课时测评19 实际问题中的函数模型（word练习）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版）

课时测评19　实际问题中的函数模型 (时间：60分钟　满分：88分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－8题，每小题5分，共40分) 1.如图是根据原卫生部2009年6月发布的《中国7岁以下儿童生长发育参照标准》绘制的我国7岁以下女童身高(长)的中位数散点图，下列可近似刻画身高y随年龄x变化规律的函数模型是(　　) A.y＝mx＋n(m＞0) B.y＝m＋n(m＞0) C.y＝max＋n(m＞0，a＞1) D.y＝mlogax＋n(m＞0，a＞1) 答案：B 解析：对于A，由散点图知身高y随时间x变化不是线性增长，故A错误；对于C，指数函数模型中y随x增长越来越快，与图象不符合，故C错误；对于D，对数函数模型在x＝0时没有意义，故D错误；对于B，y＝m＋n(m＞0)在定义域[0，＋∞)上单调递增，且增长速度越来越慢，符合散点图中y随x增长越来越慢，且在x＝0时有意义，故B正确.故选B. 2.(2025·山东滨州模拟)如图，等腰梯形ABCD 的上底CD＝1，下底AB＝3，高为1.记等腰梯形ABCD 位于直线x＝t(0≤t≤3)左侧的图形的面积为f(t)，则f(t)随t变化时的图象大致是(　　) 答案：A 解析：当0≤t≤1时，f(t)＝t2，是过原点，且开口向上的抛物线的一部分，故排除D；当1＜t≤2时，f(t)＝＋(t－1)×1＝t－，为单调递增的一次函数的一部分，故排除BC；当2＜t≤3时，f(t)＝＋＝，是开口向下的抛物线的一部分.故选A. 3.(2025·浙江宁波模拟)提丢斯－波得定则，简称“波得定律”，是表示各行星与太阳平均距离的一种经验规则，它是在1766年由德国的一位中学教师戴维·提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成了一个如下经验公式来表示：记太阳到地球的平均距离为1，若某行星的编号为n，则该行星到太阳的平均距离表示为a＋b×2n－1，那么编号为9的行星用该公式推得的平均距离位于(　　) 行星 金星 地球 火星 谷神星 木星 土星 天王星 海王星 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 公式推得值 0.7 1 1.6 2.8 5.2 10 19.6 38.8 实测值 0.72 1 1.52 2.9 5.2 9.54 19.18 30.06 A.(30，50) B.(50，60) C.(60，70) D.(70，80) 答案：D 解析：由表格可得⇒⇒a＋b×29－1＝77.2∈(70，80).故选D. 4.(2025·福建龙岩模拟)声音的等级f(x)(单位：dB)与声音强度x(单位：W/m2)满足f(x)＝10×lg.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140 dB.若喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的108倍，则一般说话时声音的等级约为(　　) A.120 dB B.100 dB C.80 dB D.60 dB 答案：D 解析：设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为x1，x2，由题意可得f(x1)＝10×lg＝140，解得x1＝102，因为＝＝108，所以x2＝10－6，所以f＝10×lg＝60，所以一般说话时声音的等级约为60 dB.故选D. 5.(多选题)(2025·安徽蚌埠模拟)科学研究表明，物体在空气中冷却的温度变化是有规律的.