课时测评5 一元二次函数及其性质（word练习）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版）

课时测评5　一元二次函数及其性质 (时间：70分钟　满分：95分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－8题，每小题5分，共40分) 1.函数f(x)＝2x2－x－1 的值域是(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：f(x)＝2x2－x－1＝2－，对称轴为直线x＝，所以f＝－，又f(1)＝2－1－1＝0，f(－1)＝2＋1－1＝2，故f(x)＝2x2－x－1在－1≤x≤1上的值域为.故选D. 2.(2025·广东揭阳模拟)已知函数y＝x2＋x＋2在区间上单调递减，则实数m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：由于二次函数y＝x2＋(1＋m)x＋2的二次项系数为正数，对称轴为直线x＝－，所以－4，故m≤－9，因此，实数m的取值范围是.故选A. 3.关于函数y＝－x2＋2x，以下表述错误的是(　　) A.函数的最大值是1 B.函数图象的对称轴是直线x＝1 C.函数的单调递减区间是 D.函数图象过点 答案：C 解析：y＝－x2＋2x＝－＋1，最大值是1，故A正确；对称轴是直线x＝1，故B正确；单调递减区间是，故C错误；令x＝2得y＝－22＋2×2＝0，故在函数图象上，故D正确.故选C. 4.已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝f(4)＞f(1)，则(　　) A.a＞0，4a＋b＝0 B.a＜0，4a＋b＝0 C.a＞0，2a＋b＝0 D.a＜0，2a＋b＝0 答案：A 解析：由f(0)＝f(4)，得f(x)图象的对称轴为直线x＝－＝2，所以4a＋b＝0，又f(0)＝f(4)＞f(1)，所以f(x)的图象开口向上，a＞0.故选A. 5. (多选题)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，其对称轴是直线x＝－1，且过点，下列说法正确的是(　　) A.abc＜0 B.2a－b＝0 C.3a＋c＝0 D.，是抛物线上两点，y1＞y2 答案：ABC 解析：由图知该抛物线开口向上，故a＞0，因为对称轴是直线x＝－1，所以－＝－1，故b＝2a＞0，即2a－b＝0，故B正确；因为抛物线与y轴的交点在x轴下方，所以c＜0，所以abc＜0，故A正确；由抛物线对称性得该函数图象必过，可得a＋b＋c＝0，结合b＝2a，可得3a＋c＝0，故C正确；易知点，到对称轴距离相等，故y1＝y2，故D错误.故选ABC. 6.(多选题)已知函数f(x)＝x2－4x＋3在上的值域是，则b－a的取值可以是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：BCD 解析：易知二次函数f(x)＝x2－4x＋3的图象关于x＝2对称，且开口向上，所以在对称轴处取得最小值f(x)min＝f(2)＝－1，如图所示： 令f(x)＝x2－4x＋3＝3，解得x＝0或x＝4，若使f(x)＝x2－4x＋3在，则需满足a＝0，b∈或b＝4，a∈，因此可得b－a∈.所以b－a的取值可以是2，3，4.故选BCD. 7.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c满足以下条件：图象与x轴交于，两点，且过点，则函数解析式为　　　　　　　　. 答案：y＝x2－x－4 解析：因为二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交于，两点，所以设二次函数解析式为y＝a，又因为该函数过点，所以－＝a，解得a＝，所以所求函数解析式为y＝，即y＝x2－x－4. 8.(2025·辽宁大连模拟)命题p：存在m∈，使得函数f(x)＝x2－2mx在区间内单调，若p的否定为真命题，则实数a的取值范围是　　　　. 答案： 解析：命题p的否定：对任意m∈，函数f(x)＝x2－2mx在区间[a，＋∞)内不单调，由函数f(x)＝x2－2mx在上单调递减，在上单调递增，则a＜m，而m∈，得a＜－1，所以实数a的取值范围是(－∞，－1). 9.