课时测评8 函数的单调性和最值（word练习）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版）

课时测评8　函数的单调性和最值 (时间：70分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－8题，每小题5分，共40分) 1.(2025·河南南阳模拟)下列函数中，在定义域内单调递增的为(　　) A.y＝log0.2x B.y＝x＋ C.y＝22x D.y＝tan x 答案：C 解析：对于A， 函数y＝log0.2x在定义域内单调递减，故A错误；对于B，y＝x＋在定义域内不具有单调性，故B错误；对于C，y＝22x＝4x在定义域内单调递增，故C正确；对于D，y＝tan x在定义域内不具有单调性，故D错误.故选C. 2.函数f(x)＝x＋，x∈[0，4]的值域为(　　) A.[0，3] B.[1，4] C.[0，6] D.[0，4] 答案：C 解析：因为f(x)＝x＋在[0，4]上单调递增，所以f(x)min＝f(0)＝0，f(x)max＝f(4)＝4＋2＝6，所以函数的值域为[0，6].故选C. 3.(2025·福建南平期中)函数f(x)＝x2－4＋3的单调递增区间是(　　) A. B.和(0，2) C. D.和(2，＋∞) 答案：D 解析：因为f(x)＝x2－4｜x｜＋3＝作出f(x)的图象，如图所示， 由图象可知：函数f(x)的单调递增区间是(－2，0)和(2，＋∞).故选D. 4.(2025·广东深圳模拟)已知函数f(x)的定义域为R，若对∀x∈R都有f(3＋x)＝f(1－x)，且f(x)在(2，＋∞)上单调递减，则f(1)，f(2)与f(4)的大小关系是(　　) A.f(4)＜f(1)＜f(2) B.f(2)＜f(1)＜f(4) C.f(1)＜f(2)＜f(4) D.f(4)＜f(2)＜f(1) 答案：A 解析：因为对∀x∈R都有f(3＋x)＝f(1－x)，所以f(1)＝f(3－2)＝f[1－(－2)]＝f(3).又因为f(x)在(2，＋∞)上单调递减，且2＜3＜4，所以f(4)＜f(3)＜f(2)，即f(4)＜f(1)＜f(2).故选A. 5.(多选题)已知函数f(x)＝x－(a≠0)，下列说法正确的是(　　) A.当a＞0时，f(x)在定义域上单调递增 B.当a＝－4时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞) C.当a＝－4时，f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞) D.当a＞0时，f(x)的值域为R 答案：BCD 解析：当a＞0时，f(x)＝x－，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).因为f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，在定义域上不单调，故A错误；又当x→－∞时，f(x)→－∞，当x→0－时，f(x)→＋∞，所以f(x)的值域为R，故D正确；当a＝－4时，f(x)＝x＋，由其图象(图略)可知B、C正确.故选BCD. 6.(新定义)(多选题)(2025·安徽马鞍山模拟)定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足：对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有＞0，则称函数f(x)为“理想函数”.给出下列四个定义域为(0，＋∞)的函数，其中能被称为“理想函数”的有(　　) A.f(x)＝1 B.f(x)＝x2 C.f(x)＝x2＋1 D.f(x)＝x2＋x 答案：BD 解析：由题可得，当x1≠x2时，恒有＞0，令x1＞x2，故x2f(x1)－x1f(x2)＞0，又f(x)定义在(0，＋∞)上，故＞，即在(0，＋∞)上单调递增.对于A，＝在(0，＋∞)上单调递减，故A不正确；对于B，＝x在(0，＋∞)上单调递增，故B正确；对于C，＝x＋在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故C不正确；对于D，＝x＋1在(0，＋∞)上单调递增，故D正确.故选BD. 7.函数y＝x＋3的严格单调增区间为　　　　. 答案：和 解析：y＝由图象知， 该函数的严格单调增区间为. 8.