如果物体的初始温度为θ1 ℃，空气温度θ0 ℃保持不变，则t分钟后物体的温度θ(单位： ℃)满足：θ＝θ0＋e－0.05t.若空气温度为10 ℃，该物体温度从θ1 ℃(90≤θ1≤100)下降到30 ℃，大约所需的时间为t1，若该物体温度从70 ℃，50 ℃下降到30 ℃，大约所需的时间分别为t2，t3，则(参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1)(　　) A.t2＝20 B.28≤t1≤30 C.t1≥2t3 D.t1－t2≤6 答案：BC 解析：由题意可知，θ＝10＋e－0.05t，当θ＝30，则30＝10＋，即＝，－0.05t1＝ln，则t1＝20ln，其是关于θ1的单调递增函数，当θ1＝90时，t1＝20ln＝20ln 4＝40ln 2≈28，当θ1＝100时，t1＝20ln＝20ln＝20≈30，则28≤t1≤30，故B正确；当θ1＝70时，t2＝20ln＝20ln 3≈22，故A错误；当θ1＝50时，t3＝20ln＝20ln 2≈14，此时满足t1≥2t3，t1－t2≥6，故C正确，D错误.故选BC. 6.(多选题)(2025·江西南昌模拟)土壤是自然界中最大的生态系统，具有十分重要的作用.利用绿色化学药剂来降低土壤中的重金属含量是改善土壤环境的一项重要工作，若在使用绿色化学药剂降低土壤中重金属含量的过程中，重金属含量m(单位：mg/L)与时间t(单位：h)满足关系式m(t)＝，已知处理1 h后，重金属含量减少20％，则(lg 2≈0.301)(　　) A.a表示未经处理时土壤中的重金属含量 B.b的值为ln 0.8 C.使土壤中的重金属含量减少一半需要处理约2 h D.函数m(t)为减函数 答案：AD 解析：当t＝0时，m(t)＝a，故a表示未经处理时土壤中的重金属含量，故A正确；当t＝1时，(1－20％)a＝ae－b，所以e－b＝0.8①，故－b＝ln 0.8⇒b＝－ln 0.8，故B错误；因为(1－50％)a＝ae－bt，所以0.5＝(e－b)t②，联立①②，得0.5＝0.8t，则t＝log0.80.5＝＝＝＝≈≈3.103，故使土壤中的重金属含量减少一半需要处理约3 h.故C错误；由于b＝－ln 0.8＞0，a＞0，所以y＝ebt在[0，＋∞)单调递增，因此m(t)＝在[0，＋∞)单调递减，故D正确.故选AD. 7. (2025·北京密云模拟)一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x(单位：辆)与创造的价值y(单位：元)之间的关系为：y＝－20x2＋2 200x.如果这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60 000元以上，请你给出一个该工厂在这周内生产的摩托车数量的建议，使工厂能够达成这个周创收目标，那么你的建议是　　　　　　　　　　　　. 答案：摩托车生产数量在51到59辆 解析：由题意得－20x2＋2 200x＞60 000，化简得x2－110x＋3 000＜0，得(x－50)(x－60)＜0，解得50＜x＜60，因为x取正整数，所以该工厂在这周内生产的摩托车数量在51到59辆时，工厂能够达成这个周创收目标. 8.(2025·广东广州模拟)“阿托秒”是一种时间的国际单位，“阿托秒”等于10－18秒，原子核内部作用过程的持续时间可用“阿托秒”表示.《庄子·天下》中提到，“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，如果把“一尺之棰”的长度看成1米，按照此法，至少需要经过　　　　天才能使剩下“棰”的长度小于光在2“阿托秒”内走过的距离.