课时测评14 指数函数（word练习）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版）

课时测评14　指数函数 (时间：60分钟　满分：88分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－8题，每小题5分，共40分) 1.已知指数函数f(x)＝(2a2－5a＋3)ax在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的值为(　　) A. B.1 C. D.2 答案：D 解析：由题意得2a2－5a＋3＝1，所以2a2－5a＋2＝0，所以a＝2或a＝.当a＝2时，f(x)＝2x在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；当a＝时，f(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意.所以a＝2.故选D. 2. (2025·河南郑州模拟)已知a＝，b＝，c＝，则(　　) A.c＜b＜a B.a＜b＜c C.b＜a＜c D.c＜a＜b 答案：A 解析：因为a＝，b＝，c＝，所以a＝＞＝b，因为163＞55，所以1＞，所以＞，即b＞c.综上所述，c＜b＜a.故选A. 3.已知函数y＝a＋b的图象经过原点，且无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交，则ab＝(　　) A.－1 B.－2 C.－4 D.－9 答案：C 解析：因为函数y＝f(x)＝a＋b图象过原点，所以a＋b＝0，得a＋b＝0，又该函数图象无限接近直线y＝2，且不与该直线相交，所以b＝2，则a＝－2，所以ab＝－4.故选C. 4.(2025·北京西城模拟)已知函数f(x)＝2x，若∀x1，x2∈R，且x1＜x2，则下面结论错误的是(　　) A.f(x1)＜f(x2) B.f＜ C.f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2) D.f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2) 答案：C 解析：由指数函数的单调性可知f(x)在R上单调递增，又x1＜x2，所以f(x1)＜f(x2)，故A正确；因为＞0，＞0，所以＝＝＝f，又x1＜x2，所以上式取不到等号，所以＞f，故B正确；f(x1x2)＝，f(x1)＋f(x2)＝＋，∀x1，x2∈R，x1＜x2，f(x1x2)≠f(x1)＋f(x2)，故C错误；f(x1＋x2)＝，f(x1)f(x2)＝·＝＝f(x1＋x2)，故D正确.故选C. 5.(多选题)(2025·广西北海期末)我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.数形结合百般好，割裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式琢磨函数图象的特征，如函数y＝(a＞0且a≠1)的图象的大致形状可能是(　　) 答案：BD 解析：当0＜a＜1时，函数y＝ax在R上单调递减，当x＜0时，y＝－ax在(－∞，0)上递增，y＜－1，当x＞0时，y＝ax在(0，＋∞)上递减，0＜y＜1，故A不满足，D符合题意；当a＞1时，函数y＝ax在R上单调递增，当x＜0时，y＝－ax在(－∞，0)上递减，－1＜y＜0，当x＞0时，y＝ax在(0，＋∞)上递增，y＞1，故C不满足，B符合题意.故选BD. 6.(多选题)(2025·吉林长春模拟)已知函数f(x)＝，则下列说法正确的是(　　) A.函数f(x)单调递增 B.函数f(x)值域为(0，2) C.函数f(x)的图象关于(0，1)对称 D.