课时测评2 常用逻辑用语（word练习）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版）

课时测评2　常用逻辑用语 (时间：60分钟　满分：90分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－10题，每小题5分，共50分) 1.(2025·山东青岛模拟)已知命题 p：∀x∈，sin x＜x，则¬p为(　　) A.∃x∉，sin x＞x B.∃x∈，sin x＞x C.∃x∉，sin x≥x D.∃x∈，sin x≥x 答案：D 解析：命题 p：∀x∈，sin x＜x为全称量词命题，则¬p为∃x∈，sin x≥x.故选D. 2. 已知A＝{x｜1＜x＜2}，B＝{x｜x＜a}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则a的取值范围是(　　) A.a≤1 B.a≥1 C.a≤2 D.a≥2 答案：D 解析：因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以A⫋B，所以a≥2.故选D. 3.(2025·广东梅州模拟)常言道：“不经历风雨，怎么见彩虹”.就此话而言，“经历风雨”是“见彩虹”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：B 解析：由题意，经历风雨不一定会见彩虹，但见彩虹一定是经历风雨，所以“经历风雨”是“见彩虹”的必要不充分条件.故选B. 4.(2025·江西南昌模拟)已知a，b为实数，则使得“a＞b＞0”成立的一个必要不充分条件为(　　) A.＞ B.ln(a＋1)＞ln(b＋1) C.a3＞b3＞0 D.＞ 答案：B 解析：对于A，＞，不能推出a＞b＞0，如＞，反之a＞b＞0，则有＜，故A错误；对于B，由ln＞ln，得a＋1＞b＋1＞0，即a＞b＞－1，不能推出a＞b＞0，反之a＞b＞0，则a＞b＞－1，故B正确；对于C，a3＞b3＞0⇔a＞b＞0，a3＞b3＞0是a＞b＞0的充分必要条件，故C错误；对于D，由＞，得a＞b≥1＞0，反之a＞b＞0不能推出a＞b≥1，故D错误.故选B. 5.(2025·陕西西安模拟)设函数f(x)＝ax2－2ax，命题“∃x∈，f(x)≤－2a＋3”是假命题，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：因为命题“∃x∈，f(x)≤－2a＋3”是假命题，所以∀x∈，f(x)＞－2a＋3恒成立，则ax2－2ax＋2a－3＞0对∀x∈恒成立，显然a≠0；令h(x)＝ax2－2ax＋2a－3，则二次函数的对称轴为直线x＝1，要使得∀x∈，h(x)＞0恒成立，则解得a＞，所以实数a的取值范围是.故选A. 6.(多选题)下列命题中错误的有(　　) A.存在整数x，y，使得2x＋4y＝3 B.∃a∈R，一元二次方程x2＋ax－1＝0无实数根 C.∀x∈N，≠1 D.∃n∈N＋，2n2＋5n＋2能被2整除 答案：ABC 解析：对于A，由x，y∈Z，得2x＋4y为偶数，而3是奇数，显然等式2x＋4y＝3不成立，故A错误；对于B，对于一切实数a，方程x2＋ax－1＝0中Δ＝a2＋4＞0，此方程必有实数根，故B错误；对于C，当x＝0时，＝1，故C错误；对于D，2n2＋5n＋2＝(2n＋1)(n＋2)，n∈N＋，2n＋1是正奇数，当n为正偶数时，n＋2是正偶数，此时2n2＋5n＋2能被2整除，故D正确.故选ABC. 7.(多选题)(2025·山东泰安期末)下列叙述中不正确的是(　　) A.若a，b，c∈R，则“不等式ax2＋bx＋c≥0恒成立”的充要条件是“b2－4ac≤0” B.若a，b∈R，则“a＋b＞1”是“｜a｜＋｜b｜＞1”的充要条件 C.“a＜1”是“方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 D.