第一章 1 第一节 集 合（课件PPT）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦集合的概念、关系、运算及新定义问题，依据新课标明确了解、理解、掌握三个考查层次。通过梳理教材基础、分析近五年高考真题，归纳出集合运算（占比45%）、元素互异性（占比25%）等高频考点，构建选择填空为主的题型体系，对接高考评价体系。 课件亮点在于“真题实战+规律方法+素养提升”，如以2024新课标Ⅰ卷集合运算题为例，用数学思维中的推理意识，通过“定义辨析-实例突破-变式训练”三步法突破参数范围问题。特设易错点警示（如空集忽略），培养学生的抽象能力，帮助学生掌握得分技巧，教师可精准定位学情，高效推进一轮复习。

第一节　集　合 高三一轮复习讲义 北师大版 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 课标研读 1.了解集合、全集与空集的含义，理解元素与集合的关系.　 2. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.　 3. 理解两个集合的并集、交集与补集的含义，并会进行运算.　 4. 能使用Venn图表述集合的基本关系与基本运算，体会图形对理 解抽象概念的作用. 04 03 考教衔接　精研教材 课时测评 02 考向探究　提升能力 教材梳理　夯实基础 01 内容索引 教材梳理　夯实基础 返回 微提醒　N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0. 1.集合的概念与表示 (1)集合中元素的三个特性：________、________、________. (2)元素与集合的关系是______或________，用符号____或____表示. (3)集合的表示法：________、________、图示法. (4)常见数集及其符号表示 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 正实数集 符号 ____ N*或N＋ ____ ____ ____ ____ 确定性 互异性 无序性 属于 不属于 ∈ ∉ 列举法 描述法 N Z Q R R＋ 2.集合的基本关系 微提醒　0，{0}，⌀，{⌀}之间的关系：⌀≠{⌀}，⌀∈{⌀}，0∉⌀，0∉{⌀}，0∈{0}，⌀⊆{0}，⌀⫋{⌀}. 任意一个元素 A⊆B x∉A B⊆A 任何集合 任何非空集合 3.集合的基本运算 运算 交集 并集 补集 自然 语言 一般地，由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 由U中所有不属于A的元素组成的集合 符号 语言 A∩B＝________________ A∪B＝________________ ∁UA＝________________ Venn 图 {x｜x∈A，且x∈B} {x｜x∈A，或x∈B} {x｜x∈U，且x∉A} 运算 交集 并集 补集 运算 性质 A∩B＝B∩A A∩B⊆A A∩B⊆B A∩A＝A A∩⌀＝⌀ A∪B＝B∪A A⊆A∪B B⊆A∪B A∪A＝A A∪⌀＝A A∪(∁UA)＝U A∩(∁UA)＝⌀ ∁U(∁UA)＝A 常用结论 (1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个. (2)子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C. (3)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB. (4)∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB). √ √ 自主检测 1.(多选题)下列命题正确的是 A.集合{x∈N｜x3＝x}，用列举法表示为{0，1} B.{x｜y＝x2＋1}＝{y｜y＝x2＋1}＝{(x，y)｜y＝x2＋1} C.若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1 D.对任意集合A，B，都有(A∩B)⊆(A∪B) √ A＝{x｜x2－4x＜0，x∈N＋}＝{1，2，3}，所以集合A真子集的个数为23－1＝7个.故选C. 2.(链接北师必修一P7例4，改编)已知集合A＝{x｜x2－4x＜0，x∈N＋}，则集合A真子集的个数为 A.3 B.4 C.7 D.8 由题意可得A∩B＝{0，1}.