第二章 11 第八节 对数函数（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版）

该高中数学讲义聚焦对数函数高考核心考点，涵盖概念、图象性质、反函数及应用，按“概念-性质-应用”逻辑架构知识体系。通过课标研读明确要求，自主检测诊断学情，考点分层次讲解（图象应用、性质应用、综合应用），配合方法指导与真题训练，帮助学生系统突破难点。 讲义以“数学思维”和“数学眼光”为导向，创新采用数形结合与分类讨论策略，如比较对数大小时结合图象直观分析，解不等式时分类讨论底数范围。设置分层练习和真题再现环节，培养学生逻辑推理与直观想象能力，助力教师精准把控复习节奏，提升学生应考实战能力。

第八节　对数函数 【课标研读】　1.通过具体实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画具体对数函数的图象.　2.理解对数函数的单调性与特殊点等性质，并能简单应用.　3.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数. 1.对数函数及其性质 (1)对数函数的概念：一般将函数y＝logax(a＞0，且a≠1)称为对数函数，其中x为自变量，定义域是(0，＋∞).a为底数. (2)特殊的对数函数 以10为底的对数函数称为常用对数函数，记作y＝lg x. 以无理数e为底的对数函数称为自然对数函数，记作y＝ln x. (3)对数函数的图象和性质 a＞1 0＜a＜1 图象 学生用书⬇第45页 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 当x＞1时，y＞0； 当0＜x＜1时，y＜0 当x＞1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0 在定义域(0，＋∞)上是增函数，当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大；当x值趋近于0时，函数值趋近于负无穷大 在定义域(0，＋∞)上是减函数，当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于负无穷大；当x值趋近于0时，函数值趋近于正无穷大 2.反函数 指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.它们的定义域和值域正好互换. 【常用结论】 对数函数图象的特点 (1)对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象恒过点(1，0)，(a，1)，，依据这三点的坐标可得到对数函数的大致图象. (2)函数y＝logax与y＝lox(a＞0，且a≠1)的图象关于x轴对称. (3)如图给出4个对数函数的图象 则b＞a＞1＞d＞c＞0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大. 【自主检测】 1.(多选题)下列结论正确的是(　　) A.函数y＝log2(x＋1)是对数函数 B.函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同 C.当x＞1时，若logax＞logbx，则a＜b D.对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象过定点(1，0)且过点(a，1)，，函数图象只在y轴右侧 答案：BD 2.(链接北师必修一P116A组T3，改编)函数y＝的定义域是(　　) A.(－2，＋∞) B.[－2，＋∞) C.[－2，1)∪(1，＋∞) D.(－2，1)∪(1，＋∞) 答案：D 解析：由题意可得x∈(－2，1)∪(1，＋∞).故选D. 3. (链接北师必修一P114例7，改编)设a＝log0.26，b＝log0.36，c＝log0.46，则(　　) A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.b＞c＞a D.c＞b＞a 答案：A 解析：法一：如图，作出函数y1＝log0.2x，y2＝log0.3x，y3＝log0.4x的图象，由图可知，当x＝6时，log0.26＞log0.36＞log0.46，即a＞b＞c.故选A. 法二：易知0＞log60.4＞log60.3＞log60.2，所以＜＜，即log0.46＜log0.36＜log0.26，即a＞b＞c.故选A. 4.若函数f(x)＝loga(x－3)＋2(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点P，则P的坐标是　　　　　. 答案：(4，2) 解析：令x－3＝1，可得x＝4，f(4)＝loga1＋2＝2，因此定点P的坐标为(4，2). 考点一　对数函数的图象及应用自主练透 1.(2025·陕西宝鸡期中)函数f(x)＝log2(2x)的大致图象为(　　) 答案：C 解析：令f(x)＝0，解得x＝，由题意，f(x)＝log2＝log2x＋1，且x＞0，所以f(x)的图象由y＝log2x的图象向上平移一个单位长度即可.故选C. 2.(2025·江苏南京检测)当0＜x≤时，4x＜logax，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C.(1，) D.(，2) 答案：B 解析：易知0＜a＜1，函数y＝4x与y＝logax的大致图象如图所示，则由题意知，当0＜x≤时，4x＜logax.只需满足loga＞，解得a＞，所以＜a＜1，即实数a的取值范围是.故选B. 学生用书⬇第46页 3.已知函数f(x)＝｜ln x｜，若0＜a＜b，且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围是　　　　. 答案：(3，＋∞) 解析： f(x)＝｜ln x｜的图象如图，因为f(a)＝f(b)，所以｜ln a｜＝｜ln b｜，因为0＜a＜b，所以ln a＜0，ln b＞0，所以0＜a＜1，b＞1，所以－ln a＝ln b，所以ln a＋ln b＝ln(ab)＝0，所以ab＝1，则b＝，所以a＋2b＝a＋，令g(x)＝x＋(0＜x＜1)，则g(x)在(0，1)上单调递减，所以g(x)＞g(1)＝1＋2＝3，所以a＋2b＞3，所以a＋2b的取值范围为(3，＋∞). 研究对数型函数图象的两种策略 注意：一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合思想求解. 