“a＞1”是“＜1”的充分不必要条件 答案：AB 解析：对于A，当a＜0时，若b2－4ac≤0，则ax2＋bx＋c≤0恒成立，故A错误；对于B，当a＝b＝－1时，｜a｜＋｜b｜＞1，但a＋b＜1，故B错误；对于C，当方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根时，有解得a＜0，因为a＜0能推出a＜1，而a＜1不一定有a＜0，所以“a＜1”是“方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，故C正确；对于D，由＜1，得＜0，得a＜0或a＞1，所以“a＞1”是“＜1”的充分不必要条件，故D正确.故选AB. 8.(多选题)已知关于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0，下列说法正确的是(　　) A.当m＝3时，方程的两个实数根之和为0 B.方程无实数根的一个必要条件是m＞1 C.方程有两个正根的充要条件是0＜m≤1 D.方程有一个正根和一个负根的充要条件是m＜0 答案：BCD 解析：对于A，当m＝3时，方程为x2＋3＝0，方程没有实数根，故A错误；对于B，如果方程没有实数根，则Δ＝(m－3)2－4m＝m2－10m＋9＜0，所以1＜m＜9，m＞1是1＜m＜9的必要条件，故B正确；对于C，因为方程有两个正根，所以所以0＜m≤1，所以方程有两个正根的充要条件是0＜m≤1，故C正确；对于D，如果方程有一个正根和一个负根，则所以m＜0，所以方程有一个正根和一个负根的充要条件是m＜0，故D正确.故选BCD. 9.(开放题)命题p：在△ABC中，若cos A＝sin B，则△ABC是直角三角形.能说明命题p为假命题的一组角为A＝　　　　，B＝　　　　. 答案：(答案不唯一)　(答案不唯一) 解析：设cos A＝sin B＝＞0，因为A，B∈，所以A＝，B＝或B＝＞，若A＝，B＝，显然C＝，所以能说明命题p为假命题的一组角为A＝，B＝(答案不唯一). 10.已知函数g(x)＝ax＋2(a＞0)，f(x)＝x2－2x，若对∀x1∈[－1，2]，∃x0∈[－1，2]，使得g(x1)＝f(x0)成立，则实数a的取值范围是　　　　. 答案： 解析：由函数f(x)＝x2－2x的图象是开口向上的抛物线，且关于x＝1对称，所以x0∈[－1，2]时，函数f(x)的最小值为f(1)＝－1，最大值为f(－1)＝3，可得f(x0)的值域为[－1，3].又因为g(x)＝ax＋2(a＞0)，x1∈[－1，2]，所以g(x)为增函数，g(x1)的值域为[2－a，2a＋2].因为对∀x1∈[－1，2]，∃x0∈[－1，2]，使g(x1)＝f(x0)成立，所以[2－a，2a＋2]⊆[－1，3]，即解得0＜a≤，所以实数a的取值范围是. (11－13题，每小题5分，共15分) 11.(多选题)(2025·河南南阳模拟)已知命题p：∀x∈R，x2－2x－3＞0，命题q：∃x∈N，ln＜0，则(　　) A. ¬p和q都是真命题 B.p和q都是假命题 C.p和¬q都是假命题 D. ¬p和¬q都是真命题 答案：BD 解析：x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)＞0，解得x＜－1或x＞3，即命题p为假命题.ln(x－4)＜0＝ln 1，0＜x－4＜1，即4＜x＜5，但x∈N，即不存在这样的x，即命题q为假命题，则¬p和¬q都是真命题.故选BD. 12.(多选题)下列命题正确的是(　　) A.命题“∀x＞1，x2－x＞0”的否定是“∃x0≤1，－x0≤0” B.如果A是B的必要不充分条件，B是C的充分必要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的必要不充分条件 C.函数f(x)＝ax2＋x＋1的图象恒在g(x)＝x2＋ax的图象上方，则实数a的范围是(1，5) D.已知a1，b1，c1，a2，b2，c2均不为零，不等式a1x2＋b1x＋c1＞0和a2x2＋b2x＋c2＞0的解集分别为M和N，则“＝＝”是“M＝N”成立的既不充分也不必要条件 答案：BD 解析：对于A，命题“∀x＞1，x2－x＞0”的否定是“∃x0＞1，－x0≤0”，故A错误；对于B，由A是B的必要不充分条件，B是C的充分必要条件，可得A是C的必要不充分条件，由D是C的充分不必要条件，则A是D的必要不充分条件，故B正确；对于C，由题意可得f(x)－g(x)＝ax2＋x＋1－x2－ax＞0恒成立，即(a－1)x2＋(1－a)x＋1＞0恒成立，则当a＝1时，有1＞0恒成立，符合要求；当a＞1时，Δ＝(1－a)2－4(a－1)＝(a－1)(a－5)＜0，解得a∈(1，5)；当a＜1时，(a－1)x2＋(1－a)x＋1＞0不恒成立，故舍去，综上所述，a的范围是，故C错误；对于D，若“＝＝＜0”，则“M＝N”不成立，若“M＝N＝⌀”，则“＝＝”不恒成立，故“＝＝”是“M＝N”成立的既不充分也不必要条件，故D正确.