函数f(x)的图象关于(1，1)对称 答案：ABD 解析：f(x)＝＝＝2－，设函数y＝2－，t＝2x－1＋1，则t＞1，又内层函数t＝2x－1＋1在R上单调递增，外层函数y＝2－在(1，＋∞)上单调递增，所以根据复合函数单调性的法则可知，函数f(x)单调递增，故A正确；因为2x－1＋1＞1，所以0＜＜2，则0＜2－＜2，所以函数f(x)的值域为(0，2)，故B正确；f(2－x)＝＝＝，f(2－x)＋f(x)＝2，所以函数f(x)关于点(1，1)对称，易知f(－x)＋f(x)≠2，故C错误，D正确.故选ABD. 7.(开放题)(2025·福建厦门期末)已知函数f(x)的定义域为R，f(0)＝1，＝2，＝2，＝2，＝2，…，＝2.写出满足上述条件的一个函数：　　　　. 答案：f(x)＝2x(答案不唯一) 解析：例如f(x)＝2x，则f(0)＝1，且＝＝2，所以f(x)＝2x符合题意. 8.(2025·上海杨浦模拟)若函数g(x)＝为奇函数，则函数y＝f(x)在x∈(0，＋∞)的值域为　　　　. 答案：(0，1) 解析：当x＞0时，－x＜0，因为g(x)为奇函数，则g(－x)＝－g(x)＝2－x－1＝－1，所以g(x)＝1－，所以f(x)＝1－，x∈(0，＋∞)时f(x)的值域为(0，1). 9.(13分)(一题多问)(2025·江苏无锡模拟)设函数f(x)＝k·2x－2－x是定义在R上的奇函数. (1)求k的值；(3分) (2)若不等式f(x)＞a·2x－1有解，求实数a的取值范围；(4分) (3)设g(x)＝4x＋4－x－4f(x)，求g(x)在[1，＋∞)上的最小值.(6分) 解：(1)因为f(x)＝k·2x－2－x是定义在R上的奇函数， 所以f(0)＝0，所以k－1＝0，解得k＝1，f(x)＝2x－2－x， 当k＝1时，f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，则f(x)为奇函数，故k＝1. (2)f(x)＞a·2x－1有解， 即a＜－＋＋1有解， 所以a＜， 因为－＋＋1＝－＋，(x＝1时，等号成立)， 所以a＜， 所以实数a的取值范围为. (3)g(x)＝4x＋4－x－4f(x)， 即g(x)＝4x＋4－x－4(2x－2－x)， 可令t＝2x－2－x，可得函数t在[1，＋∞)上单调递增，即t， t2＝4x＋4－x－2，可得函数h(t)＝t2－4t＋2，t， 由h(t)的对称轴为t＝2＞，可得t＝2时，h(t)取得最小值－2， 此时2＝2x－2－x，解得x＝log2(1＋)， 则g(x)在[1，＋∞)上的最小值为－2， 此时x＝log2(1＋). (10、11题，每小题5分，共10分) 10.(多选题)(2025·湖南张家界期末)已知函数f(x)＝ax－，其中a＞0，且a≠1，则下列结论中正确的是(　　) A.函数f(x)是奇函数 B.函数f(x)在其定义域上有零点 C.函数f(x)的图象过定点(0，1) D.当a＞1时，函数f(x)在其定义域上单调递增 答案：ABD 解析：对于A，由f(x)＝ax－＝ax－a－x，定义域为R，关于原点对称.且f(－x)＝a－x－ax＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，故A正确；对于B，令f(x)＝ax－a－x＝0，解得x＝0，则f(x)在其定义域上有零点，故B正确；对于C，因为f(0)＝a0－a0＝0≠1，所以函数f(x)的图象过定点(0，0)，不过(0，1)，故C错误；对于D，当a＞1时，0＜＜1，所以y＝ax是增函数，且y＝是减函数，则y＝－是增函数，所以f(x)＝ax－也是增函数，故D正确.故选ABD. 11.已知函数f(x)＝2x－2－x＋1，若f(a2)＋f(a－2)＞2，则实数a的取值范围是　　　　. 答案：(－∞，－2)∪(1，＋∞) 解析：令g(x)＝2x－2－x，定义域为R，且g(－x)＝－g(x)，所以函数g(x)是奇函数，且是增函数，因为f(x)＝g(x)＋1，f(a2)＋f(a－2)＞2，则g(a2)＋g(a－2)＞0，即g(a2)＞－g(a－2)，又因为g(x)是奇函数，所以g(a2)＞g(2－a)，又因为g(x)是增函数，所以a2＞2－a，解得a＜－2或a＞1，故实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(1，＋∞). 