课时测评13 指数运算与对数运算（word练习）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版）

课时测评13　指数运算与对数运算 (时间：60分钟　满分：88分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－8题，每小题5分，共40分) 1.已知a＞0，b＞0.若ab＝1，则lg a＋lg b＝(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案：A 解析：lg a＋lg b＝lg ab＝lg 1＝0.故选A. 2.下列计算正确的是(　　) A.＝a5 B.log26－log23＝1 C.·＝0 D.log3＝2log3 答案：B 解析：对于A，(a2)3＝a6，故A错误；对于B，log26－log23＝log2＝log22＝1，故B正确；对于C，·＝a0＝1，故C错误；对于D，对数的真数部分要大于0，故D错误.故选B. 3.(2025·河南南阳模拟)已知alog94＝1，则2－a＝(　　) A. B. C. D.3 答案：C 解析：由alog94＝1可得4a＝9，即(2a)2＝9，2a＝3，故2－a＝.故选C. 4.(2025·四川成都模拟)若实数m，n，t满足5m＝7n＝t且＋＝2，则t＝(　　) A.2 B.12 C. D. 答案：D 解析：因为5m＝7n＝t且＋＝2，易知t＞0且t≠1，所以m＝log5t，n＝log7t，所以＝logt5，＝logt7，所以＋＝logt5＋logt7＝logt35＝2，则t＝.故选D. 5.(多选题)(2025·江苏南京模拟)已知2log3＋log3b＝0，则下列等式一定正确的是(　　) A.＝2b B.a·eln a＝b C.b＝2a D.log2a＝log8ab 答案：BD 解析：由2log3＋log3b＝0，得a＞0，b＞0，且log3a－2＋log3b＝0，即log3a－2b＝0，所以a－2b＝1，b＝a2，而此时b＝2a不一定成立，故C错误；由于＝2b，即22a＝2b，所以b＝2a，故A错误；由于a·eln a＝b，即为a·a＝a2＝b，故B正确；又log8ab＝log8a3＝loa3＝log2a，故D正确.故选BD. 6.(多选题)(2025·重庆期末)放射性物质在衰变中产生辐射污染逐步引起了人们的关注，已知放射性物质数量随时间t的衰变公式N(t)＝N0，N0表示物质的初始数量，τ是一个具有时间量纲的数，研究放射性物质常用到半衰期，半衰期T指的是放射性物质数量从初始数量到衰变成一半所需的时间，已知ln 2≈0.7，下表给出了铀的三种同位素τ的取值：若铀234、铀235和铀238的半衰期分别为T1，T2，T3，则(　　) 物质 τ的量纲单位 τ的值 铀234 万年 35.58 铀235 亿年 10.2 铀238 亿年 64.75 A.T＝τln 0.5 B.T与τ成正比例关系 C.T1＞T2 D.T3＞10 000T1 答案：BD 解析：对于A，利用衰变公式N(t)＝N0，又N(t)＝N0，故N0＝N0，两边取对数得，ln 0.5＝－，T＝τln 2，故A错误；对于B，由A可知，T与τ成正比例关系，故B正确；对于C，由B可知，T与τ成正比例关系，由于铀234的τ值小于铀235的τ值，故T1＜T2，故C错误；对于D，T3＝τln 2＝6.475×109ln 2，T1＝τln 2＝3.558×105ln 2，故＝＞1，故D正确.故选BD. 7.(2025·广东中山模拟)若xy＝3，则x＋y＝　　　　. 答案：±2 解析：当x＞0，y＞0时，x＋y＝＋＝2；当x＜0，y＜0时，x＋y＝－＋－＝－2. 8.(2025·四川德阳模拟)已知10m＝2，10n＝3，则2m＋lg 25＋10m－n＝　　　　.(用数字作答) 答案： 解析：因为10m＝2，10n＝3，所以m＝lg 2，n＝lg 3.所以2m＋lg 25＋10m－n＝2lg 2＋lg 25＋10lg 2－lg 3＝lg 4＋lg 25＋＝lg 100＋＝. 9.