(开放题) (2025·北京顺义模拟)能说明“若f(x)≤f(2)对任意的x∈[0，2]都成立，则f(x)在 [0，2]上单调递增”为假命题的一个函数是　　　　　　　　. 答案：f(x)＝(x－1)2(答案不唯一) 解析：令f(x)＝(x－1)2，则f(x)≤f(2)对任意的x∈[0，2]都成立，但f(x)在[0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，所以函数f(x)在[0，2]上不是单调递增. 9.(13分)(2025·江西九江模拟)已知f(x)＝是定义在[－2，2]上的函数，若满足f(x)＋f(－x)＝0且f(1)＝. (1)求f(x)的解析式；(6分) (2)设函数g(x)＝x2－2mx＋4，若对任意x1，x2∈[1，2]，都有g(x2)＜f(x1)恒成立，求实数m的取值范围.(7分) 解：(1)x∈[－2，2]，且f(x)＋f(－x)＝0， 所以f(x)为奇函数， 将x＝0代入f(x)＋f(－x)＝0可得f(0)＝0， 即＝0，所以c＝0， 即f(x)＝，因为f(1)＝， 所以f(－1)＝－，代入可得 解得故f(x)＝. 因为f(x)＝，所以f(－x)＝＝－f(x)，函数为奇函数，满足题意，故f(x)＝. (2)由题意可知，g(x2)max＜f(x1)min，设1≤a＜b≤2，则f(b)－f(a)＝－ ＝， 因为1≤a＜b≤2，所以b－a＞0，4－ab＞0，所以f(b)－f(a)＞0，即f(b)＞f(a)， 故函数f(x)＝在[1，2]上单调递增，最小值为f(1)＝. 法一：g(x)＝x2－2mx＋4＜在[1，2]上恒成立，只要2m＞， y＝x＋上单调递减，在上单调递增， 当x＝1时，x＋＝， 当x＝2时，x＋＝＜， 故当x＝1时，＝，所以m＞. 所以实数m的取值范围为. 法二：g(x)＝x2－2mx＋4＝＋4－m2，x∈[1，2]， 当m≤时，g(x)max＝g(2)＜，4－4m＋4＜，解得m＞，舍去； 当m＞时，g(x)max＝g(1)＜，1－2m＋4＜，解得m＞，因此m＞. 综上所述，实数m的取值范围为. (10、11题，每小题5分，共10分) 10.(2025·湖南岳阳模拟)已知函数f(x)＝f(x)不存在最小值，则实数a的取值范围是(　　) A.(－1，0) B. C.(－1，0)∪ D.∪(1，＋∞) 答案：C 解析：①当a＜0时，若x＜a，则f(x)＝ex＋a，因为函数f(x)＝ex＋a在(－∞，a)上单调递增，所以a＜f(x)＜ea＋a，若x≥a，则f(x)＝x2＋2ax＝(x＋a)2－a2≥－a2，当且仅当x＝－a时取等号，因为f(x)不存在最小值，所以－a2＞a，所以－1＜a＜0. ②当a≥0时，若x＜a，则f(x)＝ex＋a，因为函数f(x)＝ex＋a在(－∞，a)上单调递增，所以a＜f(x)＜ea＋a，若x≥a，则f(x)＝x2＋2ax＝(x＋a)2－a2≥f(a)＝3a2，当且仅当x＝a时取等号，因为f(x)不存在最小值，所以3a2＞a，所以a＞.所以实数a的取值范围是(－1，0)∪.故选C. 11. (多选题)(2025·福建漳州模拟)已知定义域为R的函数f(x)的图象是连续不断的，且满足以下条件：①∀x∈R，f(－x)＝f(x)；②∀x1，x2∈(0，＋∞)，当x1≠x2时，都有＞0；③f(－1)＝0，则下列说法正确的是(　　) A.f(3)＞f(－4) B.若f(m－1)＜f(2)，则m∈(－∞，3) C.若＞0，则x∈∪(1，＋∞) D.∃M∈R，使得对∀x∈R，f(x)≥M恒成立 答案：CD 解析：由条件①得f(x)是偶函数，所以f(－4)＝f(4)，条件②得f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(3)＜f(4)＝f(－4)，故A错误；若f(m－1)＜f(2)，则＜2⇒－1＜m＜3，故B错误；若＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f(x)在(－∞，0)上单调递减，则因为f(－1)＝f(1)＝0，所以⇒⇒所以－1＜x＜0或x＞1，故C正确；因为定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，f(x)是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(0)，所以对∀x∈R，只需M≤f(0)即可，故D正确.故选CD. 12.