课时测评6 一元二次不等式及其应用（word练习）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版）

课时测评6　一元二次不等式及其应用 (时间：60分钟　满分：88分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－8题，每小题5分，共40分) 1.不等式－x2＋3x＋10＞0的解集为(　　) A.(－2，5) B.(－∞，－2)∪(5，＋∞) C.(－5，2) D.(－∞，－5)∪(2，＋∞) 答案：A 解析：由－x2＋3x＋10＞0，得x2－3x－10＜0，解得－2＜x＜5，所以原不等式的解集为(－2，5).故选A. 2.(2025·广东湛江模拟)不等式≤x－2的解集为(　　) A.∪ B.∪ C. D.∪ 答案：B 解析：不等式≤x－2可化为－≤0，即有≤0，于是解得0≤x＜2或x≥4，所以原不等式的解集为∪.故选B. 3.(2025·浙江绍兴模拟)若关于x的不等式＞0的解集为，则(　　) A.m＝3，n＝2 B.m＝－3，n＝2 C.m＝3，n＝－2 D.m＝－3，n＝－2 答案：B 解析：由已知可得1，2为方程x2＋mx＋n＝0的根，由韦达定理可得故选B. 4.对任意的x∈(1，4)，不等式ax2－2x＋2＞0都成立，则实数a的取值范围是(　　) A.[1，＋∞) B. C. D. 答案：D 解析：因为对任意的x∈(1，4)，都有ax2－2x＋2＞0恒成立，所以a＞对任意的x∈(1，4)恒成立.设f(x)＝＝－＋＝－2＋，因为x∈(1，4)，所以＜＜1，所以当＝，即x＝2时，f(x)max＝，所以实数a的取值范围是.故选D. 5.(多选题)(2025·广东深圳模拟)下列说法正确的是(　　) A.不等式4x2－5x＋1＞0的解集是 B.不等式2x2－x－6≤0的解集是 C.若不等式ax2＋8ax＋21＜0恒成立，则a的取值范围是⌀ D.若关于x的不等式2x2＋px－3＜0的解集是，则p＋q的值为－ 答案：CD 解析：对于A，4x2－5x＋1＞0⇔＞0⇔x＜或x＞1，故A错误；对于B，2x2－x－6≤0⇔≤0⇔－≤x≤2，故B错误；若不等式ax2＋8ax＋21＜0恒成立，当a＝0时，21＜0不成立，所以只能而该不等式组无解，故C正确；对于D，由题意得q，1是一元二次方程2x2＋px－3＝0的两根，从而解得p＝1，q＝－，而当p＝1，q＝－时，一元二次不等式2x2＋x－3＜0⇔＜0⇔－＜x＜1，满足题意，所以p＋q的值为－，故D正确.故选CD. 6.(多选题)(2025·江苏南京期末)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x｜1＜x＜3}，则(　　) A.a＜0 B.a＋b＋c＝0 C.4a＋2b＋c＜0 D.不等式cx2－bx＋a＜0的解集是 答案：ABD 解析：由题意可知，1，3是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，且a＜0，⇒对于A，由以上可知a＜0，故A正确；对于B，当x＝1时，代入方程可得a＋b＋c＝0，故B正确；对于C，因为1＜2＜3，不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x｜1＜x＜3}，故将x＝2代入不等式左边为4a＋2b＋c＞0，故C错误；对于D，原不等式可变为3ax2＋4ax＋a＜0，且a＜0，可得3x2＋4x＋1＞0，解集为，故D正确.故选ABD. 7.已知函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则不等式＜0的解集是　　　　　　　　. 答案：∪ 解析：根据函数图象可知，方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为1和2，且a＞0，根据韦达定理，可知－＝3，＝2，即b＝－3a，c＝2a，代入(ax＋b)(bx＋c)＜0中可得(ax－3a)(－3ax＋2a)＜0，化简可得(x－3)(3x－2)＞0，解得x∈∪. 8.(2025·浙江杭州模拟)对任意x∈，不等式x2≥x＋1恒成立，则实数m的取值范围是　　　　. 答案：[5，＋∞) 解析：由题意m≥3＋＋＝＋对任意x∈恒成立，因为y＝＋上单调递减，所以m≥3＋1＋1＝5，即实数m的取值范围是[5，＋∞). 9.(13分)已知函数y＝x2－x＋1，a＞0. (1)比较a与的大小；(6分) (2)解关于x的不等式y≤0.(7分) 解：(1)因为a－＝＝， 且a＞0， 所以当0＜a＜1时，a＜；当a＞1时，a＞； 当a＝1时，a＝. (2)由题意，x2－x＋1≤0， 即(x－a)≤0， 当0＜a＜1时，有a＜，则不等式解集为； 当a＞1时，有a＞，则不等式解集为； 当a＝1时，有a＝，则不等式解集为. (10、11题，每小题5分，共10分) 10.(新定义)(2025·辽宁本溪期末)定义行列式＝ad－bc，若行列式＞，则实数a的取值范围为(　　) A. B.