(参考数据：光速为3×108米/秒，lg 2≈0.3，lg 3≈0.48) 答案：31 解析：依题意，光在2“阿托秒”内走过的距离为2×10－18×3×108＝6×10－10米，经过n天后，剩余的长度f(n)＝米，由f(n)＜6×10－10，得＜6×10－10，两边同时取对数，得n＞lo＝＝＝≈≈30.73，而n∈N＋，则n＝31，所以至少需要经过31天才能使其长度小于光在2“阿托秒”内走过的距离. 9.(13分)某地出现了虫害，农业科学家引入了“虫害指数”数列，表示第n周的虫害的严重程度，虫害指数越大，严重程度越高，为了治理虫害，需要环境整治、杀灭害虫，然而由于人力资源有限，每周只能采取以下两个策略之一： 策略A：环境整治，“虫害指数”数列满足＝1.02In－0.20； 策略B：杀灭害虫，“虫害指数”数列满足＝1.08In－0.46. 当某周“虫害指数”小于1时，危机就在这周解除. (1)设第一周的虫害指数I1∈，用哪一个策略将使第二周的虫害严重程度更小？(5分) (2)设第一周的虫害指数I1＝3，如果每周都采用最优的策略，虫害的危机最快在第几周解除？(8分) 解：(1)由题意可知，使用策略A时，I2＝1.02I1－0.20； 使用策略B时，I2＝1.08I1－0.46， 令1.02I1－0.20－＞0⇒I1＜， 即当I1∈时，使用策略B将使第二周的虫害严重程度更小； 当I1＝时，使用两种策略将使第二周的虫害严重程度一样； 当I1∈时，使用策略A将使第二周的虫害严重程度更小. (2)由(1)知，最优策略为策略B， 即In＋1＝1.08In－0.46， In＋1－＝1.08， 所以数列是以－为首项，1.08为公比的等比数列， 所以In－＝·1.08n－1， 即In＝·1.08n－1＋， 令In＜1，可得n＞＋1， 即n≥9，所以虫害的危机最快在第9周解除. (10、11题，每小题5分，共10分) 10.(2025·湖南益阳模拟)二手汽车价位受多方因素影响，交易市场常用年限折旧法计算车价位，即按照同款新车裸车价格，第一年汽车贬值20％，从第二年开始每年贬值10％.刚参加工作的小明打算买一辆约5年的二手车，价格不超过8万元.根据年限折旧法，设小明可以考虑的同款新车裸车最高价位是m(m∈N)万，则m＝(　　) A.13 B.14 C.15 D.16 答案：C 解析：依题意，设同款新车裸车价格为x，x(1－20％)(1－10％)4≤8，解得x≤＝，则x≤15.24，又x∈N，则最高价位m＝15.故选C. 11.(多选题)(2025·辽宁大连模拟)半导体的摩尔定律认为，集成电路芯片上的晶体管数量的倍增期是两年，用f(t)表示从t＝0开始，晶体管数量随时间t变化的函数，若f(0)＝1 000，则下面选项中，符合摩尔定律公式的是(　　) A.若t是以月为单位，则f(t)＝1 000＋t B.若t是以年为单位，则f(t)＝1 000×()t C.若t是以月为单位，则lg f(t)＝3＋t D.若t是以年为单位，则lg f(t)＝3＋ 答案：BC 解析：对于A，f(24)＝2 000＝2f(0)，f(48)＝3 000≠2f(24)，故A不符合；对于B，f(2)＝2 000＝2f(0)，f(4)＝4 000＝2f(2)，f(2n)＝1 000×2n，n∈N＋，故B符合；对于C，lg f(t)＝3＋t，则f(t)＝1＝1 000×，f(24)＝2×1 000，f(48)＝4 000＝2f(24)，f(24n)＝1 000×2n，n∈N＋，故C符合；对于D，lg f(t)＝3＋，f(t)＝1 000×，f(2)＝2×1 000＝2f(0)，f(4)＝1 000×≠2f(2)，故D不符合.故选BC. 12.(15分)(2025·陕西渭南模拟)生物钟(昼夜节律)是生物体内部的一个调节系统，控制着生物的日常生理活动.研究显示，人体的某些荷尔蒙(如皮质醇)在一天中的分泌量会随着时间的不同而发生变化，从而影响人的活力和认知能力.