课时测评10 函数的对称性（word练习）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版）

课时测评10　函数的对称性 (时间：60分钟　满分：85分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－10题，每小题5分，共50分) 1.若函数f(x)＝的图象关于点(1，2)对称，则a＝(　　) A.－2 B.－1 C.1 D.2 答案：D 解析：f(x)＝＝a＋关于点(1，2)对称，则a＝2.故选D. 2.(2025·广西桂林模拟)已知函数f(x)＝2x＋(x∈R)，则f(x)的图象(　　) A.关于直线x＝1对称 B.关于点(1，0)对称 C.关于直线x＝0对称 D.关于原点对称 答案：A 解析：由已知可得，f(2－x)＝22－x＋＝＋4·＝＋2x＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，故A正确；因为f(2－x)＝2x＋，则f(2－x)＋f(x)≠0，故B错误；f(－x)＝2－x＋＝4·2x＋，则f(－x)≠f(x)，故C错误；因为f(－x)＝4·2x＋，则f(－x)≠－f(x)，故D错误.故选A. 3.(2025·四川成都模拟)已知函数f(x)＝ex－e2－x，若实数m，n满足f(m)＋f(n)＝0，则m＋n＝(　　) A.1 B.2 C.e D.4 答案：B 解析：函数f(x)＝ex－e2－x，f(2－m)＋f(m)＝e2－m－em＋(em－e2－m)＝0，所以f(x)＝ex－e2－x关于(1，0)对称，而f(m)＋f(n)＝0，因此f(2－m)＝f(n)，所以m＋n＝2.故选B. 4.(2025·福建泉州模拟)已知y＝f(x＋1)＋1为奇函数，则f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝(　　) A.6 B.5 C.－6 D.－5 答案：D 解析：由题y＝f(x＋1)＋1为奇函数，则f(－x＋1)＋1＝－f(x＋1)－1，所以f(－x＋1)＋f(x＋1)＝－2⇒f(2－x)＋f(x)＝－2，所以f(x)关于(1，－1)对称，所以f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝[f(－1)＋f(3)]＋f(1)＋[f(0)＋f(2)]＝－2－1－2＝－5.故选D. 5.已知定义域为R的偶函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝e1－x－1，则方程f(x)＝在区间[－3，5]上所有解的和为(　　) A.6 B.12 C.10 D.8 答案：D 解析：因为f(2－x)＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，令h(x)＝，则h(x)的图象关于直线x＝1对称，作出函数f(x)，h(x)在区间[－3，5]的图象， 由图可知，h(x)与f(x)的图象在区间[－3，5]上共有8个交点，且两函数的图象均关于直线x＝1对称，所以方程f(x)＝在区间[－3，5]上所有解的和为4×2＝8.故选D. 6.(多选题)已知函数f(x)的定义域为R，则下列说法正确的是(　　) A.若f(x＋2)＝－f(－x)，则函数y＝f(x)的图象关于(1，0)对称 B.函数y＝－f(2－x)与函数y＝f(x)的图象关于(1，0)对称 C.函数y＝f(－1＋x)－f(1－x)的图象关于(1，0)对称 D.函数y＝f(1＋x)－f(1－x)的图象关于(1，0)对称 答案：ABC 解析：若f(x＋2)＝－f(－x)，即f(x＋2)＋f(－x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于(1，0)对称，故A正确；若点(x，y)在y＝f(x)上，则点(2－x，－y)在y＝－f(2－x)的图象上，且点(x，y)与点(2－x，－y)关于点(1，0)对称，则函数y＝－f(2－x)与函数y＝f(x)的图象关于(1，0)对称，故B正确；设g(x)＝f(－1＋x)－f(1－x)，则g(2－x)＋g(x)＝f(1－x)－f(x－1)＋f(－1＋x)－f(1－x)＝0，故函数y＝f(－1＋x)－f(1－x)的图象关于(1，0)对称，故C正确；令g(x)＝f(1＋x)－f(1－x)，则g(2－x)＋g(x)＝f(3－x)－f(x－1)＋f(1＋x)－f(1－x)不恒为0，故函数y＝f(1＋x)－f(1－x)的图象不关于(1，0)对称，故D错误.故选ABC. 7.(多选题)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＋f(x)＝0，且y＝f(2－x)为偶函数，则下列说法一定正确的是(　　) A.函数f(x)的周期为2 B.函数f(x)的图象关于直线x＝2对称 C.函数f(x)为偶函数 D.函数f(x)的图象关于点(3，0)对称 答案：BCD 解析：对于A，因为f(x＋2)＋f(x)＝0，则f(x＋4)＋f(x＋2)＝0，可得f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，故A错误；对于B， 因为y＝f(2－x)为偶函数，则f(2－x)＝f(2＋x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，故B正确；对于C，因为函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，则f(－x)＝f(4＋x)，由函数f(x)的周期为4，可得f(－x)＝f(4＋x)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，故C正确；对于D，因为f(－x)＝f(x)，且f(x＋2)＋f(x)＝0，可得f(x＋2)＋f(－x)＝0，又因为函数f(x)的周期为4，则f(x＋6)＋f(－x)＝0，所以函数f(x)的图象关于点(3，0)对称，故D正确.故选BCD. 8.(开放题)(2025·山东潍坊模拟)请写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式f(x)＝　　　　　. ①f(1－x)＝f(1＋x)；②f(x)至少有两个零点；③f(x)有最小值. 