课时测评18 方程解的存在性及方程的近似解（word练习）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版）

课时测评18　方程解的存在性及方程的近似解 (时间：60分钟　满分：85分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－10题，每小题5分，共50分) 1.(2025·山东青岛模拟)函数f(x)＝ax－a(a＞0，a≠1)的零点为(　　) A.0 B.1 C. D.a 答案：B 解析：因为f(x)＝ax－a(a＞0，a≠1)，令f(x)＝ax－a＝0，解得x＝1，即函数的零点为1.故选B. 2.(2025·广西桂林模拟)下列函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是(　　) 答案：B 解析：由题意可知：二分法求零点要求函数图象连续不断且满足零点存在定理，即f(a)f(b)＜0成立，对比选项可知：A、C、D均符合，但选项B，f(a)f(b)≥0恒成立，不满足零点存在定理，故B错误.故选B. 3.(2025·北京东城模拟)函数f(x)＝ln－的一个零点所在的区间是(　　) A.(0，1) B.(1，2) C. D. 答案：B 解析：因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，且y＝ln(2x)，y＝－在(0，＋∞)内单调递增，可知f(x)在(0，＋∞)内单调递增，且f(1)＝ln 2－1＜0，f(2)＝ln 4－＞0，所以函数f(x)的唯一一个零点所在的区间是(1，2).故选B. 4.(2025·广东梅州模拟)三个函数f(x)＝x3＋x－3，g(x)＝ln x＋x－3，h(x)＝ex＋x－3的零点分别为a，b，c，则a，b，c之间的大小关系为(　　) A.a＜b＜c B.c＜a＜b C.a＜c＜b D.b＜c＜a 答案：B 解析：因为函数y＝x3，y＝ex，y＝ln x，y＝x－3都是增函数，所以函数f(x)＝x3＋x－3，g(x)＝ln x＋x－3，h(x)＝ex＋x－3均为增函数，因为f(1)＝－1＜0，f(2)＝7＞0，所以函数f(x)的零点在(1，2)上，即a∈(1，2)，因为g＝ln 2－1＜0，g(3)＝ln 3＞0，所以函数g(x)的零点在上，即b∈，因为h(0)＝－2＜0，h(1)＝e－2＞0，所以函数h(x)的零点在(0，1)上，即c∈(0，1)，综上c＜a＜b.故选B. 5.(2025·湖北武汉模拟)已知函数f(x)＝若曲线y＝f(x)与直线y＝ax恰有2个公共点，则实数a的取值范围是(　　) A. B.[－1，0] C.[－1，2) D.[0，＋∞) 答案：C 解析：当x≤0时，f(x)＝x2＋2x，其在(－∞，－1)上单调递减，在上单调递增，当0＜x＜1时，f(x)＝ln(1－x)在(0，1)上单调递减，且f(0)＝0，x＝0时，ln(1－x)＝0.作出f(x)的图象，y'＝(x2＋2x)'＝2x＋2，y'｜x＝0＝2，y'＝[ln(1－x)]'＝，y'｜x＝0＝－1，结合图象，易知实数a的取值范围是[－1，2).故选C. 6.(多选题)(2024·江苏无锡模拟)下列命题错误的是(　　) A.函数f(x)＝x2－2x－3的零点是(－1，0)，(3，0) B.用二分法求方程f(x)＝3x＋3x－8＝0在x∈(1，2)内的近似解的过程中得到f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，则方程的根落在区间(1.25，1.5)上 C.用二分法求函数f(x)＝ln x＋2x－6在区间内的零点近似值，至少经过4次二分后精确度达到0.1 D.某同学用二分法求函数f(x)＝2x＋3x－7的零点时，计算出如下结果f≈0.33，f≈－0.87，f≈－0.28，f≈0.02，f≈－0.13，f≈－0.06，则1.375和1.4都是精确度为0.05的近似零点 答案：AD 解析：对于A， 函数f(x)＝x2－2x－3的零点是－1，3，故A错误；对于B，函数f(x)＝3x＋3x－8在R上递增，由f＜0，f＞0，得函数f(x)的零点在区间上，故B正确；对于C，开区间(2，3)的长度等于1，每经过一次操作长度变为原来的一半，则经过n(n∈N＋)次操作之后，区间的长度变为，故由≤0.1，得2n≥10，所以n≥4，即至少经过4次二分后精确度达到0.1，故C正确；对于D，由于f≈0.02＞0，f≈－0.13＜0，所以的任何一个值均为精确度为0.05的近似零点，故D错误.