故选C. √ 3.(2025·八省适应性测试)已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，4}，则A∩B＝ A. B. C.{0，1} D.{－1，0，1，4} 因为A∪B＝A，所以B⊆A，则a＋2＝3，或a＋2＝a2，解得a＝1，或a＝2，或a＝－1.当a＝1时，集合A＝{1，3，1}，与集合中元素的互异性相矛盾，舍去.当a＝2时，集合A＝{1，3，4}，B＝{1，4}，符合题意.当a＝－1时，集合A＝{1，3，1}，B＝{1，1}，与集合中元素的互异性相矛盾，舍去.综上a＝2. 返回 4.(链接北师必修一P12A组T7，改编)已知集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a＋2}，且A∪B＝A，则实数a的值为____. 2 考向探究　提升能力 返回 考点一　集合的基本概念 自主练透 因为集合A＝{1，2，3，4}，B＝{5，6}，又x∈A，y∈B，则当y＝5时，x＋y的值有6，7，8，9，当y＝6时，x＋y的值有7，8，9，10，于是得C＝{6，7，8，9，10}，所以C中元素的个数为5.故选C. √ 1.(2025·江苏常州模拟)设集合A＝{1，2，3，4}，B＝{5，6}，C＝{x＋y｜x∈A，y∈B}，则C中元素的个数为 A.3 B.4 C.5 D.6 由题意得4－2a＋1≤0且9－3a＋1＞0，解得≤a＜，则a的取值范围是.故选A. √ 2.(2025·江西南昌模拟)已知A＝，若2∈A，且3∉A，则a的取值范围是 A. B. C. D. 由集合相等可知0∈，且a≠0，则＝0，所以b＝0，所以a2＝1，解得a＝1或a＝－1.根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，所以a2 025＋b2 026＝(－1)2 025＋02 026＝－1.故选A. √ 3.已知a，b∈R，若＝{a2，a＋b，0}，则a2 025＋b2 026的值为 A.－1 B.0 C.1 D.±1 求解与集合中元素有关问题的关键点 1.用描述法表示集合，要理清集合是数集、点集还是其他类型的集合. 2.含有字母的集合，要注意检验集合中的元素是否满足互 异性. 规律方法 考点二　集合间的基本关系 师生共研 因为N＝{x｜x(x－2)log2x＝0}＝{1，2}，M＝{0，1，2}，所以N是M的真子集.故选A. 典例1 √ (一题多变)(1)(2024·辽宁沈阳质测)设全集U＝R，则集合M＝{0，1，2}和N＝{x｜x(x－2)log2x＝0}的关系可表示为 因为A⊆B，则有：若a－2＝0，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不符合题意；若2a－2＝0，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，符合题意；综上所述，a＝1.故选B. √ (2)(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a＝ A.2 B.1 C. D.－1 因为N＝{1，2}，所以集合N的真子集有22－1＝3(个). 变式探究 1.(变问法)本例(1)中集合N的真子集有____个. 3 2.(变条件)将本例(2)中的集合A，B分别变为A＝{x｜－a＜x＜a}，B＝{x｜－1＜x＜3}，则实数a的取值范围为__________. (－∞，1] 当a≤0时，A＝⌀，显然A⊆B.当a＞0时，因为B＝{x｜－1＜x＜3}，若A⊆B，在数轴上标出两集合，如图，所以所以0＜a≤1.综上所述，实数a的取值范围为(－∞，1]. 1.破解集合间基本关系的方法有数轴法、Venn图法. 2.若B⊆A，应分B＝⌀和B≠⌀两种情况讨论. 规律方法 根据题意，当m＝时，集合P＝＝，集合P中有3个元素，所以集合P的非空真子集个数为23－2＝6.故选C. √ 对点练1.(1)(2025·安徽淮北模拟)若集合P＝{x｜－2≤x＜m－m2，x∈Z}，当m＝时，集合P的非空真子集个数为 A.8 B.7 C.6 D.4 因为B⊆A，①当B＝⌀时，2m－1＞m＋1，解得m＞2；②当B≠⌀时，解得－1≤m≤2.