课时测评12 简单的幂函数与几类常见的特殊函数（word练习）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版）

课时测评12　简单的幂函数与几类常见的特殊函数 (时间：60分钟　满分：88分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－8题，每小题5分，共40分) 1.函数f(x)＝－的单调递增区间是(　　) A.(2，＋∞) B.(－∞，2) C.(－∞，2)∪(2，＋∞) D.(－∞，2)，(2，＋∞) 答案：D 解析：函数f(x)＝－的定义域为{x｜x≠2}，又f(x)＝－的图象是由y＝－向右平移2个单位而来，y＝－的单调递增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，所以f(x)＝－的单调递增区间为(－∞，2)，(2，＋∞).故选D. 2.(2025·广东广州模拟)若幂函数f(x)＝x2m－3在(0，＋∞)上单调递增，则实数m的值为(　　) A.2 B.1 C.－1 D.－2 答案：A 解析：因为幂函数f(x)＝x2m－3在(0，＋∞)上是增函数，所以解得m＝2.故选A. 3.若函数f(x)＝，则f＋f＋…＋f＋f＋f＋… ＋f的值为(　　) A.2 022 B.4 042 C.4 044 D.8 084 答案：D 解析：由题意函数f(x)＝，定义域为{x｜x≠1}，则f(2－x)＝＝，故f(x)＋f(2－x)＝＋＝＝＝4，即函数f(x)＝的图象关于点(1，2)成中心对称，故f＋f＝4，f＋f＝4，…，f＋f＝4，故f＋f＋…＋f＋f＋f＋…＋f＝2 021×4＝8 084.故选D. 4.对任意实数x，规定y取4－x，x＋2，三个值中的最小值，则函数y(　　) A.有最大值2，无最小值 B.有最大值2，最小值1 C.有最大值1，无最小值 D.无最大值，无最小值 答案：A 解析：因为4－x≤x＋2⇒x≥1；4－x≤⇒x≥3；x＋2≤⇒x≤0，所以可得y＝又将x＝3代入y＝(6－x)得y＝1；将x＝3代入y＝4－x得y＝1，所以函数y在上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，将x＝0代入y＝得y＝2，将x＝0代入y＝x＋2得y＝2，所以函数y在x＝0处取得最大值为y＝2，无最小值.故选A. 5.(多选题)高斯是德国著名的数学家，被认为是世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的称号.用其名字命名的“高斯函数”为：f(x)＝[x]，x∈R，其中[x]表示不超过x的最大整数，例如：＝－2，＝2.令函数g(x)＝x－[x]，则下列说法正确的是(　　) A.x－1＜[x]≤x B.g(x)是周期函数 C.f(x)在R上单调递增 D.f＝g 答案：ABD 解析：对于A，[x]表示不超过x的最大整数，故x－1＜[x]≤x，故A正确；对于B，函数g(x)＝x－[x]，则g(x＋1)＝x＋1－＝x－[x]＝g(x)，即g(x)是周期函数，故B正确；对于C，不妨取x＝1.2以及x＝1.3，则f＝＝1，f＝＝1，即f(x)在R上不单调递增，故C错误；对于D，f＝＝1，g＝－＝，则g＝×＝1，即f＝g，故D正确.故选ABD. 6.(多选题)德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名命名，其解析式为D(x)＝以下四个命题，其中真命题有(　　) A.D(x)是偶函数 B.D(x)的周期是任意非零有理数 C.D是奇函数 D.∃x，y∈R，D＝D(x)＋D(y) 答案：ABD 解析：对于A，当x为有理数时，－x为有理数，则D(－x)＝D(x)＝1.当x为无理数时，－x为无理数，则D(－x)＝D(x)＝0.故当x∈R 时，D(－x)＝D(x)，所以D(x)是偶函数，故A是真命题；对于B，∀r∈Q且r≠0，当x是有理数时，x＋r是有理数，D(x＋r)＝D(x)＝1.当x是无理数时，x＋r是无理数，D＝D(x)＝0.所以∀x∈R，D＝D(x)，故B是真命题；对于C，D＝1是偶函数，不是奇函数，故C是假命题；对于D，当x＝，y＝时，x＋y＝＋是无理数，则D＝0，D(x)＋D(y)＝0＋0＝0，满足D＝D(x)＋D(y)，故D是真命题.故选ABD. 7.已知函数f(x)＝x－8，g(x)＝3x－x2，x∈R，用m(x)表示f(x)，g(x)中的较小者，记为m(x)＝min{f(x)，g(x)}，则函数m(x)的最大值为　　　　. 答案：－4 解析：在同一平面直角坐标系中作出两函数图象如图所示.