(13分)(1)已知＋＝3，计算：；(6分) (2)已知a＝＋－，b＝log39＋log3，求lg a2－b2 025＋2 025的值.(7分) 解：(1)因为＋＝3，所以＝9，即x＋x－1＋2＝9，所以x＋x－1＝7， 所以(x＋x－1)2＝49，即x2＋x－2＋2＝49， 所以x2＋x－2＝47， 所以＝＝4. (2)由题意a＝＋－＝＋1－＝－＝1， b＝log39＋log3＝log332＋log33－3＝2－3＝－1， 所以lg a2－b2 025＋2 025＝lg 12－(－1)2 025＋2 025＝0－(－1)＋2 025＝2 026. (10、11题，每小题5分，共10分) 10.(2025·福建南平模拟)对任意非零实数α，当充分小时，(1＋x)α≈1＋α·x.如：＝＝2≈2×＝2.25，用这个方法计算的近似值为(　　) A.1.906 B.1.908 C.1.917 D.1.919 答案：C 解析：＝＝＝2·＝2·＝2·≈2≈1.917.故选C. 11.(2025·安徽淮北模拟)已知正实数a，b满足logab＋logba＝，aa＝bb，则a＋b＝　　　　. 答案： 解析：令t＝logab，则logba＝，由logab＋logba＝，得t＋＝，所以2t2－5t＋2＝0，解得t＝或t＝2，所以logab＝或logab＝2，所以＝b或a2＝b，当＝b时，则a＝b2，由aa＝bb，得＝b2a＝bb，所以2a＝b，由又a＞0，解得所以a＋b＝.当a2＝b时，由aa＝bb，得aa＝＝a2b，所以a＝2b，由又a＞0，解得所以a＋b＝.综上所述，a＋b＝. 12.(15分)已知函数f(x)＝，g(x)＝. (1)分别计算f(4)－5f(2)g(2)，f(9)－5f(3)g(3)的值；(7分) (2)根据(1)的计算过程，写出涉及函数f(x)和g(x)对所有不等于0的实数x都成立的一个等式，并证明.(8分) 解：(1)f(4)－5f(2)g(2)＝－5×× ＝－＝－＝0， f(9)－5f(3)g(3)＝－5××＝－＝0. (2)由此概括出对所有不等于0的实数x有f(x2)－5f(x)g(x)＝0，证明如下： f(x2)－5f(x)g(x)＝－)－5×·＝－＝0， 因此，等式成立. (13、14题，每小题5分，共10分) 13.(多选题)(2025·江西南昌模拟)某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常，排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm，继续排气4分钟后又测得浓度为32 ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y(单位：ppm)与排气时间t(单位：分钟)之间满足函数关系y＝aeRt(a，R为常数，e是自然对数的底数).若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm，人就可以安全进入车库了，则下列说法正确的是(　　) A.a＝128 B.R＝ln 2 C.排气12分钟后浓度为16 ppm D.排气32分钟后，人可以安全进入车库 答案：ACD 解析：设f(t)＝aeRt，代入(4，64)，(8，32)，得解得a＝128，R＝－ln 2，故A正确，B错误；此时f(t)＝128＝27·＝，所以f(12)＝24＝16(ppm)，故C正确；当f(t)≤0.5时，即≤0.5＝2－1，得7－≤－1，所以t≥32，所以排气32分钟后，人可以安全进入车库，故D正确.故选ACD. 14.(2025·广东深圳期末)若x，y，z∈R＋，且2x＝3y＝6z，∈(n，n＋1)，n∈N，则n的值为　　　　. 答案：25 解析：因为x，y，z∈R＋，则2x＝3y＝6z＞1，令2x＝3y＝6z＝t＞1，则x＝log2t，y＝log3t，z＝log6t，＝＝＝＝lg 6＝＝13＋＋，令m＝∈(1，2)，则＝13＋4m＋， 其中m∈(1，2)，m≠时，由对勾函数性质知4m＋∈，则＝13＋4m＋∈，所以n＝25. 学科网（北京）股份有限公司 $