课时测评15 对数函数（word练习）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版）

课时测评15　对数函数 (时间：60分钟　满分：88分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－8题，每小题5分，共40分) 1.函数y＝的定义域为(　　) A.[1，＋∞) B. C. D. 答案：B 解析：要使函数y＝有意义，需满足＜x≤1，故函数的定义域为.故选B. 2.已知函数f(x)＝1＋loga(2x－3)(a＞0，a≠1)恒过定点(m，n)，则m＋n＝(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：C 解析：令2x－3＝1，解得x＝2，此时f(2)＝1＋loga1＝1，所以f(x)恒过定点(2，1)，则m＝2，n＝1，所以m＋n＝3.故选C. 3.(2025·江苏南京模拟)已知ea＝lg 3，b＝lg，c＝ln，则a，b，c的大小关系是(　　) A.c＜b＜a B.a＜c＜b C.c＜a＜b D.b＜c＜a 答案：C 解析：因为ea＝lg 3，可得a＝ln(lg 3)，且3lg 3＝lg 27＞1，则lg 3＞，可得ln(lg 3)＞ln，所以a＞c；又因为ln 3＞1＞lg 3＞0，则lg(ln 3)＞0＞ln(lg 3)，所以b＞a；综上所述c＜a＜b.故选C. 4.已知函数f(x)＝loga(x－b)(a＞0，且a≠1，a，b为常数)的图象如图，则下列结论正确的是(　　) A.a＞0，b＜－1 B.a＞0，－1＜b＜0 C.0＜a＜1，b＜－1 D.0＜a＜1，－1＜b＜0 答案：D 解析：因为函数f(x)＝loga(x－b)为减函数，所以0＜a＜1，又因为函数图象与x轴的交点在正半轴，所以令x－b＝1，则x＝1＋b＞0，即b＞－1，又因为函数图象与y轴有交点，所以b＜0，所以－1＜b＜0.故选D. 5.(2025·广东佛山模拟)已知0＜a＜1且a≠，若函数f(x)＝2logax－log2ax在(0，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围为(　　) A. B. C.∪ D.∪ 答案：D 解析：依题意，f(x)＝－＝·ln x＝·ln x，显然函数y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，而函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，因此＜0，而0＜a＜2a＜4a，则ln 4a＜0，或解得0＜a＜＜a＜1，所以实数a的取值范围为∪.故选D. 6.(多选题)关于函数f(x)＝lg，下列说法正确的有(　　) A.f(x)的定义域为(－1，1) B.f(x)的函数图象关于y轴对称 C.f(x)的函数图象关于原点对称 D.f(x)在(0，1)上单调递增 答案：ACD 解析：因为f(x)＝lg＝lg，则＞0，解得－1＜x＜1，所以f(x)的定义域为(－1，1)，故A正确；因为f(－x)＝lg＝－f(x)，即f(x)为奇函数，所以f(x)的图象关于原点对称，故B错误，C正确；因为y＝－1在(0，1)上单调递增，y＝lg x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝lg在(0，1)上单调递增，故D正确.故选ACD. 7.(开放题)(2025·陕西渭南模拟)偶函数f(x)的定义域为D，函数f(x)在(0，＋∞)上递减，且对于任意a，b∈D，a≠0，b≠0均有f(ab)＝f(a)＋f(b)，写出符合要求的一个函数f(x)为　　　　　. 答案：lo(答案不唯一) 解析：f(x)＝lo，则函数f(x)是偶函数，且在(0，＋∞)上递减，又lo＝lo＋lo｜b｜，即满足f(ab)＝f(a)＋f(b)，故f(x)＝lo满足要求.(答案不唯一). 8.(2025·湖北宜昌模拟)已知函数f(x)＝则关于x的不等式f(x)≤1的解集为　　　　　　　　. 答案： 解析：当x≤0时，f(x)＝x＋1≤1得x≤0，所以x≤0；当x＞0时，f(x)＝ln(x＋1)≤1，得－1＜x≤e－1，所以0＜x≤e－1.综上，f(x)≤1的解集为. 9.(13分)(2024·上海卷)已知函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1). (1)若函数f(x)的图象过点，求不等式f(2x－2)＜f(x)的解集；(5分) (2)若存在x使得f(x＋1)，f，f(x＋2)依次成等差数列，求实数a的取值范围.(8分) 解：(1)因为函数f(x)的图象过点，故loga4＝2，故a2＝4，即a＝2(负值舍去)， 而f(x)＝log2x在(0，＋∞)上为增函数，故由f(2x－2)＜f(x)， 可得0＜2x－2＜x，即1＜x＜2， 故不等式f(2x－2)＜f(x)的解集为. (2)因为存在x使得f(x＋1)，f，f(x＋2)成等差数列， 故2f＝f(x＋1)＋f(x＋2)有解， 故2loga＝loga(x＋1)＋loga， 因为a＞0，a≠1，故x＞0， 故a2x2＝(x＋1)在(0，＋∞)上有解， 由a2＝＝1＋＋＝2－在(0，＋∞)上有解， 令t＝∈(0，＋∞)，而y＝2－在(0，＋∞)上的值域为(1，＋∞)， 故a2＞1，即a＞1. 