考点二　对数函数的性质及应用多维探究 角度1　比较对数式的大小 (1)已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝lo，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a＞b＞c B.b＞a＞c C.c＞b＞a D.c＞a＞b (2)设a＝log412，b＝log515，c＝log618，则(　　) A.a＞b＞c B.b＞c＞a C.a＞c＞b D.c＞b＞a 答案：(1)D　(2)A 解析：(1)法一：(中间量法)因为a＝log2e＞1，b＝ln 2∈(0，1)，c＝lo＝log23＞log2e＞1，所以c＞a＞b.故选D. 法二：(图象法)c＝lo＝log23，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝log2x，y＝ln x的图象，如图，由图可知c＞a＞b.故选D. (2)a＝1＋log43，b＝1＋log53，c＝1＋log63，因为log43＞log53＞log63，所以a＞b＞c.故选A. 角度2　解对数方程、不等式 (1)已知f(x)＝lg x－1，g(x)＝lg x－3，若＋＝，则满足条件的x 的取值范围是　　　　　　. (2)(2025·安徽江淮十校联考)已知函数f(x)＝则不等式f((log2x)2－3)＜4f(log2x)的解集为　　　　. 答案：(1)∪　(2) 解析：(1)因为＋＝，所以f(x)g(x)≥0，即0，解得lg x≤1或lg x≥3，所以x的取值范围是(0，10]∪[1 000，＋∞). (2)当x≥0时，f(x)＝2x2≥0，4f(x)＝8x2＝f(2x)，且f(x)在[0，＋∞)上单调递增.当x＜0时，f(x)＝－2x2＜0，4f(x)＝－8x2＝f(2x)，且f(x)在(－∞，0)上单调递增.所以f(x)在R上有4f(x)＝f(2x)，且函数f(x)是R上的增函数，于是原不等式可化为(log2x)2－3＜2log2x，即(log2x)2－2log2x－3＜0，即(log2x＋1)(log2x－3)＜0，得－1＜log2x＜3，解得＜x＜8，即原不等式的解集为. 1.比较大小时，若底数相同，真数不同直接利用单调性；若底数不同，真数相同利用换底公式化同底或利用图象比较；若底数与真数都不同，常借助1，0等中间量进行比较. 2.解对数不等式时，常用化同底后利用单调性的方法；若底数a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论. 对点练1.(1)(2025·天津滨海新区模拟)已知a＝，b＝log0.42，c＝，则(　　) A.a＞b＞c B.b＞a＞c C.c＞a＞b D.a＞c＞b (2)(2025·浙江省名校联考)方程log3x＝log6x·log9x的实数解有(　　) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 答案：(1)C　(2)C 解析：(1)a＝＝0.4，b＝log0.42＜log0.41＝0，0＝log0.31＜log0.30.4＜log0.30.3＝1，则c＞1，故c＞a＞b.故选C. (2)log3x＝＝·＝log6x·log9x，所以ln x＝0或ln x＝＝2ln 6＝ln 36，所以x＝1或x＝36，所以方程log3x＝log6x·log9x的实数解有2个.故选C. 考点三　对数型函数性质的综合应用师生共研 已知函数y＝f(x)，其中f(x)＝lo. (1)求证：y＝f(x)是奇函数； (2)若关于x的方程f(x)＝lo在区间[3，4]上有解，求实数k的取值范围. 解：(1)证明：函数y＝lo的定义域为D＝∪(2，＋∞)， 在D中任取一个实数x，都有－x∈D，并且f(－x)＝lo＝lo＝lo＝－f(x). 因此y＝lo是奇函数. (2)f(x)＝lo等价于x＋k＝，即k＝－x＝－x＋1在上有解. 记g(x)＝－x＋1，因为g(x)在上单调递减， 所以，g(x)max＝g(3)＝2，g(x)min＝g(4)＝－1， 故g(x)的值域为， 因此实数k的取值范围为. 　　求与对数函数有关的复合函数的性质问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成. 对点练2.(1)(多选题)(2025·河南焦作模拟)已知函数f(x)＝lg(1－x)，则(　　) A.f(x)的定义域为(－∞，1) B.f(x)的值域为R 学生用书⬇第47页 C.f(－1)＋f(－4)＝1 D.y＝f的单调递增区间为(0，1) (2)(多选题)(2025·江西九江期末)设函数f(x)＝ln，则f(x)(　　) A.定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞) B.图象关于原点对称 C.在(1，＋∞)上单调递减 D.不存在零点 答案：(1)ABC　(2)ABD 解析：(1)对于A，B，由题意知f(x)的定义域为(－∞，1)，值域为R，故A，B均正确；对于C，f(－1)＋f(－4)＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，故C正确；对于D，因为f＝lg，根据复合函数的单调性知y＝f不是(0，1)，故D错误.故选ABC. (2)由＞0，得x＜－1或x＞1，故f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故A正确；因为f(－x)＝ln＝ln＝－ln＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故B正确；令t＝，则t＝1－在(1，＋∞)上单调递增，而函数y＝ln t在定义域内单调递增，所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增，故C错误；令f(x)＝0，得＝1，x无实数解，所以f(x)不存在零点，故D正确.故选ABD. [真题再现]　(2020·全国Ⅲ卷)设a＝log32，b＝log53，c＝，则(　　) A.a＜c＜b　 B.a＜b＜c　 C.b＜c＜a　 D.c＜a＜b 答案：A 解析：因为a＝log32＝lo23＝log98＜1，所以a＜.因为b＝log53＝lo33＝log2527＞1，所以b＞.又c＝，所以a＜c＜b.故选A. [教材呈现]　(北师必修一P128C组T3)已知x＝ln π，y＝log52，z＝. (1)比较x，y的大小； (2)比较y，z的大小. 点评：本题是教材习题的拓展，由于对数式的底数不同，不能直接利用单调性，需适当变形后再比较大小，变形过程中利用了对数函数的单调性，是高考试题源于课本的典例. 学科网（北京）股份有限公司 $