∪ C. D.∪ 答案：D 解析：因为＝ad－bc，由＞，得到4a2－2＞2a2－(4－5a)，整理得到2a2－5a＋2＞0，解得a＞2或a＜，故实数a的取值范围为∪(2，＋∞).故选D. 11.(多选题)(2025·安徽淮北期末)已知关于x的一元二次不等式ax2－2ax＋b＞0的解集为A＝{x｜m＜x＜n}(其中m＜n)，关于x的一元二次不等式ax2－2ax＋b＞－2的解集为B＝{x｜p＜x＜q}，则(　　) A.A∩B＝B B.⊆B C.m＋n＝p＋q D.当b＜－2时，＋的最小值为3 答案：BC 解析：因为关于x的一元二次不等式ax2－2ax＋b＞0的解集为A＝(其中m＜n)，所以二次函数y1＝ax2－2ax＋b与x轴有两个交点且a＜0，交点坐标分别为，，又关于x的一元二次不等式ax2－2ax＋b＞－2的解集为B＝，即二次函数y2＝ax2－2ax＋b＋2与x轴有两个交点且a＜0，交点坐标分别为，，又二次函数y2＝ax2－2ax＋b＋2的图象是由y1＝ax2－2ax＋b向上平移2个单位得到的，又y1＝ax2－2ax＋b开口向下，对称轴为x＝1，由于无法确定b的值，只能得到y1＝ax2－2ax＋b与y2＝ax2－2ax＋b＋2图象的大致情形如图所示(这里只列出其中一种)：所以p＜m＜1＜n＜q， 则A⊆B，所以A∩B＝A，A∪B＝B⊆B，故A错误，B正确；又m＋n＝2，p＋q＝2，所以m＋n＝p＋q，故C正确；因为p，q为关于x的方程ax2－2ax＋b＋2＝0的两根，所以p＋q＝2，pq＝， 又b＜－2，所以b＋2＜0，所以pq＝＞0，所以p＞0，q＞0，所以＋＝＋＝＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当＝，即p＝q＝1时取等号，显然p＜q，所以＋＞3，故D错误.故选BC. 12.(15分)(一题多问)已知f(x)＝ax2－3x－4. (1)若f(x)≥0对∀a∈[1，2]恒成立，求实数x的取值范围；(3分) (2)若f(x)≥0在x∈[1，2]上恒成立，求实数a的取值范围；(4分) (3)解关于x的不等式f(x)≥0.(8分) 解：(1)令g(a)＝ax2－3x－4，则有 即解得x≥4或x≤－1. 故x的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞). (2)f(x)≥0在x∈[1，2]上恒成立，即ax2－3x－4≥0在x∈[1，2]上恒成立， 所以a在x∈[1，2]上恒成立，等价于a，x∈[1，2]. 令y＝＝4＋3＝4－，∈. 由二次函数的性质知，当＝1，即x＝1时，ymax＝＝7，即a≥7， 故实数a的取值范围为[7，＋∞). (3)由题意可知f(x)＝ax2－3x－4≥0. 当a＝0时，－3x－4≥0，解得x≤－， 所以不等式的解集为. 当a≠0时，令Δ＝9＋16a＞0，得a＞－， 由ax2－3x－4＝0，解得x1＝， x2＝. 当a＞0时，x1＜x2，所以不等式的解集为； 当－＜a＜0时，x1＞x2，所以不等式的解集为. 当Δ＝9＋16a＝0，即a＝－时，x1＝x2＝－， 所以不等式的解集为. 当Δ＝9＋16a＜0，即a＜－时，原不等式的解集为⌀. 综上所述，当a＝0时，原不等式的解集为；当a＞0时，原不等式的解集为；当－＜a＜0时，原不等式的解集为；当a＝－时，原不等式的解集为；当a＜－时，原不等式的解集为⌀. (13、14题，每小题5分，共10分) 13.(新角度)下面给出了问题：“已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x｜－2＜x＜1}，解关于x的不等式ax2－bx＋c＞0.”的一种解法： 因为不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x｜－2＜x＜1}，又不等式ax2－bx＋c＞0可化为a(－x)2＋b(－x)＋c＞0，所以－2＜－x＜1，即－1＜x＜2.所以不等式ax2－bx＋c＞0的解集为{x｜－1＜x＜2}. 参考上述解法，解答问题： 若关于x的不等式＋＜0的解集为{x｜－2＜x＜－1，或1＜x＜3}. 则关于x的不等式＋＜0的解集为(　　) A.∪ B.(－1，1)∪(1，3) C.(－3，－1)∪(1，2) D.∪ 答案：A 解析：因为x＝0不是不等式＋＜0的解，所以不等式＋＜0等价于＋＜0，所以－2＜－＜－1或1＜－＜3，解得－1＜x＜－＜x＜1.故选A. 14.已知f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)＜0的解集是.若不等式组的正整数解只有一个，则实数k的取值范围是　　　　. 答案： 解析：因为不等式f(x)＜0的解集是(0，5)，所以0，5是一元二次方程2x2＋bx＋c＝0的两个实数根，可得所以f(x)＝2x2－10x；不等式组 即为 解得因为不等式组的正整数解只有一个，可得该正整数解就是6，可得6＜5－k≤7，解得－2≤k＜－1，所以实数k的取值范围是[－2，－1). 学科网（北京）股份有限公司 $