综上，实数m的取值范围是[－1， ＋∞). (2)已知集合A＝{x｜－3≤x≤4}，B＝{x｜2m－1≤x≤m＋1}，且B⊆A，则实数m的取值范围是__________. [－1，＋∞) 考点三　集合的基本运算 多维探究 因为A＝{x｜－5＜x3＜5}＝{x｜－＜x＜}，B＝{－3，－1，0，2，3}，所以A∩B＝{－1，0}.故选A. 典例2 √ 角度1　集合的运算 (1)(2024·新课标Ⅰ卷)已知集合A＝{x｜－5＜x3＜5}，B＝{－3， －1，0，2，3}，则A∩B＝ A.{－1，0} B.{2，3} C.{－3，－1，0} D.{－1，0，2} 由题意，B＝＝，所以A∪B＝，所以∁U＝.故选D. √ (2)设全集U＝{－2，－1，0，1，2，3}，集合A＝{－1，2}，B＝{x｜x2－4x＋3＝0}，则∁U(A∪B)＝ A.{1，3} B.{0，3} C.{－2，1} D.{－2，0} 由题意得，B＝{x｜log2x＜1}＝{x｜0＜x＜2}，因为A∩B有2个子集，所以A∩B中的元素个数为1；因为1∈(A∩B)，所以a∉(A∩B)，即a∉B，所以a≤0或a≥2，即实数a的取值范围为(－∞，0]∪[2，＋∞).故选D. 典例3 √ 角度2　利用集合的运算求参数的值(范围) (1)(2024·福建厦门模拟)已知集合A＝{1，a}，B＝{x｜log2x＜1}，且A∩B有2个子集，则实数a的取值范围为 A.(－∞，0] B.(0，1)∪(1，2] C.[2，＋∞) D.(－∞，0]∪[2，＋∞) A＝{x｜3x2－2x－1≤0}＝，①B＝⌀，2a≥a＋3⇒a≥3，符合题意；②B≠⌀，解得a≤－≤a＜3.所以实数a的取值范围是a≤－或a.故选B. (2)已知集合A＝{x｜3x2－2x－1≤0}，B＝{x｜2a＜x＜a＋3}，若A∩B＝⌀，则实数a的取值范围是 A.a＜－或a＞ B.a≤－或a C.a＜－或a＞2 D.a≤－或a≥2 √ 1.求解集合基本运算的方法步骤 (1)确定元素；(2)化简集合；(3)运算求解. 2. 利用集合的运算求参数应注意： (1)端点值能否取到；(2)是否满足集合元素的互异性. 规律方法 √ 由题意得M∪N＝.故选C. 对点练2.(1)(2024·北京卷)已知集合M＝{x｜－3＜x＜1}，N＝{x｜－1≤x＜4}，则M∪N＝ A. B. C. D. A＝{x｜x－a＜0}＝{x｜x＜a}，B＝{x｜｜x－b｜＝x－b}＝，若A∩B＝，则b＝1，a＝2，故a－b＝1.故选C. (2)(2025·福建泉州模拟)已知集合A＝，B＝，若A∩B＝，则a－b＝ A.－3 B.－1 C.1 D.3 √ 考点四　集合的新定义问题 师生共研 典例4 (1)(多选题)我们知道，如果集合A⊆S，那么S的子集 A的补集为∁SA＝{x｜x∈S且x∉A}，类似地，对于集合A、B， 我们把集合{x｜x∈A且x∉B}叫做集合A和B的差集，记作A－ B，例如：A＝{1，2，3，4，5}，B＝{4，5，6，7，8}，则有A－B＝{1，2，3}，B－A＝{6，7，8}，下列说法正确的是 A.已知A＝{4，5，6，7，9}，B＝{3，5，6，8，9}，则B－A＝{3，7，8} B.如果A－B＝⌀，那么A⊆B C.已知全集U、集合A、集合B关系如上图中所示，则B－A⊆∁UB D.已知A＝{x｜x＜－1，或x＞3}，B＝{x｜－2≤x＜4}，则A－B＝{x｜x＜－2，或x≥4} √ √ 对于A，由B－A＝{x｜x∈B，且x∉A}，故B－A＝{3，8}，故A错误；对于B，由A－B＝{x｜x∈A，且x∉B}，则A－B＝⌀，故A⊆B，故B正确；对于C，由韦恩图知：B－A如图中阴影部分，所以B－A⊆∁UA，故C错误；对于D，∁UB＝{x｜x＜－2，或x≥4}，则A－B＝A∩∁UB＝{x｜x＜－2，或x≥4}，故D正确.故选BD. ①若n＝3，据“累积值”的定义得A＝{3}或A＝{1，3}，这样的集合A共有2个；②因为集合M的子集共有24＝16(个)，其中“累积值”为奇数的子集为{1}，{3}，{1，3}，共3个，所以“累积值”为偶数的集合共有13个. (2)已知集合M＝{1，2，3，4}，A⊆M，集合A中所有元素的乘积称为集合A的“累积值”，且规定：当集合A只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0.设集合A的累积值为n. ①若n＝3，则这样的集合A共有____个； ②若n为偶数，则这样的集合A共有___个. 2 13 破解新定义集合问题的关键是读懂新定义的含义，弄清所叙述问题的本质，可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法解决. 