第二章 12 培优课2 指、对、幂的大小比较（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版）

该高中数学讲义聚焦指数、对数及幂的大小比较这一高考热点，按直接法、运算化简、构造函数法三大题型系统梳理，通过考点分类、方法归纳、真题精讲（如2024天津卷、北京卷实例）等环节，帮助学生构建解题框架，突破比较大小的难点。 讲义突出方法创新，如特殊值法取a=4,b=2,c=1/2直观验证，构造函数法通过f(x)=2^x+log2x单调性推理，培养学生数学思维与抽象能力。设置分层对点练，配合真题深度解析，确保短时间内强化解题技能，为教师精准复习和学生应考能力提升提供有力支持。

培优课2　指、对、幂的大小比较 　　指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，其中指数、对数及幂的大小比较是近几年的高考热点和难点，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式出现. 题型一　直接法比较大小 角度1　利用函数的单调性法比较大小 (1)(2024·天津卷)若a＝4.2－0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a＞b＞c B.b＞a＞c C.c＞a＞b D.b＞c＞a (2)(2024·北京卷)已知(x1，y1)，(x2，y2)是函数y＝2x的图象上两个不同的点，则(　　) A.log2＜ B.log2＞ C.log2＜x1＋x2 D.log2＞x1＋x2 答案：(1)B　(2)B 解析：(1)由函数y＝4.2x单调递增可知，0＜a＜1＜b，又c＝log4.20.2＜0，故b＞a＞c，故选B. (2)因为(x1，y1)，(x2，y2)为函数y＝2x的图象上两个不同的点，所以y1＝，y2＝，且x1≠x2，则≠，所以y1＋y2＝＋＞2＝2，所以＞＞0，所以log2＞log2＝.故选B. 角度2　利用中间值法比较大小 (1)(2025·河南郑州模拟)已知a＝log511，b＝log2，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a＜c＜b B.b＜c＜a C.c＜a＜b D.a＜b＜c (2)(2025·天津南开二模)已知a＝20.2，b＝1－2lg 2，c＝2－log310，则a，b，c的大小关系是(　　) A.b＞c＞a B.a＞b＞c C.a＞c＞b D.b＞a＞c 答案：(1)D　(2)B 解析：(1)由对数函数的运算性质，可得a＝log511＝log5＜log5＝，b＝log2＝log28＝，c＝＞＝，所以a＜b＜c.故选D. (2)由题意可得a＝20.2＞20＝1，b＝1－2lg 2＝1－lg 4，且0＜lg 4＜1，则0＜b＜1，因为log310＞log39＝2，则c＝2－log310＜0，所以a＞b＞c.故选B. 角度3　利用特殊值法比较大小 已知a＞b＞1，0＜c＜，则下列结论正确的是(　　) A.ac＜bc B.abc＜bac C.alogbc＜blogac D.logac＜logbc 答案：C 解析：取特殊值，令a＝4，b＝2，c＝，则ac＝，bc＝，所以ac＞bc，故A错误；abc＝4×＝，bac＝2×＝，所以abc＞bac，故B错误；logac＝log4＝－1，logbc＝log2＝－2，alogbc＝－8，blogac＝－2，所以alogbc＜blogac，logac＞logbc，故C正确，D错误.故选C. 学生用书⬇第48页 　　在指数、对数中通常可优先选择“－1，0，，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计. 对点练1.(1)已知a＝1.60.3，b＝1.60.8，c＝0.70.8，则(　　) A.c＜a＜b B.a＜b＜c C.b＞c＞a D.a＞b＞c (2)设a＝log23，b＝log35，c＝log58，则(　　) A.b＜a＜c B.c＜b＜a C.a＜c＜b D.c＜a＜b 答案：(1)A　(2)B 解析：(1)因为y＝1.6x在R上单调递增，所以a＝1.60.3＜b＝1.60.8，而1.60.3＞1＞c＝0.70.8，故c＜a＜b.故选A. (2)因为2log23＝log29＞log28＝3，所以log23＞，又因为2log35＝log325＜log327＝3，所以log35＜，故a＞b.因为3log35＝log3125＞log381＝4，所以log35＞，又因为3log58＝log5512＜log5625＝4，所以log58＜，故b＞c.综上，c＜b＜a.故选B. 