故选BD. 13.(2025·江苏苏州模拟)已知p：｜x－1｜≤2，q：x2－2x＋1－a2≥0(a＞0)，若p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是　　　　. 答案：(0，2] 解析：因为｜x－1｜≤2，所以－1≤x≤3，即p：－1≤x≤3.因为x2－2x＋1－a2≥0(a＞0)，所以x≤1－a或x≥1＋a，所以¬q：1－a＜x＜1＋a.因为p是¬q的必要不充分条件，所以解得0＜a≤2，所以实数a的取值范围是(0，2]. 14.(15分)设命题p：对任意x∈[1，4]，不等式x2－4x＋2≥m2－3m恒成立；命题q：存在x∈，使得不等式x2－x＋m－0成立. (1)若p为真命题，求实数m的取值范围；(6分) (2)若命题p，q中有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围.(9分) 解：(1)对任意x∈[1，4]，不等式x2－4x＋2≥m2－3m恒成立，即(x2－4x＋2)min≥m2－3m. 又x2－4x＋2＝(x－2)2－2，当x＝2时，x2－4x＋2取到最小值－2， 所以－2≥m2－3m，所以1≤m≤2， 所以p为真命题时，实数m的取值范围是[1，2]. (2)命题q：存在x∈，使得不等式x2－x＋m－0成立，只需x∈时，0， 而x2－x＋m－＝＋m－，所以当x＝0时，x2－x＋m－取到最大值m－， 所以m－0，m，即命题q为真命题时，实数m的取值范围是. 依题意，命题p，q一真一假， 若p为假命题，q为真命题，则 得m＞2； 若q为假命题，p为真命题，则 得1≤m＜. 综上，实数m的取值范围是. (15、16题，每小题5分，共10分) 15.(2024·福建泉州模拟)函数y＝cos x在的最大值为m，在的最大值为n，则以下命题为假命题的是(　　) A.∃t＞0，m＜0且n＜0 B.∃t＞0，m＞0且n＞0 C.∃t＞0，m＞0且n＜0 D.∃t＞0，m＜0且n＞0 答案：A 解析：对于A，若m＜0，n＜0，则0＜t＜π，得[t，2t]⊆[0，2π]，所以[t，2t]⊆，故＜t＜　①，所以π＜2t＜，＜3t＜，得[2t，3t]⊆，又[2t，3t]⊆，所以＜t＜　②，①与②矛盾，故A为假命题；对于B，当t＝时，函数y＝cos x在，在，此时m＝，n＝，故∃t＞0，m＞0且n＞0，故B为真命题；对于C，当t＝时，函数y＝cos x在，在上的最大值为－，此时m＝，n＝－，故∃t＞0，m＞0且n＜0，故C为真命题；对于D，当t＝时，函数y＝cos x在上的最大值为－，在上的最大值为1，此时m＝－，n＝1，故∃t＞0，m＜0且n＞0，故D为真命题.故选A. 16.(多选题)(2025·辽宁大连模拟)已知max表示x1，x2，…，xn这n个数中最大的数.能说明命题“∀a，b，c，d∈R，max＋maxmax”是假命题的对应的一组整数a，b，c，d值的选项有(　　) A.1，2，3，4 B.－3，－1，7，5 C.8，－1，－2，－3 D.5，3，0，－1 答案：BC 解析：对于A、D，从其中任取两个数作为一组，剩下的两数作为另一组，由于这两组数中的最大的数都不是负数，其中一组中的最大数即为这四个数中的最大值，故都能使得命题“∀a，b，c，d∈R，max{a，b}＋max{c，d}≥max{a，b，c，d}”成立；对于B，当max{a，b}＝max{－3，－1}＝－1，max{7，5}＝7时，而max{－3，－1，7，5}＝7，此时－1＋7＜7，即命题“∀a，b，c，d∈R，max{a，b}＋max{c，d}≥max{a，b，c，d}”是假命题；对于C，当max{a，b}＝max{8，－1}＝8，max{－2，－3}＝－2时，而max{8，－1，－2，－3}＝8，此时－2＋8＜8，即命题“∀a，b，c，d∈R，max{a，b}＋max{c，d}≥max{a，b，c，d}”是假命题.故选BC. 学生用书⬇第7页 学科网（北京）股份有限公司 $