规律方法 √ 对点练3.(1)(2025·浙江温州模拟)在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象.数学黑洞：无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样.目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等.定义：若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知所有一位正整数的自恋数组成集合A，集合B＝{x｜－3＜x＜4，x∈Z}，则A∩B的子集个数为 A.3 B.4 C.7 D.8 依题意，A＝，B＝，故A∩B＝，故A∩B的子集个数为8.故选D. (2)(2025·上海徐汇期末)若集合A同时具有以下三个性质：(1)0∈A，1∈A；(2)若x，y∈A，则x－y∈A；(3)若x∈A且x≠0，则∈A.则称A为“好集”.已知命题：①集合是好集；②对任意一个“好集”A，若x，y∈A，则x＋y∈A.以下判断正确的是 A.①和②均为真命题 B.①和②均为假命题 C.①为真命题，②为假命题 D.①为假命题，②为真命题 √ 对于①，因为1∈{1，0，－1}，－1∈{1，0，－1}，而－1－1＝－2∉ {1，0，－1}，所以集合{1，0，－1}不是好集，故①错误；对于②，因为集合A为“好集”，所以0∈A，0－y＝－y∈A，所以x－(－y)＝x＋y∈A，故②正确，所以①为假命题，②为真命题.故选D. 返回 考教衔接　精研教材 返回 真题再现 B＝{1，4，9，16，25，81}，A∩B＝{1，4，9}，则∁A(A∩B)＝{2，3，5}.故选D. √ (2024·全国甲卷理)已知集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x｜∈A}，则∁A(A∩B)＝ A.{1，4，9} B.{3，4，9} C.{1，2，3} D.{2，3，5} 返回 教材呈现 (北师必修一P44A组T1(2))已知全集U＝{x∈N＋｜－2＜x＜9}，M＝{3，4，5}，P＝{1，3，6}，那么{2，7，8}是 A.M∪∁UP B.∁U(M∩P) C.(∁UM)∪(∁UP) D.(∁UM)∩(∁UP) 点评：本题主要考查集合的交集与补集运算，与教材习题角度相同，只是将条件与结论进行了对换. 课 时 测 评 返回 因为A＝{1，2，3，4}，B＝{2，3，4，5}，所以A∩B＝{2，3，4}.故 选B. √ 1.(2024·天津卷)集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝ A.{1，2，3，4} B.{2，3，4} C.{2，4} D.{1} 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 √ 由U＝，∁UA＝{x｜0≤x＜3}，可得A＝{x｜－1＜x＜0，或3≤x＜5}，则0∉A，1∉A，2∉A，3∈A，故B正确，A、C、D错误.故选B. 2.(2025·河南郑州模拟)已知全集U＝{x｜－1＜x＜5}，集合A满足∁UA＝{x｜0≤x＜3}，则 A.0∈A B.1∉A C.2∈A D.3∉A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 √ A∩B＝{－1，0，1，2}，A∪B＝{－2，－1，0，1，2，3}，A∩(∁UB)＝{－2}，(∁UA)∩B＝{3}.故选C. 3.(2025·江苏南通期末)设全集U＝Z，集合A＝，B＝，则＝ A.A∩B B.A∪B C.A∩(∁UB) D.(∁UA)∩B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 由题意可知，x＝＋＝＝×，n∈Z，可知集合M表示的是的奇数倍，而由x＝，n∈Z可知，集合N表示的是的整数倍，即N＝M∪，所以∁NM＝.故选B. √ 4.(2025·安徽蚌埠质检)设集合M＝，N＝，则∁NM＝ A.⌀ B. C. D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 √ 因为A＝{x｜x2－5x≤6}＝{x｜x2－5x－6≤0}＝{x｜－1≤x≤6}，∁RA＝{x｜x＜－1，或x＞6}，因为集合B＝{x｜x≥a}，B⊆(∁RA)，所以a＞6，故实数a的取值范围为(6，＋∞).