题型二　利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小 (1)(2025·陕西渭南模拟)已知定义域为R的函数f(x)为偶函数，且f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，则下列选项正确的是(　　) A.f＜f＜f B.f＜f＜f C.f＜f＜f D.f＜f＜f (2)(2025·河南郑州模拟)已知a＝log63，b＝log84，c＝lg 5，则(　　) A.b＜a＜c B.c＜b＜a C.a＜c＜b D.a＜b＜c 答案：(1)A　(2)D 解析：(1)因为f(x)是定义在R上的偶函数，lo4＝－log34，所以f＝f＝f.因为ln 3·ln 5＜＝＜＝ln24，所以＞，即log34＞log45，又＝log3＝log3＞log3＝log34，所以＞log34＞log45，又f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，所以f＜f＜f，即f＜f＜f.故选A. (2)由题意得，a＝log63＝log6＝1－log62＝1－，b＝log84＝log8＝1－log82＝1－，c＝lg 5＝lg＝1－lg 2＝1－，因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以0＜log26＜log28＜log210，则＞＞，所以a＜b＜c.故选D. 　　如果两个指数或对数的底数相同，则可通过指数或真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数的大小关系，要熟练运用指数、对数公式及性质，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况. 对点练2.设a＝log62，b＝log123，c＝log405，则(　　) A.a＜b＜c B.b＜a＜c C.c＜a＜b D.a＜c＜b 答案：D 解析：因为＝log312＝1＋log34＝1＋，＝log540＝1＋log58＝1＋，所以－＝－＝＝＝＜0，所以＜，又b＞0，c＞0，所以b＞c；因为＝1＋log58＜1＋log5＝1＋log5＝，所以c＞，因为＝log26＝1＋log23＞1＋log2＝1＋log2＝，所以a＜，所以a＜c.综上，a＜c＜b.故选D. 题型三　构造函数法比较大小 (1)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则(　　) A.a＞2b B.a＜2b C.a＞b2 D.a＜b2 (2)设x，y，z为正实数，且log2x＝log3y＝log5z＞1，则，，的大小关系是(　　) A.＜＜ B.＜＜ C.＜＜ D.＝＝ 答案：(1)B　(2)B 解析：(1)因为2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b＜22b＋log22b＝22b＋log2b＋1，所以2a＋log2a＜22b＋log22b，令f(x)＝2x＋log2x，由指、对数函数的单调性可得f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(a)＜f(2b)⇒a＜2b.故选B. (2)由x，y，z为正实数，设log2x＝log3y＝log5z＝k＞1，可得x＝2k＞2，y＝3k＞3，z＝5k＞5.所以＝2k－1＞1，＝3k－1＞1，＝5k－1＞1，令f(x)＝，因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(2)＜f(3)＜f(5)，即＜＜.故选B. 1.同形构造：根据结构构造统一函数，根据单调性来比较数的大小. 2.不同形构造：可以两两做差构造新函数，再根据单调性来比较数的大小. 对点练3.(1)设正实数a，b，c分别满足a·2a＝b·log3b＝c·log2c＝1，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a＞b＞c B.b＞c＞a C.c＞b＞a D.a＞c＞b (2)若实数x，y满足2 025x－2 025y＜2 024－x－2 024－y，则(　　) A.ln(y－x＋1) ＞0 B.ln(y－x＋1)＜0 C.ln ｜x－y｜＞0 D.ln ｜x－y｜＜0 答案：(1)B　(2)A 解析：(1)由已知可得＝2a，＝log3b，＝log2c，作出y＝2x，y＝log3x，y＝log2x的图象如图所示，则它们与y＝的图象交点的横坐标分别为a，b，c，由图象可得b＞c＞a.故选B. (2)因为2 025x－2 025y＜2 024－x－2 024－y，所以2 025x－2 024－x＜2 025y－2 024－y，令f(t)＝2 025t－2 024－t，则f(x)＜f(y)，因为f(t)＝2 025t－2 024－t在R上单调递增，所以x＜y.对于A，B，因为x＜y，所以y－x＋1＞1，所以ln(y－x＋1) ＞0，故A正确，B错误；对于C，D，因为x＜y，所以｜x－y｜＞0，所以当0＜｜x－y｜＜1时，ln ｜x－y｜＜0，当｜x－y｜＝1时，ln ｜x－y｜＝0，当｜x－y｜＞1时，ln ｜x－y｜＞0，故C、D错误.故选A. 学科网（北京）股份有限公司 $