假设人体某荷尔蒙的分泌量H(t)(单位：ng/mL)与一天中的时间t(单位：小时，以午夜0点为起点)的关系可以通过以下分段函数来描述： ①在夜间，荷尔蒙分泌量保持在较低水平，可以近似为常数H(t)＝a. ②在早晨，随着人醒来和太阳升起，荷尔蒙分泌量线性增加，其关系为H(t)＝b＋a，当t＝12时，分泌量达到最大值Hmax. ③在下午和晚上，荷尔蒙分泌量逐渐降低，可以用指数衰减模型描述，即H(t)＝Hmax·e－c(t－12). 已知午夜时荷尔蒙分泌量为5 ng/mL，峰值分泌量为20 ng/mL. (1)求参数a，b和c的值以及函数H(t)的解析式；(6分) (2)求该同学一天内荷尔蒙分泌量不少于10 ng/mL的时长.(9分) 解：(1)根据题意得，午夜时荷尔蒙分泌量H(0)＝5，所以a＝5， 在早晨，荷尔蒙分泌量满足关系式：H(t)＝b＋5， 当t＝12时，分泌量达到峰值即Hmax＝20， 即H＝b＋5＝20， 解得b＝＝2.5，因此早晨时段的荷尔蒙分泌量关系为H(t)＝2.5＋5， 在下午和晚上，荷尔蒙分泌量满足H(t)＝20·e－c(t－12)， 所以H＝20·＝5，解得c＝， 所以荷尔蒙分泌量为H(t)＝20·(12＜t≤24)， 综上，荷尔蒙分泌量的函数关系为H(t)＝ (2)①当6≤t≤12时，H(t)＝2.5＋5≥10，解得t≥8，所以8≤t≤12， ②当12＜t≤24时，H(t)＝20·10，所以＝，所以－(t－12)≥ln＝－ln 2，所以t－12≤6，t≤18，所以12＜t≤18.综上所述，8≤t≤18， 所以该同学一天之内荷尔蒙分泌量不少于10 ng/mL的时长为10个小时. (13、14题，每小题5分，共10分) 13.(2025·江西南昌模拟)为了预防某种病毒，某学校需要通过喷洒药物对教室进行全面消毒.出于对学生身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时，学生方可进入教室.已知从喷洒药物开始，教室内部的药物浓度y(毫克/立方米)与时间t(分钟)之间的函数关系为y＝函数的图象如图所示.如果早上7：30就有学生进入教室，那么开始喷洒药物的时间最迟是(　　) A.7：00 B.6：40 C.6：30 D.6：00 答案：A 解析：根据函数的图象，可得函数的图象过点(10，1)，由函数图象连续，代入函数的解析式，可得＝1，解得a＝1，所以y＝令y≤0.25，可得0.1t≤0.25或≤0.25，解得0＜t≤2.5或t≥30.由图易知t≥30符合题意，所以如果7：30学生进入教室，那么开始喷洒药物的时间最迟是7：00.故选A. 14.(2025·北京平谷期末)在早高峰，某路口通过的车辆数m与时间t的关系近似地符合m(t)＝＋10，t∈，在早高峰这段时间内.给出下列四个结论： ①通过该路口的车辆数m随着时间t逐渐增多； ②早上6时和早上7时通过该路口的车辆数m相等； ③在任意时刻，通过路口的车辆数m不会超过35辆； ④在任意时刻，通过路口的车辆数m不会低于14辆. 依据上述关系式，其中所有正确结论的序号是　　　　. 答案：②③④ 解析：对于①，因为m(t)＝＋10，t∈，令f(t)＝(t－6.5)2＋，t∈，则f(t)在t∈内单调递减，在内单调递增，所以m(t)＝＋10先增后减，故①错误；对于②，因为f(t)是二次函数，函数图象的对称轴是t＝6.5，所以f(6)＝f(7)，所以m(6)＝m(7)，故②正确；对于③，因为f(t)的最小值是f(6.5)＝，所以m(t)的最大值是m(6.5)＝20＋10＝30，即在任意时刻，通过路口的车辆m不会超过35辆，故③正确；对于④，因为f(5)＝×(5－6.5)2＋＝0.14，f(9)＝×(9－6.5)2＋＝0.3，且f(5)＜f(9)，所以m(t)的最小值为m(9)＝＋10＝＋10≈13.3，即在任意时刻，通过路口的车辆m不会低于14辆，故④正确.综上，所有正确结论的序号是②③④. 学生用书⬇第60页 学科网（北京）股份有限公司 $