故选A. 5.(2025·江西鹰潭模拟)已知集合A＝{x｜x2－5x≤6}，集合B＝{x｜x≥a}，若B⊆(∁RA)，则实数a的取值范围为 A. B. C. D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 √ √ 在图中阴影部分区域内任取一个元素x，则x∈A∩B或x∈B∩C，所以阴影部分所表示的集合为∪，再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为B∩，所以A、D正确，B、C不正确.故选AD. 6. (多选题)(2025·湖南长沙模拟)图中阴影部分用集合符号可以表示为  A.B∩(A∪C) B.∁UB∩(A∪C) C.B∩∁U(A∪C) D.∪ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 √ √ 对于A、B，＝，＝，若∩＝⌀，则a的取值范围是a≤－3，故A错误，B正确；对于C、D，若∪＝R，则a的取值范围是a＞－3，故D正确，C错误.故选BD. 7.(多选题)(2025·江西南昌模拟)下列结论正确的是 A.若∩＝⌀，则a的取值范围是a＜－3 B.若∩＝⌀，则a的取值范围是a≤－3 C.若∪＝R，则a的取值范围是a≥－3 D.若∪＝R，则a的取值范围是a＞－3 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 由a＋b＝ab，a∈R＋，b∈R＋可得＋＝1，所以t＝a＋2b＝(a＋2b)＝3＋＋3＋2，当且仅当a＝b，即b＝1＋，a＝1＋时取等号，所以T＝，3＋2∈T，故B正确；因为＜3＋2，所以∉T，故A错误；因为S中的元素与T中元素分别为点集、数集，不同类，故S∩T＝⌀，S∪T≠S，故C正确，D错误.故选BC. 8. (多选题)(2025·广西桂林模拟)已知集合S＝，T＝{t｜a＋2b＝t，(a，b)∈S}，则有 A.∈T B.3＋2∈T C.S∩T＝⌀ D.S∪T＝S √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 由A∩B＝A，故A⊆B，由≤m，得－m＋3≤x≤m＋3，故有即m≥5，即m的最小值为5. 9.(2024·九省联考)已知集合A＝，B＝，若A∩B＝A，则m的最小值为___. 5 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 由题意画出Venn图，如图所示，由Venn图知，参加比赛的人数为14＋16－4＝26，所以该班这两项比赛都没有参加的人数是24. 10.高三某班共有50人，其中有14人参加了球类比赛，16人参加了田径比赛，4人既参加了球类比赛，又参加了田径比赛，则该班这两项比赛都没有参加的人数是______. 24 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 √ 11.(多选题)“集合论”是德国数学家康托尔于19世纪末创立的.在他的集合理论中，用card(A)表示有限集合中元素的个数，例如：A＝{a，b，c}，则card(A)＝3.若对于任意两个有限集合A，B，有card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B).某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1 500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1 500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1 500米”都参加的有3人，“400米和1 500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是 A.三项比赛都参加的有2人 B.只参加100米比赛的有3人 C.只参加400米比赛的有3人 D.只参加1 500米比赛的有1人 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 根据题意，设A＝{x｜x是参加100米的同学}，B＝{x｜x是参加400米的同学}，C＝{x｜x是参加1 500米的同学}，则card＝8，card＝7，card＝5，且card＝4，card＝3，card＝3，则card＝12－＝2，所以三项比赛都参加的有2人，只参加100米比赛的有3人，只参加400米比赛的有2人，只参加1 500米比赛的有1人.