故选AD. 7.(多选题)(2025·湖南怀化模拟)已知函数y＝x＋ex的零点为x1，y＝x＋ln x的零点为x2，则(　　) A.x1＋x2＞0 B.x1x2＜0 C.＋ln x2＝0 D.x1x2－x1＋x2＞1 答案：BC 解析：依题意，x1＋＝0⇔＝－x1，x2＋ln x2＝0⇔ln x2＝－x2，则x1，x2分别是直线y＝－x与函数y＝ex，y＝ln x图象交点的横坐标， 而函数y＝ex与y＝ln x互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称， 又直线y＝－x垂直于直线y＝x，则点(x1，)与点(x2，ln x2)关于直线y＝x对称，则x2＝＝－x1＞0，于是x1∈(－1，0)，x2∈(0，1)，x1＋x2＝0，x1x2＜0，＋ln x2＝0，故BC正确，A错误；x1x2－x1＋x2－1＝(x1＋1)(x2－1)＜0，即x1x2－x1＋x2＜1，故D错误.故选BC. 8.已知函数y＝f(x)在区间[0，5]上的图象是一段连续的曲线，且有如下的对应值表： x 0 1 2 3 4 5 y －1 2.2 4.6 －3.16 －1 8.8 设函数y＝f(x)在区间[0，5]上零点的个数为n，则n的最小值为　　　　. 答案：3 解析：由题意得f(0)·f(1)＜0，f(2)·f(3)＜0，f(4)·f(5)＜0，故由零点存在定理知函数y＝f(x)在区间[0，5]上零点的个数至少为3，故n的最小值为3. 9.已知f(x)＝－ln x，在区间上有一个零点x0，则n＝　　　　.若用二分法求x0的近似值(精确度0.1)，则至少需要将区间等分　　　　次. 答案：1　4 解析：f(x)＝－ln x在(0，＋∞)上为减函数，又f(1)＝1＞0，f(2)＝－ln 2＜0，所以f(x)的零点x0∈(1，2)，故n＝1.设至少需等分n次，则≤0.1且n∈N＋，解得n≥4，故至少需等分4次. 10.(开放题)(2025·北京昌平模拟)已知p：设函数f(x)在区间(0，＋∞)上的图象是一条连续不断的曲线，若f(1)·f(2)＞0，则f(x)在区间(1，2)内无零点.能说明p为假命题的一个函数的解析式是　　　　　　　　　. 答案：f(x)＝(答案不唯一) 解析：函数f(x)＝的定义域为R，所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上的图象是一条连续不断的曲线，因为f(1)＝，f(2)＝，所以f(1)·f(2)＞0，又f＝0，f(x)在区间(1，2)内有零点，所以p为假命题.故答案为f(x)＝(答案不唯一). (11、12题，每小题5分，共10分) 11.(2025·湖南长沙模拟)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝m有4个不同的实根x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则∈(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：作出函数y＝f(x)和函数y＝m的图象，假设两个函数的图象共有4个交点A，B，C，D，且横坐标分别为x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，0＜x1＜1＜x2＜2，由f(x1)＝f(x2)，得＝，则有－log2x1＝log2x2，所以log2x1＋log2x2＝0，所以x1x2＝1.由于二次函数y＝x2－8x＋13图象的对称轴为直线x＝4，则C，D两点关于直线x＝4对称，所以x3＋x4＝8，则＝8x3.令x2－8x＋13＝0，解得x＝4－或x＝4＋，所以x3∈，所以＝8x3∈.故选A. 12.