所以实数a的取值范围为(1，＋∞). (10、11题，每小题5分，共10分) 10.(2025·湖北武汉模拟)已知函数f(x)＝log5(ax－2)在[1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　) A.(1，＋∞) B. C.(2，＋∞) D. 答案：C 解析：若f(x)＝log5在[1，＋∞)上单调递增，根据复合函数的单调性，则y＝ax－2在[1，＋∞)上单调递增且恒大于0；则a＞1且a1－2＞0，所以a＞2，即实数a的取值范围为(2，＋∞).故选C. 11.(2025·重庆北碚区模拟)已知函数f(x)＝ln(x＋m)的图象与函数g(x)＝－ln的图象有且只有一个交点，则实数m＝(　　) A.－1 B.1 C.－2 D.2 答案：D 解析：依题意ln(x＋m)＝－ln(－x)有一个解，即ln(x＋m)＋ln(－x)＝0有一个根，即ln(－x2－mx)＝0＝ln 1；所以－x2－mx＝1有一个根，所以x2＋mx＋1＝0有一个根，所以Δ＝m2－4＝0，解得m＝±2；当m＝－2时，f(x)＝ln(x－2)的定义域为(2，＋∞)，与g(x)＝－ln(－x)的定义域(－∞，0)没有交集，此时f(x)与g(x)的图象没有交点，所以m＝－2不符合题意.故选D. 12.(15分)(2025·江苏盐城模拟)已知函数f(x)＝log4·lo. (1)解关于x的不等式f(x)＞3；(6分) (2)若存在x∈，使得不等式f－a·log2x＋1≥0成立，求实数a的取值范围.(9分) 解：(1)因为f(x)定义域为(0，＋∞)， 则f(x)＝log2·2log2＝(log2x－2)(log2x－4)＝－6log2x＋8， 设log2x＝t，则不等式可化为t2－6t＋8＞3，即t2－6t＋5＞0， 解得t＜1或t＞5，即log2x＜1或log2x＞5， 解得0＜x＜2，或x＞32. 所以不等式的解集为{x｜0＜x＜2，或x＞32}. (2)因为f－a·log2x＋1≥0，所以·－alog2x＋1≥0， 设log2x＝t，x∈[2，4]，则t∈[1，2]，原问题化为：存在t∈[1，2]，t2－4t＋4－at≥0， 即a≤t＋－4在t∈[1，2]上有解. 因为y＝t＋－4在[1，2]上单调递减， 所以＝1， 所以a≤1. 所以实数a的取值范围为. (13、14题，每小题5分，共10分) 13.(多选题)(2025·广东湛江模拟)已知大气压强p随高度h(m)的变化满足关系式ln p0－ln p＝kh，p0是海平面大气压强，k＝10－4.我国陆地地势可划分为三级阶梯，其平均海拔如下表： 平均海拔/m 第一级阶梯 ≥4 000 第二级阶梯 1 000～2 000 第三级阶梯 200～1 000 若用平均海拔的范围直接代表各级阶梯海拔的范围，设在第一、二、三级阶梯某处的压强分别为p1，p2，p3，则(　　) A.p1≤ B.p0＜p3 C.p2≤p3 D.p3≤e0.18p2 答案：ACD 解析：设在第一级阶梯某处的海拔为h1，则ln p0－ln p1＝10－4h1，即h1＝104ln.因为h1≥4 000，所以104ln4 000，解得p1≤，故A正确；由ln p0－ln p＝kh，得ekh＝.当h＞0时，ekh＝＞1，即p0＞p，所以p0＞p3，B错误；设在第二级阶梯某处的海拔为h2，在第三级阶梯某处的海拔为h3，则两式相减可得ln＝10－4.因为h2∈，h3∈，所以h2－h3∈，则0≤ln≤10－4×1 800＝0.18，即1≤≤e0.18，故p2≤p3≤e0.18p2，故C、D均正确.故选ACD. 14.(2025·四川成都模拟)已知函数f(x)＝log6，g(x)＝log3.给出下列四个结论： ①f＜g； ②存在x0∈(0，1)，使得f(x0)＝g(x0)＝x0； ③对于任意的x∈(1，＋∞)，都有f(x)＜g(x)； ④＜. 其中所有正确结论的序号是　　　　　. 答案：②③④ 解析：对于①，f＝log6(＋)，而log6(＋)－＝log6，－1＝－＞0，故＋＞1，故log6－＞0，故log6＞.g＝log3，而log3－＝log3，而－1＝－＜0，故log3＜，故f＞g，故①错误；对于②，设h(x)＝f(x)－x＝log6，则h(x)为R上的减函数，而h(0)＝log62＞0，h＝log6＜0，故h(x)在(0，1)上存在唯一零点x0，且h＝f(x0)－x0＝0，即＋＝，即＝－，故log3(－)＝x0，所以g(x0)－x0＝0，故存在x0∈(0，1)，使得f(x0)＝g(x0)＝x0.故②正确；对于③，由②的分析可得h(x)＝f(x)－x＝log6在(1，＋∞)上为减函数，故h(x)＜h(1)＝log6＜0，即f(x)＜x恒成立.设s(x)＝g(x)－x＝log3，同理可得s(x)为(1，＋∞)上的增函数，故s(x)＞s＝log3＞0，故g(x)＞x，所以f(x)＜g(x)，故③正确；对于④，由f(1)＝log65＜1，g＝log34＞1，所以＝log6＜log6＜log3＝，故④正确.故答案为②③④. 学科网（北京）股份有限公司 $