第二章 10 第七节 指数函数（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版）

该高中数学讲义聚焦指数函数高考核心考点，涵盖概念、图象、性质及应用，按课标要求构建“概念-性质-应用”递进式知识网络。通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，分层突破图象应用、性质比较、综合问题等难点，帮助学生系统建立知识体系和解题思路。 资料突出数学思维与数学语言的培养，如通过“一题多问”探究指数型函数奇偶性、单调性综合应用，结合真题对比教材母题强化考点对接。设置基础检测、能力提升分层练习，配合即时反馈策略，助力学生在有限时间内提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰教学路径。

第七节　指数函数 【课标研读】　1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念.　2.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象.　3.理解指数函数的单调性，特殊点等性质，并能简单应用. 1.指数函数的概念 y＝ax(a＞0，且a≠1)是一个定义在实数集上的函数，称为指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.函数值大于0. 2.指数函数的图象和性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域：R 值域：(0，＋∞) 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x＜0时，0＜y＜1；当x＞0时，y＞1 当x＜0时，y＞1；当x＞0时，0＜y＜1 在R上是增函数 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于0 在R上是减函数 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于0；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于正无穷大 [微提醒]　当底数a大小不确定时，必须分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论函数的图象和性质. 【常用结论】 指数函数图象的特点 (1)指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象过三个关键点：(1，a)，(0，1)，. (2)当a＞0，且a≠1时，函数y＝ax与函数y＝的图象关于y轴对称. (3)y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象特征：如图(a1＞a2＞a3＞a4)，不论是a＞1，还是0＜a＜1，在第一象限内图象越高，底数越大；在第二象限内图象越高，底数越小. (4)指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象以x轴为渐近线；y＝ax＋b恒过定点(0，1＋b)，且以y＝b为渐近线. 【自主检测】 1.(多选题)下列结论错误的是(　　) A.函数y＝2x－1是指数函数 B.函数y＝(a＞1)的值域是(0，＋∞). C.若am＜an(a＞0，且a≠1)，则m＜n D.若函数f(x)是指数函数，且f(1)＞1，则f(x)是增函数 答案：ABC 学生用书⬇第43页 2.已知函数y＝a·2x和y＝2x＋b都是指数函数，则a＋b等于(　　) A.不确定 B.0 C.1 D.2 答案：C 解析：由函数y＝a·2x是指数函数，得a＝1，由y＝2x＋b是指数函数，得b＝0，所以a＋b＝1.故选C. 3.(链接北师必修一P89练习T2，改编)已知关于x的不等式3－2x，则该不等式的解集为(　　) A.[－4，＋∞) B.(－4，＋∞) C.(－∞，－4) D.(－4，1] 答案：A 解析：不等式3－2x，即34－x≥3－2x，由于y＝3x是增函数，所以4－x≥－2x，解得x≥－4，所以原不等式的解集为[－4，＋∞).故选A. 4.(链接北师必修一P90例5，改编)已知a＝0.750.1，b＝1.012.7，c＝1.013.5，则(　　) A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.c＞b＞a D.c＞a＞b 答案：C 解析：因为函数y＝1.01x在(－∞，＋∞)上是增函数，且3.5＞2.7，故1.013.5＞1.012.7＞1＞0.750.1，即c＞b＞a.故选C. 考点一　指数函数的图象及应用自主练透 1. (多选题)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　) A.0＜a＜1 B.a＞1 C.b＜0 D.b＞0 答案：AC 解析：由f(x)＝ax－b的图象可以观察出函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0＜a＜1，函数f(x)＝ax－b的图象是在y＝ax的图象的基础上向左平移得到的，所以－b＞0，即b＜0.故选AC. 2.(2025·四川成都模拟)函数y＝3x与y＝－的图象(　　) A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.关于y＝x对称 答案：C 解析：令函数y＝f(x)＝3x，y＝g(x)＝－，所以g(－x)＝－＝－3x＝－f(x)，即g(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)与g(x)的图象关于原点对称，即函数y＝3x与y＝－的图象关于原点对称.故选C. 3. (多选题)已知实数a，b满足等式2 024a＝2 025b，下列各式可以成立的是(　　) A.a＝b＝0 B.a＜b＜0 C.0＜a＜b D.0＜b＜a 答案：ABD　 解析：如图，观察易知，a＜b＜0或0＜b＜a或a＝b＝0.故选ABD. 4.若方程｜3x－1｜＝k有一解，则实数k的取值范围为　　　　　　　　. 答案：{0}∪[1，＋∞) 解析：函数y＝｜3x－1｜的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示.当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝｜3x－1｜的图象有唯一的交点，即方程有一解.故实数k的取值范围为{0}∪[1，＋∞). 与指数函数图象有关问题的策略 考点二　指数函数的性质及应用多维探究 角度1　比较指数式的大小 (1)(多选题)下列各式正确的是(　　) A.1.72.5＞1.73 B.