(15分)(一题多问)已知a∈R，函数f(x)＝x2＋的定义域为(1，＋∞). (1)求f(2)的值(用含a的式子表示)；(3分) (2)若函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；(5分) (3)在(2)的条件下，若对(1，＋∞)内的任意实数x，不等式f＞4＋恒成立，求实数a的取值范围.(7分) 解：(1)由函数f(x)＝x2＋可得f(2)＝22＋＝4＋. (2)任取x1＞x2＞1，则f(x1)－f(x2)＝－＝(－)＋＝(x1－x2)·. 因为函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x1)－f(x2)＞0. 因为x1＞x2＞1，所以x1－x2＞0，x1x2＞0， 所以(x1＋x2)x1x2－a＞0，即a＜(x1＋x2)x1x2恒成立. 因为x1＞x2＞1，所以x1＋x2＞2，x1x2＞1，所以(x1＋x2)x1x2＞2，所以a≤2. 故实数a的取值范围为(－∞，2]. (3)由(1)可知f(2)＝4＋， 所以不等式f＞4＋可化为f＞f(2). 因为f(x)在(1，＋∞)上单调递增， 所以ex－＞2恒成立， 即a＜(ex)2－2ex在(1，＋∞)上恒成立. 记g(x)＝(ex)2－2ex，x∈(1，＋∞). 令t＝ex，则t＞e， 所以y＝t2－2t＝(t－1)2－1在(e，＋∞)上单调递增， 所以y＞e2－2e，所以a≤e2－2e. 故实数a的取值范围为(－∞，e2－2e]. 13.(5分)(新定义)(多选题)(2025·安徽蚌埠模拟)已知函数f(x)的定义域为D，若存在区间[m，n]⊆D，使得f(x)满足：(1)f(x)在[m，n]上是单调函数；(2)f(x)在[m，n]上的值域是[2m，2n]，则称区间[m，n]为函数f(x)的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有(　　) A.f(x)＝2x B.f(x)＝x2 C.f(x)＝ D.f(x)＝x＋ 答案：ABC 解析：根据题意，函数中存在“倍值区间”，则满足f(x)在[m，n]上是单调函数，其次有对于A，f(x)＝2x，在区间[m，n]上是增函数，其值域是[2m，2n]，则区间[m，n]为函数f(x)的“倍值区间”；对于B，f(x)＝x2，在区间[0，2]上是增函数，其值域为，则区间[0，2]是函数f(x)的“倍值区间”；对于C，f(x)＝，在区间上是减函数，其值域为[1，2]，则区间是函数f(x)的“倍值区间”；对于D，f(x)＝x＋，当x＞0时，f(x)在区间上单调递减，在区间[1，＋∞)上单调递增，若函数存在倍值区间[m，n]，则有解可得m＝n＝1，不符合题意，对于变形可得m2－2mn＋1＝0且n2－2mn＋1＝0，必有m＝n，不符合题意，故当x＞0时，f(x)不存在“倍值区间”；同理可得当x＜0时，f(x)不存在“倍值区间”，故f(x)在定义域内不存在“倍值区间”.故选ABC. 14.(17分)(新定义)(2025·广东韶关期末)设函数f(x)的定义域为D，对于区间I＝，若满足以下两条性质之一，则称I为f(x)的一个“Ω区间”. 性质1： 对任意x∈I，有f(x)∈I； 性质2： 对任意x∈I，有f(x)∉I. (1)分别判断区间[1，4]是否为下列两函数的“Ω区间”，并说明理由.(7分) ①y＝－x＋5，②y＝. (2)若[0，2]是函数y＝－x2＋2mx的“Ω区间”，求实数m的取值范围.(10分) 解：(1)对于①，由一次函数y＝－x＋5的性质，得它在[1，4]上单调递减， 所以当x∈[1，4]时，y∈[1，4]，故区间[1，4]是y＝－x＋5的“Ω区间”. 对于②，由反比例函数y＝的性质得它在[1，4]上单调递减， 所以当x∈[1，4]时，y∈，此时不满足y∈[1，4]，也不满足y∉[1，4]， 故区间[1，4]不是y＝的“Ω区间”. (2)由题意知[0，2]是函数y＝－x2＋2mx的“Ω区间”，f(0)＝0＋0＝0，所以f(x)＝－x2＋2mx满足性质1， ①若m≤0时，且x∈[0，2]，可知f(x)＝－x2＋2mx在x∈[0，2]上单调递减，所以⇒解之得m不存在，故舍去. ②若0＜m＜2时， f(x)在x∈上单调递增， 在x∈上单调递减，所以f(x)max＝f(m)， ⇒解之得1≤m≤. ③若m≥2时，f(x)在x∈[0，2]上单调递增， ⇒解之得m不存在，故舍去. 综上可知，若[0，2]是函数y＝－x2＋2mx的“Ω区间”，实数m的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $