课时测评4 基本不等式（word练习）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版）

课时测评4　基本不等式 (时间：60分钟　满分：85分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－10题，每小题5分，共50分) 1.(2025·重庆模拟)若实数a，b满足ab＝2， 则a2＋2b2的最小值为(　　) A.2 B.2 C.4 D.4 答案：D 解析：a2＋2b2≥2＝2＝4，当且仅当a2＝2b2时，等号成立.故选D. 2.设实数x满足x＞0，则函数y＝2＋3x＋的最小值为(　　) A.4－1 B.4＋2 C.4＋1 D.6 答案：A 解析：因为x＞0，所以x＋1＞0，所以y＝2＋3x＋＝3(x＋1)＋－1≥2－1＝4－1，当且仅当3(x＋1)＝，即x＝－1时等号成立，所以函数y＝2＋3x＋的最小值为4－1.故选A. 3.(2025·浙江嘉兴模拟)若正数x，y满足x2－2xy＋2＝0，则x＋y的最小值是(　　) A. B. C.2 D.2 答案：A 解析：由x2－2xy＋2＝0可得y＝＋，所以x＋y＝x＋＋＝＋2＝，当且仅当＝，即x＝时，等号成立，此时y＝＞0符合题意.所以x＋y的最小值为.故选A. 4.(新定义)权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y＞0，则＋，当且仅当＝时，等号成立.根据权方和不等式，函数f(x)＝＋的最小值为(　　) A.16 B.25 C.36 D.49 答案：B 解析：因为a，b，x，y＞0，则＋，当且仅当＝时，等号成立，又0＜x＜，即1－2x＞0，于是得f(x)＝＋＝25，当且仅当＝，即x＝时，等号成立，所以函数f(x)＝＋的最小值为25.故选B. 5.(新角度)(2025·广东湛江模拟)当x＞0，y＞0时，.这个基本不等式可以推广为当x，y＞0时，λx＋μy≥xλyμ，其中λ＋μ＝1且λ＞0，μ＞0.考虑取等号的条件，进而可得当x≈y时，λx＋μy≈xλyμ.用这个式子估计可以这样操作：1×≈×10＋×9＝，则≈≈3.167.用这样的方法，可得的近似值为(　　) A.3.033 B.3.035 C.3.037 D.3.039 答案：C 解析：依题意，2×2≈×28＋×27＝，则≈≈3.037.故选C. 6.(2025·安徽蚌埠模拟)已知m＞0，n＞0，则下列选项中，能使m＋2n取得最小值18的为(　　) A.mn＝32 B.m＋8n＝mn C.m2＋8n＝68 D.m2＋4n2＝162 答案：B 解析：对于A，由m＞0，n＞0可知，m＋2n≥2＝16，当且仅当m＝2n时等号成立，最小值不是18，故A不正确；对于B，若m＋8n＝mn，两边除以mn得，＋＝1，则m＋2n＝(m＋2n)＝10＋＋10＋2＝18，当且仅当＝，即m＝12，n＝3时等号成立，故m＋2n的最小值是18，故B正确；对于C，由m2＋8n＝68，得n＝－m2＋，故m＋2n＝m＋2＝－m2＋m＋17，可知：当m＝2时，m＋2n的最大值为18，故C不正确；对于D，m2＋4n2＝162，则当m＝3，n＝6时，m＋2n＝12＋3＜18，故m＋2n的最小值不是18，故D不正确.故选B. 7.(多选题)(2024·河北石家庄期末)已知a＞0，b＞0，a≠b，且a＋b＝2，则(　　) A.＋＞2 B.＋＞2 C.2a＋2b＞4 D.log2a＋log2b＞2 答案：ABC 解析：对于A，因为a＋b＝2，所以＋＝＝，又因为a＞0，b＞0，且a≠b，所以2＝a＋b＞2，即＜1，ab＜1，所以＞1，则＞2，即＋＞2成立，故A正确；对于B，由a＋b＝2取平方得，a2＋2ab＋b2＝4，则＋＝＝＝2，当且仅当a＝b＝1时等号成立，因为a≠b，故得＋＞2，故B正确；对于C，2a＋2b≥2＝2＝4，当且仅当a＝b＝1时等号成立，因为a≠b，则2a＋2b＞4，故C正确；对于D，由2＝a＋b≥2可得ab≤1，当且仅当a＝b＝1时等号成立，因a≠b，则有ab＜1，所以log2a＋log2b＝log2(ab)＜0，故D错误.故选ABC. 8.(多选题)(2024·陕西西安模拟预测)下列说法正确的是(　　) A.若正实数a，b满足a＋b＝1，则＋有最小值4 B.若正实数a，b满足a＋2b＝1，则2a＋4b≥2 C.y＝＋的最小值为2 D.若0＜x＜1，则＋的最小值是3＋2 答案：ABD 解析：对于A，若正实数a，b满足a＋b＝1，则＋＝＝2＋＋2＋2＝2＋2＝4，当且仅当a＝b＝时，等号成立，从而＋的最小值是4，故A正确；对于B，若正实数a，b满足a＋2b＝1，则2a＋4b＝2a＋22b≥2＝2＝2，当且仅当a＝2b时等号成立，故B正确；对于C，设＝t∈[，＋∞)，则y＝t＋(t)，由对勾函数单调性得最小值是＋＝，故C不正确；对于D，因为0＜x＜1，所以1－x＞0，则＋＝·＝3＋＋3＋2，当且仅当＝，即x＝－1时，等号成立，故最小值为3＋2，故D正确.