第三章 2 教材拓展 6 两条曲线的公切线问题（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版）

该高中数学讲义聚焦高考导数几何意义及公切线问题核心考点，按共切点和不共切点两类题型构建知识体系，通过考点梳理明确求解步骤，方法指导提炼方程思想，真题讲解（如新课标Ⅰ卷）示范解题规范，分层训练（对点练）巩固技巧，帮助学生系统突破难点。 讲义采用问题驱动教学法，以“设切点列方程”为主线，共切点问题引导学生抽象“函数值与导数值双相等”条件，培养数学思维，不共切点问题转化为函数零点问题提升推理能力。分层练习匹配学情，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生应考能力。

　两条曲线的公切线问题 1.求两条曲线的公切线，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法. 2.公切线条数的判断问题可转化为方程根的个数问题求解. 题型一　共切点的公切线问题 已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝x2－m，g(x)＝6ln x－4x，设两曲线y＝f(x)与y＝g(x)在公共点处的切线相同，则m等于(　　) A.－3 B.1 C.3 D.5 答案：D 解析：依题意，设曲线y＝f(x)与y＝g(x)在公共点(x0，y0)处的切线相同.因为f(x)＝x2－m，g(x)＝6ln x－4x，所以f'(x)＝2x，g'(x)＝－4，所以因为x0＞0，所以x0＝1，m＝5.故选D. 　　当y＝f(x)与y＝g(x)相切于同一点，设切点为P，则有从而确定参数的取值. 对点练1.(1)(2025·浙江杭州模拟)已知函数f(x)＝ax2与g(x)＝ln x的图象在公共点处有共同的切线，则实数a的值为　　　　. (2)若曲线C1：f(x)＝x2＋a和曲线C2：g(x)＝4ln x－2x存在有公共切点的公切线，则a＝　　　　. 答案：(1)　(2)－3 解析：(1)设公共点为P(x0，y0)(x0＞0)，则a＝ln x0.由f(x)＝ax2，得f'(x)＝2ax，由g(x)＝ln x，得g'(x)＝.因为函数f(x)与g(x)的图象在公共点P(x0，y0)处有共同的切线，所以f'(x0)＝g'(x0)，即2ax0＝，得a＝，所以·＝ln x0，即ln x0＝，得x0＝，所以a＝＝＝. (2)f(x)＝x2＋a，g(x)＝4ln x－2x，则有f'(x)＝2x，g'(x)＝－2.设公共切点的坐标为(x0，y0)，则f'(x0)＝2x0，g'(x0)＝－2，f(x0)＝＋a，g(x0)＝4ln x0－2x0.根据题意，有 题型二　不共切点的公切线问题 (1)(2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln(x＋1)＋a的切线，则a＝　　　　. (2)(2025·广东茂名模拟)曲线y＝ln x与曲线y＝x2＋2ax有公切线，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案：(1)ln 2　(2)B 解析：(1)由题，令f(x)＝ex＋x，则f'(x)＝ex＋1，所以f'＝2，所以曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线方程为y＝2x＋1.令g(x)＝ln(x＋1)＋a，则g'(x)＝，设直线y＝2x＋1与曲线y＝g(x)相切于点(x0，y0)，则＝2，得x0＝－，则y0＝2x0＋1＝0，所以0＝ln＋a，所以a＝ln 2. (2)设y＝ln x，y＝x2＋2ax图象上的切点分别为，，则过这两点处的切线方程分别为y＝＋ln x1－1，y＝x－，则＝2x2＋2a，ln x1－1＝－，所以2a＝－2x2，设f(x)＝－2x，f'(x)＝2(x－1)，f'(1)＝0，令g(x)＝f'(x)＝2，所以g'(x)＝2＞0，所以g(x)在R上单调递增，且f'(1)＝0，则f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以2a≥f(1)＝－1，a≥－.故选B. 　　若函数y＝f(x)与y＝g(x)的公切线的切点不同，先设y＝f(x)上的切点A(x1，f(x1))，得到切线方程y－f(x1)＝f'(x1)(x－x1)；再设y＝g(x)上的切点B(x2，g(x2))，得到切线方程y－g(x2)＝g'(x2)(x－x2)，因为切线是同一条直线，故得到两个等式f'(x1)＝g'(x2)，f(x1)－x1f'(x1)＝g(x2)－x2g'(x2). 对点练2.(1)已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝ex2，若直线l是曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的公切线，则l的方程为(　　) A.ex－y＝0 B.ex－y－e＝0 C.x－y＝0 D.x－y－1＝0 (2)(2025·福建泉州模拟)若曲线y＝x2与y＝tex恰有两条公切线，则实数t的取值范围为(　　) A. B. C.∪ D.∪ 答案：(1)B　(2)A 解析：(1)设l：y＝kx＋m与曲线y＝f(x)相切于点A，与y＝g(x)相切于点B，由f'(x)＝ex－1，可得l的斜率k＝，所以x0＋m＝①，又由g'(x)＝ex，可得k＝ex1，所以ex1x1＋m＝，即m＝－②，又因为＝ex1③，将②③代入①中，可得ex1x0－＝x1，由③易知，x1＞0，则x0－1＝x1④，将④代入③，可得＝x1，则x1－1－ln＝0，令h(x)＝x－1－ln x，则h'(x)＝，当0＜x＜1时，h'(x)＜0，h(x)单调递减；当x＞1时，h'(x)＞0，h(x)单调递增.所以h(x)≥h(1)＝0，当且仅当x＝1时取等号，故x1＝1，可得x1＝2，所以m＝－×22＝－e，k＝×2＝e，所以l的方程为y＝e(x－1)，即ex－y－e＝0.故选B. (2)设曲线y＝tex的切点为M，y＝x2的切点为N，则曲线y＝tex在点M处的切线方程为y－tem＝tem，即y＝tem(x－m)＋tem，同理，y＝x2在点N处的切线方程为y＝2nx－n2，根据y＝tex与y＝x2有两条公切线，则所以tem－mtem＝－，化简可得t＝，转化为t＝有两个解，构造函数f(x)＝，则f'(x)＝，当x＜2，f'(x)＞0，f(x)单调递增；当x＞2，f'(x)＜0，f(x)单调递减，故f(x)在x＝2时有极大值即为最大值，故f(2)＝，当x→－∞时，f(x)→－∞，当x→＋∞时，f(x)→0，故实数t的取值范围为.故选A. 学生用书⬇第64页 学科网（北京）股份有限公司 $