由图可得，函数f(x)＝x－8与g(x)＝3x－x2的交点为(4，－4)，(－2，－10)，所以m(x)＝min{f(x)，g(x)}＝故m(x)max＝m(4)＝－4. 8.因函数f(x)＝x＋(t＞0)的图象形状像对勾，我们称形如“f(x)＝x＋(t＞0)”的函数为“对勾函数”，该函数具有性质：在(0，)上是减函数，在(，＋∞)上是增函数，若对勾函数f(x)＝x＋(t＞0) 对于任意的k∈Z，都有f≤f，则实数t的最大值为　　　　　. 答案： 解析：因为f≤f，则f－f≤0，k－＋－k－－＝－1≤0，即≤1，当k2－＜0，－＜k＜，因为k∈Z，则k＝0，t≥－.当k2－＞0，即k＞或k＜－时，t≤k2－恒成立，所以t≤＝.综上－≤t≤，所以实数t的最大值为. 9.(13分)已知函数f(x)＝｜x－a｜－＋a，a∈R. (1)若a＝0，试判断f(x)的奇偶性，并说明理由；(3分) (2)若f(x)在[1，a]上单调，且对任意x∈[1，a]，f(x)＜－2恒成立，求a的取值范围；(4分) (3)若x∈[1，6]，当a∈(3，6)时，求f(x)的最大值的表达式M(a).(6分) 解：(1)当a＝0时，f(x)＝｜x｜－(x≠0)，f(－x)＝｜x｜＋≠f(x)，f(－x)≠－f(x)， 所以f(x)既不是奇函数又不是偶函数. (2)法一：当x∈[1，a]时，f(x)＝－x－＋2a， 因为f(x)在[1，a]上单调，所以1＜a≤3，此时f(x)在[1，a]上单调递增， f(x)max＝f(a)＝－＋a， 由题意f(x)max＝－＋a＜－2恒成立， 即a2＋2a－9＜0，所以－－1＜a＜－1. 又1＜a≤3， 所以a的取值范围为(1，－1). 法二：(参数分离)当x∈[1，a]时，f(x)＝－x－＋2a，因为f(x)由[1，a]上单调，所以1＜a≤3，由于f(x)＝－x－＋2a＜－2，即a＜－1， 只要a＜－1，解得－－1＜a＜－1，又1＜a≤3， 所以a的取值范围为(1，－1). (3)当x∈[1，6]时， f(x)＝ 又a∈(3，6)，由上式知，f(x)在区间(a，6]上单调递增. 当a∈(3，6)时，f(x)在[1，3)上单调递增，在[3，a]上单调递减. 所以f(x)在[1，3)上单调递增，在[3，a]上单调递减，在(a，6]上单调递增， 则f(x)max＝max{f(3)，f(6)} ＝max＝ 综上所述，f(x)的最大值的表达式为M(a)＝ (10、11题，每小题5分，共10分) 10.(多选题)已知函数f(x)＝，则(　　) A.f(x)的定义域为 B.f(x)在(2，＋∞)上单调递减 C.f＝－6 D.f(x)的值域是(－∞，0)∪(0，＋∞) 答案：ABC 解析：对于A，令－2≠0，解得x≠±2，所以f(x)的定义域为，则A正确；对于B，若x＞2，则f(x)＝，因为y＝x－2在(2，＋∞)上单调递增，且y＝x－2＞0，可知f(x)＝在(2，＋∞)上单调递减，故B正确；对于C，因为f＝，所以f＝－6，故C正确；对于D，因为x≠±2，则0，且≠2，可得－2∈∪(0，＋∞)，当－2∈时，f(x)＝≤－2；当－2∈(0，＋∞)时，f(x)＝＞0；所以f(x)的值域是∪(0，＋∞)，故D错误.故选ABC. 11.(多选题)(2025·湖南长沙期末)对于任意的x∈R，[x]表示不超过x的最大整数.十八世纪，y＝[x]被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”.下列说法正确的是(　　) A.函数y＝[x]，x∈R的图象关于原点对称 B.函数y＝x－[x]，x∈R的值域为 C.对于任意的x，y∈R，不等式[x]＋恒成立 D.不等式2[x]2＋[x]－1＜0的解集为{x｜0≤x＜1} 答案：BCD 解析：对于A，当0≤x＜1时，y＝[x]＝0，当－1＜x＜0时，y＝[x]＝－1，所以y＝[x]，x∈R不是奇函数，即函数y＝[x]，x∈R的图象不是关于原点对称，故A错误；对于B，由取整函数的定义知，[x]≤x＜[x]＋1，所以x－1＜[x]≤x，所以0≤x－[x]＜1，所以函数y＝x－[x]，x∈R的值域为，故B正确；对于C，由取整函数的定义知，∀x，y∈R，[x]≤x，≤y，所以[x]＋＝[[x]＋[y]]≤，故C正确；对于D，由2[x]2＋[x]－1＜0得＜0，解得－1＜[x]＜，结合取整函数的定义可得，故D正确.故选BCD. 12.(15分)(一题多问)在研究函数过程中，经常会遇到一类形如y＝(k、f、d、e为实常数且d≠0)的函数，我们称为一次型分式函数.请根据条件完成下列问题. (1)设a是实数，函数f(x)＝，请根据a的不同取值，讨论函数y＝f(x)的奇偶性，并说明理由；(4分) (2)设m是实数，函数g(x)＝.