故选ABD. 9.(2025·河南驻马店模拟)已知正数x与2y的算术平均值为，则与的算术平均值的最小值为　　　　. 答案： 解析：由已知＝，即x＋2y＝1，所以＝(x＋2y)＝，当且仅当＝，即x＝y＝时取等号. 10.(新情境) (2025·江西九江期末)在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例，其中“弦”指的是直角三角形的斜边.现将两个全等的直角三角形拼接成一个矩形，若其中一个三角形“弦”的长度为2，则该矩形周长的最大值为　　　　. 答案：8 解析：法一：设矩形的一组邻边长为a，b，则该矩形的周长为2(a＋b)，且a2＋b2＝8，而a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－2＝(a＋b)2，即a＋b≤＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，所以2(a＋b)≤8，即该矩形周长的最大值为8. 法二：设矩形的一组邻边长为a，b，则该矩形的周长为2(a＋b)，且a2＋b2＝8，由基本不等式得＝＝2，当且仅当a＝b＝2时取等号，所以a＋b≤4，所以2(a＋b)≤8，即该矩形周长的最大值为8. (11、12题，每小题5分，共10分) 11.(2025·广东韶关模拟)在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W(单位：平方米)的计算公式是W＝×，在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10 000平方米，每平方米收费1元，请估算平整完这块场地所需的最少费用(单位：元)是(　　) A.10 000 B.10 480 C.10 816 D.10 818 答案：C 解析：设矩形场地的长为x米，则宽为米，W＝(x＋4)＝4x＋＋10 016≥2＋10 016＝10 816，当且仅当4x＝，即x＝100时，等号成立.所以平整完这块场地所需的最少费用为1×10 816＝10 816元.故选C. 12.若x＞0，y＞0，且x＋2y＝1，则＋的最小值为　　　　. 答案： 解析：令m＝x＋1，n＝y＋2，则x＝m－1，y＝n－2，则x＋2y＝m－1＋2(n－2)＝1，即m＋2n＝6，则＋＝＋＝m＋2n＋＋－10＝＋－4＝(m＋2n)－4＝－4－4＝，当且仅当＝，即m＝，n＝时等号成立，故＋. 13.(15分)(一题多问)已知a＞0，b＞0，2a＋b＝2. (1)求＋的最小值；(5分) (2)求＋的最小值；(5分) (3)求4a2＋6ab＋b2的最大值.(5分) 解：(1)法一：＋＝＋＝＋＝＋＋2＋＝，当且仅当＝，即a＝b＝时取等号，所以＝. 法二：＋＝＋＝＋－2＝(2a＋b)－2＝－2－2＝，当且仅当＝，即a＝b＝时取等号，所以＝. (2)因为2a＋b＝2，所以2a＋(b＋1)＝3，所以＋＝[2a＋(b＋1)]＝(4＋2)＝，当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号，所以＝. (3)由2＝2a＋b≥2得2ab≤1，所以4a2＋6ab＋b2＝(2a＋b)2＋2ab＝4＋2ab≤5，当且仅当2a＝b，即b＝2a＝1时取等号，所以(4a2＋6ab＋b2)max＝5. (14、15题，每小题5分，共10分) 14.(2025·江苏苏州模拟)已知a＞0，b＞0且a＋b＝1，则＋和＋＋的最小值之和为　　　　. 答案：23 解析：要使＋有最小值，则需a＞0，b＞0，故a＋b＝1，＋＝＋＝1＋＋1＋2＝5，当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号；＋＋＝＋＝＋＝2＋＋8＋＝10＋＋10＋2＝18，当且仅当＝，即时取等号，所以＋＋＋的最小值之和为5＋18＝23. 15.(2025·河南南阳模拟)出入相补是指一个平面(或立体)图形被分割成若干部分后面积(或体积)的总和保持不变，我国汉代数学家构造弦图，利用出入相补原理证明了勾股定理，我国清代的梅文鼎、李锐、华蘅芳、何梦瑶等都通过出入相补原理创造了不同的面积证法证明了勾股定理.在下面两个图中，若AC＝b，BC＝a，AB＝c，图中两个阴影三角形的周长分别为l1，l2，则的最小值为　　　　. 答案：1＋ 解析：如图①所示，易知△BDE∽△ACB，且BD＝CD－BC＝b－a， 所以＝＝，所以l1＝×；如图②所示，易知△GFH∽△ACB，且FG＝a，所以＝＝，所以l2＝×，所以＝＝1＋＝1＋＝1＋，又因为a2＋b2≥2ab，所以≤1，当且仅当a＝b时取等号，所以1＋＝1＋，所以最小值为1＋. 学科网（北京）股份有限公司 $