12.(15分)(新定义)定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有－M≤f(x)≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界.已知f(x)＝4x＋a·2x－2. (1)当a＝－2时，求函数f(x)在(0，＋∞)上的值域，并判断函数f(x)在(0，＋∞)上是否为有界函数，请说明理由；(6分) (2)若函数f(x)在(－∞，0)上是以2为上界的有界函数，求实数a的取值范围.(9分) 解：(1)当a＝－2时，f(x)＝4x－2×2x－2＝(2x－1)2－3， 令2x＝t，由x∈(0，＋∞)，可得t∈(1，＋∞). 令g(t)＝(t－1)2－3，有g(t)＞－3， 可得函数f(x)的值域为(－3，＋∞)，故函数f(x)在(0，＋∞)上不是有界函数. (2)由题意有，当x∈(－∞，0)时，－2≤4x＋a·2x－2≤2， 可化为0≤4x＋a·2x≤4，必有a·2x≥0且a≤－2x. 令2x＝k，由x∈(－∞，0)，可得k∈(0，1)， 由a·2x≥0恒成立，可得a≥0，令h(k)＝－k(0＜k＜1)，可知函数h(k)为减函数， 有h(k)＞h(1)＝4－1＝3，由a≤－2x恒成立，可得a≤3， 故若函数f(x)在(0，＋∞)上是以2为上界的有界函数，则实数a的取值范围为[0，3]. (13、14题，每小题5分，共10分) 13.(多选题)(2025·山东菏泽期末)已知指数函数f(x)＝ax，g(x)＝bx，(a＞0，b＞0且a≠1，b≠1)，且f(2)＝4，3f(1)＝2g，则下列结论正确的有(　　) A.f(x)＝2x，g(x)＝3x B.若f(m)＝g，则一定有m＝n C.若f(x)＝g(y)＝fg≠1，则＋＝ D.若h(x)＝－3＋5，x∈[0，2]，则h(x)的最大值为3 答案：AC 解析：对于A，因为指数函数f(x)＝ax，g(x)＝bx，(a＞0，b＞0且a≠1，b≠1)，则f(2)＝a2＝4，可得a＝2，由3f(1)＝2g可得3a＝2b，则b＝3，所以f(x)＝2x，g(x)＝3x，故A正确；对于B，由f(m)＝g，可得2m＝3n，由图象(图略)知m＜n＜0或m＝n＝0或0＜n＜m，故B错误；对于C，由f(x)＝g(y)＝fg≠1，可得2x＝3y＝2z·3z＝6z≠1，设t＝2x＝3y＝2z·3z＝6z≠1，则t＞0，所以x＝log2t，y＝log3t，z＝log6t，所以＋＝logt2＋logt3＝logt6＝，故C正确；对于D，h(x)＝－3＋5＝－3＋5，因为x∈[0，2]，令t＝∈，令y＝t2－3t＋5，其中t∈，则函数y＝t2－3t＋5在上为减函数，在上为增函数，当t＝1时，y＝1－3＋5＝3；当t＝时，y＝－3×＋5＝＞3，所以h(x)的最大值为，故D错误.故选AC. 14.(新定义)(2025·北京海淀模拟)华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用，在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设f(x)是定义在R上的函数，对于x0∈R，令xn＝f(n＝1，2，3，…)，若存在正整数k使得xk＝x0，且当0＜j＜k时，xj≠x0，则称x0是f(x)的一个周期为k的周期点.若f(x)＝ex－1，写出f(x)的一个周期为1的周期点　　　　. 答案：1 解析：对于x0∈R，令xn＝f(xn－1)(n＝1，2，…)，若存在正整数k使得xk＝x0，且当0＜j＜k时xj≠x0，则称x0是f(x)的一个周期为k的周期点.若f(x)＝ex－1，x∈R，当k＝1时，x1＝f(x0)＝，因为直线y＝x与y＝f(x)只有一个交点(1，1)，所以x0＝1是f(x)的一个周期为1的周期点. 学科网（北京）股份有限公司 $