(新定义)(多选题)(2025·江苏无锡模拟)在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(LEJBrouwer)，简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数f(x)，存在一个点x0，使f(x0)＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，x0为函数的不动点，则下列说法正确的是(　　) A.f(x)＝－x，x＞0为“不动点”函数 B.f(x)＝＋x－3的不动点为2 C.f(x)＝恰好有两个不动点 D.若定义在R上仅有一个不动点的函数f(x)满足f＝f(x)－x2＋x，则f(x)＝x2－x＋1 答案：AD 解析：对于A，由f(x)＝x，得－x＝x，而x＞0，解得x＝，因此f(x)为“不动点”函数，故A正确；对于B，由f(x)＝x，得＋x－3＝x，即＝3，即x2＋5＝9，解得x＝±2，经检验符合题意，因此f(x)的不动点为±2，故B错误；对于C，当x≤1时，f(x)＝2x2－3，由f(x)＝x，得2x2－3＝x，解得x＝－1；当x＞1时，f(x)＝｜2－x｜，由f(x)＝x，得｜2－x｜＝x，无解，因此函数f(x)只有一个不动点，故C错误；对于D，设该不动点为t，即f(t)＝t，由f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x，得f(x)－x2＋x＝t，即f(x)＝x2－x＋t，于是t2－t＋t＝t，解得t＝0或t＝1，当t＝0时，f(x)＝x2－x，由f(x)＝x，得x2－x＝x，解得x＝0或x＝2，此时f(x)有两个不动点，不符合题意，当t＝1时，f(x)＝x2－x＋1，由f(x)＝x，得x2－x＋1＝x，解得x＝1，f(x)只有一个不动点，符合题意，因此f(x)＝x2－x＋1，故D正确.故选AD. 13.(15分)已知函数f(x)＝x2－3mx＋n(m＞0)的两个零点分别为1和2. (1)求m，n的值；(5分) (2)令g(x)＝，若函数F(x)＝g(2x)－r·2x在x∈[－1，1]时有零点，求实数r的取值范围.(10分) 解：(1)由函数f(x)＝x2－3mx＋n(m＞0)的两个零点分别为1和2， 可得1－3m＋n＝0，4－6m＋n＝0，解得m＝1，n＝2. (2)由(1)知f(x)＝x2－3x＋2，则g(x)＝＝x＋－3， 函数F(x)＝g(2x)－r·2x在x∈[－1，1]上有零点，即g(2x)－r·2x＝0在x∈[－1，1]上有解， 即r＝1＋2·－3·在x∈[－1，1]上有解. 令t＝，则r＝2t2－3t＋1， 因为x∈[－1，1]，所以t∈，则r＝2t2－3t＋1＝2－∈， 所以实数r的取值范围是. (14、15题，每小题5分，共10分) 14.(新定义)(2025·江西上饶期末)定义：如果函数y＝f(x)在区间上存在x0∈满足f(x0)＝，则x0称为函数y＝f(x)在区间上的一个均值点.已知f(x)＝4x－2x＋1＋m在[0，1]上存在均值点，则实数m的取值范围是　　　　. 答案：(1，2) 解析：根据题意，函数f(x)＝4x－2x＋1＋m，则＝＝1，函数f(x)＝4x－2x＋1＋m在[0，1]上存在均值点，则4x－2x＋1＋m＝1在区间(0，1)上有解，设t＝2x，则1＜t＜2，则有t2－2t＋m－1＝0在区间(1，2)上有解，而二次函数y＝g(t)＝t2－2t＋m－1的对称轴为t＝1，故有g(1)g(2)＜0，即＜0，解得1＜m＜2，则m的取值范围为(1，2). 15.(2025·天津南开区模拟)若函数f(x)＝函数g(x)＝f(x)－kx有两个零点，则实数k的取值是　　　　　. 答案：0或4－2 解析：由g(x)＝f(x)－kx＝0得f(x)＝kx，即y＝f(x)与y＝kx的图象有两个公共点，画出y＝f(x)，y＝kx的图象如图所示，由图可知，当k＝0时，y＝f(x)与y＝kx有两个公共点；当k＜0时，y＝f(x)与y＝kx有一个公共点；当k＞0时，由消去y并化简得x2＋(k－4)x＋3＝0，由Δ＝(k－4)2－4×3＝k2－8k＋4＝0，解得k＝4－2或k＝4＋2(结合图象可知不符合，舍去)，故当0＜k＜4－2时，y＝f(x)与y＝kx有三个公共点，当k＝4－2时，有两个公共点，当k＞4－2时，有一个公共点.综上所述，g(x)＝f(x)－kx有两个零点，则实数k的值是0或4－2. 学生用书⬇第55页 学科网（北京）股份有限公司 $