＞ C.1.70.3＞0.93.1 D.＜ (2)(多选题) (2025·湖南长沙期末)若3x－3y＜4－x－4－y，则下列结论正确的是(　　) A.＜ B.x＜y C.2－y＜2－x D.y－3＞x－3 答案：(1)BCD　(2)BC 解析：(1)因为y＝1.7x为增函数，所以1.72.5＜1.73，故A不正确；＝，y＝2x为增函数，所以＞，故B正确；因为1.70.3＞1，0.93.1∈(0，1)，所以1.70.3＞0.93.1，故C正确；因为y＝为减函数，所以＜.又y＝在(0，＋∞)上单调递增，所以＜，所以＜＜，故D正确.故选BCD. (2)由3x－3y＜4－x－4－y变形得到3x－4－x＜3y－4－y，令f(x)＝3x－4－x，显然f(x)在R上为增函数，所以x＜y，显然B正确；对于A，若x＜0或y＜0时，A不满足要求；对于C，－x＞－y，故2－y＜2－x，故C正确；对于D，不妨设x＝2，y＝3，则3－3＜2－3，即y－3＜x－3，故D错误.故选BC. 角度2　解简单的指数方程或不等式 (1)若，则函数y＝2x的值域是(　　) A. B. C. D.[2，＋∞) (2)已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为　　　　. 答案：(1)B　(2) 解析：(1)＝(2－2)x－2＝2－2x＋4，所以≤2－2x＋4，即x2＋1≤－2x＋4，即x2＋2x－3≤0，所以－3≤x≤1，此时y＝2x的值域为[2－3，21]，即为.故选B. (2)当a＜1时，41－a＝21，解得a＝；当a＞1时，代入不成立.故a的值为. 1.能化成同底数的直接利用单调性比较大小；不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小. 2.指数方程(不等式)的求解利用指数函数的单调性进行转化. 对点练1.(1)(多选题)设函数f(x)＝a－｜x｜(a＞0，且a≠1)，若f(2)＝4，则(　　) A.f(－2)＞f(－1) B.f(－1)＞f(－2) C.f(－2)＞f(2) D.f(－4)＞f(3) (2)(2025·北京大兴模拟)已知f(x)＝若f(m)＝8，则m＝　　　　. 答案：(1)AD　(2)－3或 解析：(1)因为f(x)＝a－｜x｜，f(2)＝4，所以a－2＝4，解得a＝(负值舍去)，则f(x)＝＝2｜x｜，易得f(x)是偶函数，且在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故f(－2)＞f(－1)，f(－2)＝f(2)，f(－4)＝f(4)＞f(3)，故A，D正确，B，C错误.故选AD. (2)因为f(x)＝且f(m)＝8，所以解得m＝－3或m＝. 考点三　指数型函数性质的综合应用师生共研 (一题多问)设a∈R，函数f(x)＝. (1)求a的值，使得y＝f(x)为奇函数； 学生用书⬇第44页 (2)若f(2)＝a，求满足f(x)＞a的实数x的取值范围； (3)在(1)的条件下，若对任意的t∈R，不等式f＋f＜0恒成立，求实数k的取值范围. 解：(1)要使函数f(x)有意义，则需2x－1≠0，x≠0.由f(x)为奇函数，可知f(－1)＝－f(1)， 即－(1＋2a)＝－(2＋a)，解得a＝1， 当a＝1时，f(x)＝，f(－x)＝＝＝－f(x)对一切非零实数x恒成立， 故a＝1时，y＝f(x)为奇函数. (2)由f(2)＝a，可得＝a，解得a＝2， 所以f(x)＞a⇔＞2⇔＜0⇔1＜2x＜4， 解得0＜x＜2，所以满足f(x)＞a的实数x的取值范围是(0，2). (3)由(1)知：f(x)＝＝1＋是减函数， 因为f(x)是奇函数，且f＋f＜0， 所以f＜－f＝f， 所以t2－2t＞k－t2恒成立， 即k＜，又2t2－2t＝2－－，所以k＜－. 所以实数k的取值范围为. 　　首先明确指数函数的性质与复合函数的构成，有时要借助“同增异减”的性质解决问题. 对点练2.(1)(多选题)(2025·山东临沂模拟)已知函数f(x)＝＋a，则(　　) A.f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞) B.f(x)的值域为R C.当a＝1时，f(x)为奇函数 D.当a＝2时，f(－x)＋f(x)＝2 (2)已知函数y＝a2x＋2ax－1(a＞0，且a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a的值为　　　　. 答案：(1)ACD　(2)3或 解析：(1)对于函数f(x)＝＋a，令2x－1≠0，解得x≠0，所以f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故A正确；因为2x＞0，当2x－1＞0时，＞0，所以＋a＞a，当－1＜2x－1＜0时，＜－2，所以＋a＜－2＋a，综上可得f(x)的值域为∪，故B错误；当a＝1时，f(x)＝＋1＝，则f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以f(x)＝＋1为奇函数，故C正确；当a＝2时，f(x)＝＋2＝＋1，则f(－x)＋f(x)＝＋1＋＋1＝2，故D正确.故选ACD. (2)令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.当a＞1时，因为x∈[－1，1]，所以t∈，又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3或a＝－5(舍去)；当0＜a＜1时，因为x∈[－1，1]，所以t∈，又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，则ymax＝－2＝14，解得a＝或a＝－(舍去).综上，a＝3或a＝. [真题再现]　(2023·天津卷)设a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a＜b＜c B.b＜a＜c C.c＜b＜a D.c＜a＜b 答案：D 解析：法一：因为函数f(x)＝1.01x是增函数，且0.6＞0.5＞0，所以1.010.6＞1.010.5＞1，即b＞a＞1；因为函数g(x)＝0.6x是减函数，且0.5＞0，所以0.60.5＜0.60＝1，即c＜1.综上，c＜a＜b.故选D. 法二：因为函数f(x)＝1.01x是增函数，且0.6＞0.5，所以1.010.6＞1.010.5，即b＞a；因为函数h(x)＝x0.5在(0，＋∞)上单调递增，且1.01＞0.6＞0，所以1.010.5＞0.60.5，即a＞c.综上，c＜a＜b.故选D. [教材呈现]　(北师必修一P91A组T4)比较下列各组数的大小： (1)31.2，32.2，； (2)，，. 点评：本题与教材习题结构形式完全一致，考点、解法完全相同，均考查利用指数函数与幂函数的单调性比较大小，是高考试题源于课本的典例. 学科网（北京）股份有限公司 $