若g(x)＜0成立的一个充分非必要条件是＜x＜，求实数m的取值范围；(5分) (3)设n是实数，函数h(x)＝4－，若存在区间⊆，使得{y｜y＝h(x)，x∈}＝[nλ，nμ]，求n的取值范围.(6分) 解：(1)对于函数f(x)＝，其定义域为， 若a＝0，此时f(x)＝1，定义域关于原点对称，且显然有f(x)＝f(－x)， 故此时f(x)＝是偶函数， 若a≠0，则定义域不关于原点对称，故此时f(x)＝既不是奇函数也不是偶函数. (2)根据题意可知不等式g(x)＜0的解集包含区间， 由g(x)＝＜0⇒＜0， 若m－1＝2m，即m＝－1时，此时不等式无解，不符合题意； 若m－1＜2m，即m＞－1时，此时不等式的解集为， 要符合题意，则需m－1≤＜≤2m⇒m∈， 注意到等号不能同时取得，故满足条件； 若m－1＞2m，即m＜－1时，此时不等式的解集为， 显然m－1＜0＜，不符合题意. 综上，实数m的取值范围为. (3)易知函数h(x)＝4－上单调递增， 由题意可知⇒h(x)＝nx有两个不等实根， 即4－＝nx在上有两个不同解， 即n＝－＋4在上有两个不同解， 易知∈，由二次函数的性质可知3＜n＜4. 所以n的取值范围为. (13、14题，每小题5分，共10分) 13.(多选题)(2025·江西南昌期末)函数f(x)＝x－[x]是物理中常见的锯齿波函数，其中[x]表示不大于x的最大整数，标准锯齿波波形先呈直线上升，随后陡落，再上升，再陡落，如此反复.下列说法正确的有(　　) A.[x＋1]＝[x]＋1 B.函数y＝2x－[2x]的最小正周期为 C.函数y＝3x－[3x－1]的值域为[1，2] D.函数y＝x－[－x]为周期函数 答案：AB 解析：令x＝m＋t，m∈Z，0≤t＜1，则[x]＝m，[x＋1]＝[m＋t＋1]＝m＋1，而[x]＋1＝m＋1，故A正确；f(x＋1)＝x＋1－[x＋1]＝x＋1－([x]＋1)＝x－[x]＝f(x)，即f(x＋1)＝f(x)，所以f(x)是周期函数，1是f(x)＝x－[x]的一个周期，设T是函数f(x)＝x－[x]的一个周期，T≠0，即f(x＋T)＝f(x)，所以x＋T－[x＋T]＝x－[x]⇒T＝[x＋T]－[x]，故函数的周期为整数，而1是最小的正整数，故f(x)＝x－[x]的最小正周期为1，根据图象的伸缩变换，y＝2x－[2x]的图象是由f(x)＝x－[x]图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，所以函数y＝2x－[2x]的最小正周期为，故B正确；由f(x)＝x－[x]＝m＋t－m＝t，所以f(x)的值域为，而y＝3x－[3x－1]＝3x－＋1，又0≤3x－＜1⇒1≤3x－＋1＜2，即函数y＝3x－[3x－1]的值域为，故C错误；当x∈时，－x∈，所以＝－1，所以y＝x＋1，当x∈时，－2≤－x＜－1，＝－2，所以y＝x＋2，当x∈，－3≤－x＜－2，＝－3，y＝x＋3，y随x增大而增大，故不是周期函数，故D错误.故选AB. 14.若函数f(x)在定义域内的某区间M上是增函数，且在M上是减函数，则称函数f(x)在M上是“弱增函数”，则下列说法正确的是　　　　. ①若f(x)＝x2，则存在区间M使f(x)为“弱增函数”； ②若f(x)＝x＋，则存在区间M使f(x)为“弱增函数”； ③若f(x)＝x＋x3，则f(x)为R上的“弱增函数”； ④若f(x)＝x2＋(4－a)x＋a在区间(0，2]上是“弱增函数”，则a＝4. 答案：②④ 解析：对于①，f(x)＝x2在(0，＋∞)上为增函数，y＝＝x在(0，＋∞)上是增函数，因此不存在区间M使f(x)＝x2为“弱增函数”，故①错误；对于②，由对勾函数的性质知：f(x)＝x＋在[1，＋∞)上为增函数，y＝＝1＋x－2在[1，＋∞)上为减函数，因此存在区间M＝[1，＋∞)使f(x)＝x＋为“弱增函数”，故②正确；对于③，函数f(x)＝x＋x3在R上单调递增，y＝＝1＋x2，显然函数在(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上为减函数，因此函数f(x)＝x＋x3不是R上的“弱增函数”，故③错误；对于④，若f(x)＝x2＋(4－a)x＋a在区间(0，2]上是“弱增函数”，则f(x)＝x2＋(4－a)x＋a在(0，2]上为增函数，有－≤0，解得a≤4，又y＝＝x＋(4－a)＋在(0，2]上为减函数，而当a≤0时，y＝＝x＋(4－a)＋为增函数，不符合题意，于是a＞0，又由对勾函数的单调性知，函数y＝x＋在(0，]上是减函数，因此2，即a≥4，所以a＝4.故④正确.故答案为②④. 学科网（北京）股份有限公司 $