，x＋y＝－2，当且仅当x＝y＝1时，x＋y＝2，故A错误，B正确； √ (多选题)(2022·新高考Ⅱ卷)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则 A.x＋y≤1 B.x＋y≥－2 C.x2＋y2≤2 D.x2＋y2≥1 √ 由x2＋y2－xy＝1可变形为－1＝xy≤，解得x2＋y2≤2，当且仅当x＝y＝±1时取等号，故C正确；因为x2＋y2－xy＝1变形可得＋y2＝1，设x－＝cos θ，y＝sin θ，所以x＝cos θ＋sin θ，y＝sin θ，因此x2＋y2＝cos2θ＋sin2θ＋sin θcos θ＝1＋sin 2θ－cos 2θ＋＝＋sin∈，所以当x＝，y＝－时满足等式，但是x2＋y2≥1不成立，故D错误.故选BC. 返回 教材呈现 (北师必修一P30A组T5(2)(4)) (2)x2＋y2； (4). 点评：从命题情境角度上，高考真题与教材题目“形似”，都考查了二元二次方程相关的知识.从解题方法上看“法同”，通过构造变形采用基本不等式法和换元法求解.体现了高考试题对于同一考点可以变换角度与变换题型进行考查. 课 时 测 评 返回 a2＋2b2≥2＝2＝4，当且仅当a2＝2b2时，等号成立.故选D. √ 1.(2025·重庆模拟)若实数a，b满足ab＝2， 则a2＋2b2的最小值为 A.2 B.2 C.4 D.4 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 √ 因为x＞0，所以x＋1＞0，所以y＝2＋3x＋＝3(x＋1)＋－1≥2－1＝4－1，当且仅当3(x＋1)＝，即x＝－1时等号成立，所以函数y＝2＋3x＋的最小值为4－1.故选A. 2.设实数x满足x＞0，则函数y＝2＋3x＋的最小值为 A.4－1 B.4＋2 C.4＋1 D.6 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 √ 由x2－2xy＋2＝0可得y＝＋，所以x＋y＝x＋＋＝＋2＝，当且仅当＝，即x＝时，等号成立，此时y＝＞0符合题意.所以x＋y的最小值为.故选A. 3.(2025·浙江嘉兴模拟)若正数x，y满足x2－2xy＋2＝0，则x＋y的最小值是 A. B. C.2 D.2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 √ 4.(新定义)权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y＞0，则＋，当且仅当＝时，等号成立.根据权方和不等式，函数f (x)＝＋的最小值为 A.16 B.25 C.36 D.49 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 因为a，b，x，y＞0，则＋，当且仅当＝时，等号成立，又0＜x＜，即1－2x＞0，于是得f (x)＝＋＝25，当且仅当＝，即x＝时，等号成立，所以函数f (x)＝＋ 的最小值为25.故选B. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 √ 5.(新角度)(2025·广东湛江模拟)当x＞0，y＞0时，.这个基本不等式可以推广为当x，y＞0时，λx＋μy≥xλyμ，其中λ＋μ＝1且λ＞0，μ＞0.考虑取等号的条件，进而可得当x≈y时，λx＋μy≈xλyμ.用这个式子估计可以这样操作：1×≈×10＋×9＝，则≈≈3.167.用这样的方法，可得的近似值为 A.3.033 B.3.035 C.3.037 D.3.039 依题意，2×2≈×28＋×27＝，则≈≈3.037.故选C. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 √ 对于A，由m＞0，n＞0可知，m＋2n≥2＝16，当且仅当m＝2n时等号成立，最小值不是18，故A不正确；对于B，若m＋8n＝mn，两边除以mn得，＋＝1，则m＋2n＝(m＋2n)＝10＋＋10＋2＝18，当且仅当＝，即m＝12，n＝3时等号成立，故m＋2n的最小值是18，故B正确； 6.(2025·安徽蚌埠模拟)已知m＞0，n＞0，则下列选项中，能使m＋2n取得最小值18的为 A.mn＝32 B.m＋8n＝mn C.m2＋8n＝68 D.m2＋4n2＝162 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 对于C，由m2＋8n＝68，得n＝－m2＋，故m＋2n＝m＋2＝－m2＋m＋17，可知：当m＝2时，m＋2n的最大值为18，故C不正确；对于D，m2＋4n2＝162，则当m＝3，n＝6时，m＋2n＝12＋3＜18，故m＋2n的最小值不是18，故D不正确.故选B. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 √ √ 对于A，因为a＋b＝2，所以＋＝＝，又因为a＞0，b＞0，且a≠b，所以2＝a＋b＞2，即＜1，ab＜1，所以＞1，则＞2，即＋＞2成立，故A正确； 7.(多选题)(2024·河北石家庄期末)已知a＞0，b＞0，a≠b，且a＋b＝2，则 A.＋＞2 B.＋＞2 C.2a＋2b＞4 D.log2a＋log2b＞2 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 对于B，由a＋b＝2取平方得，a2＋2ab＋b2＝4，则＋＝＝＝2，当且仅当a＝b＝1时等号成立，因为a≠b，故得＋＞2，故B正确；对于C，2a＋2b≥2＝2＝4，当且仅当a＝b＝1时等号成立，因为a≠b，则2a＋2b＞4，故C正确；对于D，由2＝a＋b≥2可得ab≤1，当且仅当a＝b＝1时等号成立，因a≠b，则有ab＜1，所以log2a＋log2b＝log2(ab)＜0，故D错误.故选ABC. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 8.(多选题)(2024·陕西西安模拟预测)下列说法正确的是 A.若正实数a，b满足a＋b＝1，则＋有最小值4 B.若正实数a，b满足a＋2b＝1，则2a＋4b≥2 C.y＝＋的最小值为2 D.