(13分)已知函数f(x)＝2x2＋ax＋b. (1)若f(x)＝f，且f(2)＝3，求a，b的值；(5分) (2)当a＝1时，若函数f(x)的值域和函数f(f(x))的值域相同，求实数b的取值范围.(8分) 解：(1)由函数f(x)＝2x2＋ax＋b， 因为f(x)＝f，且f(2)＝3， 可得 解得a＝－4，b＝3. (2)当a＝1时，函数f(x)＝2x2＋x＋b＝2＋b－∈， 令t＝f(x)，则f＝f＝2t2＋t＋b＝2＋b－，t∈， 因为函数f(x)的值域和函数f的值域相同，可得b－≤－，解得b≤－， 所以实数b的取值范围为. (10、11题，每小题5分，共10分) 10.(多选题)已知f(x)＝x2－2x＋a(a＞0)，若f(t)＜0，则(　　) A.f(t－2)＞0 B.f(t－1)＜0 C.f(2－t)＜0 D.f(4－t)＞f(2) 答案：ACD 解析：函数f(x)的图象关于x＝1对称，在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.由f(t)＜0，f(0)＝f(2)＝a＞0可得，存在x1∈(0，1)，x2∈(1，2)，使得f(x1)＝f＝0，其中t∈.对于A，t∈，则t－2＜0，所以f(t－2)＞f(0)＞0，故A正确；对于B，t∈，则t－1可能小于0，t－1也可能属于，故f(t－1)的符号不确定，故B错误；对于C，根据对称性可得f(2－t)＝f(t)＜0，故C正确；对于D，由于t∈，且x2∈(1，2)，所以4－t＞2，又f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以f＞f(2)，故D正确.故选ACD. 11.(开放题)请写出一个函数f(x)＝　　　　，使之同时具有如下性质： (1)函数f为偶函数；(2)f(x)的值域为[0，＋∞). 答案：(答案不唯一) 解析：根据题意，要求函数f为偶函数，则函数f(x)关于直线x＝2对称，而f(x)的值域为[0，＋∞)，f(x)可以为二次函数，如f(x)＝(答案不唯一). 12.(15分)(2025·江西南昌开学考)已知函数f(x)＝tx2＋x－3t＋1(t∈R). (1)若f(x)在上单调递增，求实数t的取值范围；(6分) (2)若t＞0，设函数f(x)在区间上的最大值为g，求g的表达式，并求出g的最小值.(9分) 解：(1)当t＝0时，f(x)＝x＋1，则f(x)在上单调递增，满足条件； 当t≠0时，f(x)＝tx2＋x－3t＋1的对称轴为x＝－，要使f(x)在上单调递增， 则解得－≤t＜0. 综上，若f(x)在上单调递增，则实数t的取值范围为. (2)当t＞0时，f(x)＝tx2＋x－3t＋1的对称轴为x＝－＜0，所以f(x)在上单调递减，在上单调递增； 当－＝＝－，即t＝时，f(x)max＝g(t)＝f(－2)＝f(－1)＝－2t； 当－＜－，即0＜t＜时，f(x)max＝g(t)＝f(－1)＝－2t； 当－＞－，即t＞时， f(x)max＝g(t)＝f(－2)＝t－1. 综上，g＝ 所以当t＝时，g(t)min＝g＝－. 13.(17分)定义：满足f(x)＝x的实数x称为函数f(x)的不动点，已知二次函数f(x)＝ax2＋bx，且f(x＋1)为偶函数，若函数f(x)有且仅有一个不动点. (1)求f(x)的解析式；(7分) (2)若函数g(x)＝f(x)＋＋x2，求函数g(x)在x∈[1，2]上的最小值.(10分) 解：(1)因为f(x)＝ax2＋bx，所以f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋(2a＋b)x＋a＋b. 因为f(x＋1)为偶函数， 所以－＝0，即2a＋b＝0. 又因为函数f(x)有且仅有一个不动点，则ax2＋bx＝x只有一个根， 所以Δ＝(b－1)2＝0，解得b＝1，又2a＋b＝0， 所以a＝－. 所以f(x)的解析式为f(x)＝－x2＋x. (2)g(x)＝－x2＋x＋＋x2＝x＋，x∈[1，2]，g'(x)＝1－＝， 当k≤1时，g'(x)≥0，g(x)在[1，2]上单调递增，g(x)min＝g(1)＝1＋k； 当1＜k＜4时，g(x)在[1，)上单调递减，在(，2]上单调递增，g(x)min＝g()＝2； 当k≥4时，g'(x)≤0，g(x)在[1，2]上单调递减，g(x)min＝g(2)＝2＋. 综上所述，当k≤1时，g(x)的最小值为1＋k；当1＜k＜4时，g(x)的最小值为2；当k≥4时，g(x)的最小值为2＋. 学科网（北京）股份有限公司 $