故选ABD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 12.(新定义)若三个非零且互不相等的实数a，b，c满足＋＝，则称a，b，c是调和的；若满足a＋c＝2b，则称a，b，c是等差的.若集合P中元素a，b，c既是调和的，又是等差的，则称集合P为“好集”.若集合M＝{x｜｜x｜≤2 025，x∈Z}，集合P＝{a，b，c}⊆M，则这样的“好集”P的个数为__________. 1 012 由整理得(a－b)(a＋2b)＝0，解得a＝b(舍)，a＝－2b，c＝4b.即好集形如P＝{－2b，b，4b}(b≠0)，由－2 025≤4b≤2 025得－506.25≤b ≤506.25，因为b≠0，b∈Z，所以这样的“好集”P的个数为506×2＝1 012. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 13.(15分)已知集合A＝{x｜x2－(m＋3)x＋2(m＋1)＝0}，B＝{x｜2x2＋(3n＋1)x＋2＝0}，其中m，n∈R. (1)若A∩∁RB＝⌀，求m，n的值；(6分) 解：由x2－(m＋3)x＋2(m＋1)＝0，得x＝2或x＝m＋1. 若A∩∁RB＝⌀，则A⊆B.将x＝2代入2x2＋(3n＋1)x＋2＝0，得n＝－2， 则B＝{x｜2x2－5x＋2＝0}＝， 当A＝{2}时，m＋1＝2，解得m＝1； 当A＝时，m＋1＝，解得m＝－. 综上，m＝－，n＝－2，或m＝1，n＝－2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 (2)若集合B≠⌀，且对∀x∈B，有x∈A，求m，n的值.(9分) 解：若集合B≠⌀，且对∀x∈B，有x∈A，则B⊆A. 当Δ＝(3n＋1)2－16＝0时，n＝－或n＝1. 当n＝－时，B＝{1}，则m＋1＝1，此时m＝0. 当n＝1时，B＝{－1}，则m＋1＝－1， 此时m＝－2. 当Δ＝(3n＋1)2－16＞0，即n＜－或n＞1时，由B⊆A＝{2，m＋1}得B＝A，则2∈B，由(1)得m＝－，n＝－2. 综上， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 √ √ 14.(新定义)(多选题)(2025·江西宜春模拟)已知A⊆R，如果实数x0满足对任意的a＞0，都存在x∈A，使得0＜｜x－x0｜＜a，则称x0为集合A的“开点”，则下列集合中以0为“开点”的集合有 A.{x｜x≠0，x∈R} B.{x｜x≠0，x∈Z} C. D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 对于A，对任意的a＞0，存在x＝，使得0＜｜x－0｜＝＜a，故A正确；对于B，假设集合{x｜x≠0，x∈Z}以0为“开点”，则对任意的a＞0，存在x∈{x｜x≠0，x∈Z}，使得0＜｜x－0｜＜a，当a＝时，该式不成立，故B错误；对于C，假设集合以0为“开点”，则对任意的a＞0，存在y∈，使得0＜＜a，故C正确；对于D，集合＝，当x∈N＋时，y∈，a＝时，不存在y使得0＜＜a成立，故D错误.故选AC. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 15.(新定义)(2025·陕西汉中模拟)设全集U＝，用U的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如{1，3}表示的是从左往右第1个字符为1，第3个字符为1，其余均为0的6位字符串101 000，并规定空集表示的字符串为000 000. (1)若N＝，则∁UN表示的6位字符串为__________. 100 110 因为U＝，N＝，所以∁UN＝，所以∁UN表示的6位字符串为100 110. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 返回 因为集合A∪B表示的字符串为011 011，所以A∪B＝，又B＝，所以集合A可能为，，，，即满足条件的集合A的个数为4. (2)若B＝，集合A∪B表示的字符串为011 011，则满足条件的集合A的个数为___个. 4 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 集　合 $