若0＜x＜1，则＋的最小值是3＋2 √ √ √ 对于A，若正实数a，b满足a＋b＝1，则＋＝＝2＋＋2＋2＝2＋2＝4，当且仅当a＝b＝时，等号成立，从而＋的最小值是4，故A正确； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 对于B，若正实数a，b满足a＋2b＝1，则2a＋4b＝2a＋22b≥2＝2＝2，当且仅当a＝2b时等号成立，故B正确；对于C，设＝t∈[，＋∞)，则y＝t＋(t)，由对勾函数单调性得最小值是＋＝，故C不正确；对于D，因为0＜x＜1，所以1－x＞0，则＋＝·＝3＋＋3＋2，当且仅当＝，即x＝－1时，等号成立，故最小值为3＋2，故D正确.故选ABD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 由已知＝，即x＋2y＝1，所以＝(x＋2y)＝，当且仅当＝，即x＝y＝时取等号. 9.(2025·河南驻马店模拟)已知正数x与2y的算术平均值为，则与的算术 平均值的最小值为_______. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 法一：设矩形的一组邻边长为a，b，则该矩形的周长为2(a＋b)，且a2＋b2＝8，而a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－2＝(a＋b)2，即a＋b≤＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，所以2(a＋b)≤8，即该矩形周长的最大值为8. 10.(新情境) (2025·江西九江期末)在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例，其中“弦”指的是直角三角形的斜边.现将两个全等的直角三角形拼接成一个矩形，若其中一个三角形“弦”的长度为2，则该矩形周长的最大值为_____. 8 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 法二：设矩形的一组邻边长为a，b，则该矩形的周长为2(a＋b)，且a2＋b2＝8，由基本不等式得＝＝2，当且仅当a＝b＝2时取等号，所以a＋b≤4，所以2(a＋b)≤8，即该矩形周长的最大值为8. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 √ 11.(2025·广东韶关模拟)在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W(单位：平方米)的计算公式是W＝×，在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10 000平方米，每平方米收费1元，请估算平整完这块场地所需的最少费用(单位：元)是 A.10 000 B.10 480 C.10 816 D.10 818 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 设矩形场地的长为x米，则宽为米，W＝(x＋4)＝4x＋＋10 016≥2＋10 016＝10 816，当且仅当4x＝，即x＝100时，等号成立.所以平整完这块场地所需的最少费用为1×10 816＝10 816元.故选C. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 12.若x＞0，y＞0，且x＋2y＝1，则＋的最小值为____. 令m＝x＋1，n＝y＋2，则x＝m－1，y＝n－2，则x＋2y＝m－1＋2(n－2)＝1，即m＋2n＝6，则＋＝＋＝m＋2n＋＋－10＝＋－4＝(m＋2n)－4＝－4－4＝，当且仅当＝，即m＝，n＝时等号成立，故＋. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 13.(15分)(一题多问)已知a＞0，b＞0，2a＋b＝2. (1)求＋的最小值；(5分) 解：法一：＋＝＋＝＋＝＋＋2＋＝，当且仅当＝，即a＝b＝时取等号，所以＝. 法二：＋＝＋＝＋－2＝(2a＋b)－2＝－2－2＝，当且仅当＝，即a＝b＝时取等号，所以＝. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 (2)求＋的最小值；(5分) 解：因为2a＋b＝2，所以2a＋(b＋1)＝3，所以＋＝[2a＋(b＋1)]＝(4＋2)＝，当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号，所以＝. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 (3)求4a2＋6ab＋b2的最大值.(5分) 解：由2＝2a＋b≥2得2ab≤1，所以4a2＋6ab＋b2＝(2a＋b)2＋2ab＝4＋2ab≤5，当且仅当2a＝b，即b＝2a＝1时取等号，所以(4a2＋6ab＋b2)max＝5. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 14.(2025·江苏苏州模拟)已知a＞0，b＞0且a＋b＝1，则＋和＋＋的最小值之和为_____. 23 要使＋有最小值，则需a＞0，b＞0，故a＋b＝1，＋＝＋＝1＋＋1＋2＝5，当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 ＋＋＝＋＝＋＝2＋＋8＋＝10＋＋10＋2＝18，当且仅当＝，即时取等号，所以＋＋＋的最小值之和为5＋18＝23. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 15.(2025·河南南阳模拟)出入相补是指一个平面(或立体)图形被分割成若干部分后面积(或体积)的总和保持不变，我国汉代数学家构造弦图，利用出入相补原理证明了勾股定理，我国清代的梅文鼎、李锐、华蘅芳、何梦瑶等都通过出入相补原理创造了不同的面积证法证明了勾股定理.在下面两个图中，若AC＝b，BC＝a，AB＝c，图中两个阴影三角形的周长分别为l1，l2，则的最小值为__________. 1＋ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 返回 如图①所示，易知△BDE∽△ACB，且BD＝CD－BC＝b－a，所以＝＝，所以l1＝×；如图②所示，易知△GFH∽△ACB，且FG＝a，所以＝＝，所以l2＝×，所以＝＝1＋＝1＋＝1＋，又因为a2＋b2≥2ab，所以≤1，当且仅当a＝b时取等号，所以1＋＝1＋，所以最小值为1＋. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 基本不等式 $