答案：x2－2x(答案不唯一) 解析：取f(x)＝x2－2x，其对称轴为x＝1，满足①f(1－x)＝f(1＋x)，令f(x)＝x2－2x＝0，解得x＝0或2，满足②f(x)至少有两个零点，f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，当x＝1时，f(x)min＝－1，满足③f(x)有最小值.(答案不唯一). 9.(2025·福建龙岩模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在(－∞，2]上单调递减，则不等式f(2x＋3)≤f(1)的解集为　　　　　. 答案：[－1，0] 解析：因为函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)关于直线x＝2对称，又因为f(x)在上单调递减，则f(x)在上单调递增，则由f≤f(1)得，即≤1，解得－1≤x≤0，则解集为[－1，0]. 10.已知函数f(x)满足f＋f＝－12，若g(x)＝f(x)＋x，则g＝　　　　. 答案：76 解析：由题可知g(x＋10)＋g(－x＋10)＝f(x＋10)＋f(－x＋10)＋(x＋10)＋(－x＋10)＝8，令x＝0，g(10)＋g(10)＝8，则g(10)＝4，所以g(i)＝8×9＋4＝76. (11、12题，每小题5分，共10分) 11.(2025·广东广州期末)已知函数f(x)＝ln＋ax＋2a＋bsin，则f(x)图象有如下性质(　　) A.关于点中心对称 B.关于直线x＝b轴对称 C.关于点中心对称 D.关于点中心对称 答案：C 解析：f(－x＋4)＝ln＋a(－x＋4)＋2a＋bsin(－x＋4－2)＝－ln－ax＋6a－bsin(x－2)，故f(－x＋4)＋f(x)＝8a，故f(x)关于点(2，4a)中心对称，故C正确，A，D错误；对于B，f(－x＋2b)＝ln＋a(－x＋2b)＋2a＋bsin(－x＋2b－2)≠f(x)，故f(x)不关于直线x＝b轴对称，故B错误.故选C. 12.(2025·天津期末)设函数f(x)＝若∃x∈R且x≠0，使得f＝f成立，则实数a的取值范围为　　　　. 答案：(－1，＋∞) 解析：由题意f(x)的图象上存在两点关于直线x＝对称，又y＝－x2＋x＝－＋是对称轴为x＝的抛物线，所以当a＞时，显然满足题意，当a≤时，f(x)＝－x2＋x(x＜a)是增函数，不存在关于直线x＝对称的点，所以不妨设t＞0，由f＝f得－＝－＋－t，解得t＝，所以－＜a，即a＞－1，即－1＜a≤，综上，a＞－1，则实数a的取值范围为(－1，＋∞). 13.(15分)函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数. (1)若f(x)＝x3－3x2，求此函数图象的对称中心；(10分) (2)类比上述推广结论，写出“函数y＝f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y＝f(x)为偶函数”的一个推广结论.(5分) 解：(1)设函数f(x)＝x3－3x2的图象的对称中心为点P(a，b)，g(x)＝f(x＋a)－b， 则g(x)为奇函数，故g(－x)＝－g(x)， 故f(－x＋a)－b＝－f(x＋a)＋b， 即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝2b， 即[(－x＋a)3－3(－x＋a)2]＋[(x＋a)3－3(x＋a)2]＝2b. 整理得(3a－3)x2＋a3－3a2－b＝0，故 所以函数f(x)＝x3－3x2的图象的对称中心为(1，－2). (2)推论：函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)为偶函数. (14、15题，每小题5分，共10分) 14. (多选题)(2025·江西新余期末)太极图被称为“中华第一图”，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美.定义：若一个函数的图象能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分，则称该函数为圆O的一个“太极函数”，设圆O：x2＋y2＝1，则下列说法中正确的是(　　) A.函数y＝x3＋x是圆O的一个太极函数 B.函数f(x)的图象关于原点对称是f(x)为圆O的太极函数的充要条件 C.圆O的所有非常数函数的太极函数都不能为偶函数 D.函数y＝sin x是圆O的一个太极函数 答案：AD 解析：对于A，设y＝f(x)＝x3＋x，因为f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－x3－x＝－f(x)，所以函数y＝x3＋x是奇函数，它的图象将圆O的周长与面积同时等分，如图①所示：所以函数y＝x3＋x是圆O的一个太极函数，故A正确；对于C，如图②所示： 函数y＝g(x)是偶函数，y＝g(x)也是圆O的一个太极函数，故C不正确；对于B，根据选项C的分析，圆O的太极函数可以是偶函数不一定关于原点对称，故B不正确；对于D，因为y＝sin x是奇函数，所以它的图象将圆x2＋y2＝1的周长与面积同时等分，如图③所示.因此函数y＝sin x是圆O的一个太极函数，故D正确.故选AD. 15.(2025·湖南长沙开学考)我们知道，设函数f(x)的定义域为I，如果对任意x∈I，都有2a－x∈I，且f(x)＋f＝2b，那么函数y＝f(x)的图象关于点P成中心对称.若定义在R上的函数f(x)＝－2x3＋的图象关于点(0，1)成中心对称，则实数c的值为　　　　；若f(－t2)＋f(5t＋6)＞2，则实数t的取值范围是　　　　. 答案：2　(－∞，－1)∪ 解析：因为函数f(x)＝－2x3＋的图象关于点(0，1)成中心对称，所以f(x)＋f(－x)＝2，即－2x3＋＋2x3＋＝2，即＝2，所以c＝2，又因为f(x)＝－2x3＋在定义域R上单调递减，令g(x)＝f(x)－1＝－2x3＋－1，因为函数f(x)的图象关于点(0，1)成中心对称，所以g(x)的图象关于(0，0)对称，且g(x)＝f(x)－1＝－2x3＋－1单调递减，因为f(－t2)＋f(5t＋6)＞2，即f(－t2)－1＞－f(5t＋6)＋1，即g＞－g，也即g＞g，所以－t2＜－5t－6，则－t2＋5t＋6＜0，解得t＜－1或t＞6，故实数t的取值范围是(－∞，－1)∪. 学科网（北京）股份有限公司 $