第二章 9 第六节 指数运算与对数运算（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版）

该高中数学讲义聚焦指数运算与对数运算高考核心考点，依据课标要求构建根式、分数指数幂、对数概念及性质的知识体系，通过课标研读、考点分层讲解、方法归纳、真题演练环节，帮助学生系统掌握运算规律，突破换底公式应用等难点，体现复习的系统性和针对性。 资料突出核心素养导向，如结合生物丰富度指数、氚衰变实例培养数学眼光，通过换底公式推导训练数学思维，设置自主检测、对点练等分层练习及真题链接，确保高效突破考点，助力学生提升运算能力，为教师把控复习节奏提供实用指导。

第六节　指数运算与对数运算 【课标研读】　1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.　2.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用. 1.根式的概念及性质 2.分数指数幂 3.对数 学生用书⬇第40页 【常用结论】 换底公式的两个重要结论 (1)logab＝(a＞0，且a≠1；b＞0，且b≠1). (2)lobn＝logab(a＞0，且a≠1；b＞0；m，n∈R，且m≠0). 【自主检测】 1.下列说法中正确的是(　　) A.＝()n＝a B.lo4.2＝m⇔＝4.2 C.分数指数幂可以理解为个a相乘 D.若MN＞0，则loga(MN)＝logaM＋logaN 答案：B 2. (链接北师必修一P102例2，改编)设a＝lg 2，b＝lg 3，则log1210＝(　　) A. B. C.2a＋b D.2b＋a 答案：A 解析：log1210＝＝＝.故选A. 3.(2025·八省适应性测试)已知函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)，若f(ln 2)f(ln 4)＝8，则a＝　　　　. 答案：e 解析：由ff＝8，可得aln 2·aln 4＝8，即aln 2＋ln 4＝a3ln 2＝8，也即＝23，因为a＞0且a≠1，所以aln 2＝2，两边取对数得ln 2·ln a＝ln 2，解得a＝e. 4.(链接北师必修一P82B组T3，改编)已知＋＝3，则a＋a－1＝　　　　；a2＋a－2＝　　　　. 答案：7　47 解析：由＋＝3，得a＋a－1＋2＝9，即a＋a－1＝7，则a2＋a－2＋2＝49，即a2＋a－2＝47. 考点一　指数幂、对数的简单运算自主练透 1.(2025·广东珠海模拟)已知a＞0且a≠1，下列等式正确的是(　　) A.a－2·a3＝a－6 B.＝a2 C.a6＋a3＝a9 D.＝ 答案：D 解析：对于A，a＞0且a≠1，故a－2·a3＝a－2＋3＝a，故A错误；对于B，a＞0且a≠1，故＝a6－3＝a3，故B错误；对于C，a6＋a3≠a9，故C错误；对于D，a＞0且a≠1，故＝＝，故D正确.故选D. 2.(2025·北京东城期末)已知2a＝3，log45＝b，则2a－2b的值为(　　) A.15 B. C. D.－2 答案：C 解析：由log45＝b，得4b＝5，即22b＝5，而2a＝3，所以2a－2b＝＝.故选C. 3.(多选题)下列运算中正确的是(　　) A.＝log75 B.＝ C.＝3－π D.＋ln＝6 答案：BD 解析：对于A，＝log57，故A错误；对于B，＝＝，故B正确；对于C，＝＝π－3，故C错误；对于D，＋ln＝＋ln 1＝6＋0＝6，故D正确.故选BD. 1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂. 2.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并. 考点二　指数幂、对数的运算性质的应用师生共研 (2025·天津河西期末)求下列各式的值： (1)0.75－1××＋10＋＋1； (2)＋＋ln－lg 100. 解：(1)0.75－1××＋10＋＋1 ＝××＋＋＋ ＝×－10＋10＋2＝×－20＋2＝－16. (2)＋＋ln－lg 100 ＝＋＋－2 ＝log32×log23＋＋－2 ＝×××＋＋－2＝＋＋－2＝0. 1.在指数幂的运算中，当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 2.在对数的运算中，(1)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数，然后逆用对数的运算法则；(2)利用换底公式可将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用. 学生用书⬇第41页 对点练1.(1)已知32x＝43y＝126，则＋的值为　　　　. 答案：1 解析：因为32x＝43y＝126，所以2x＝，3y＝，所以＋＝＝＝＝＝1. (2)(2025·湖南娄底期末)计算下列各式的值： ①×＋×＋－； ②－eln 2＋lg 2－lg＋3lg 5－log32·log49. 解：①原式＝×1＋×＋22×33－＝＋＋4×27－＝2＋108＝110. ②原式＝－2＋lg 2＋2lg 2＋3lg 5－·＝－8＋3－·＝－8＋3－1＝－6. 考点三　指数与对数运算的实际应用师生共研 (1)(2024·北京卷)生物丰富度指数d＝是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则(　　) A.3N2＝2N1 B.2N2＝3N1 C.＝ D.＝ (2)(多选题)(2025·湖南长沙模拟)氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子组成，并带有放射性，会发生β衰变，其半衰期是12.43年.样本中氚的质量N随时间t(单位：年)的衰变规律满足N＝N0·，其中N0表示氚原有的质量，则(参考数据：lg 2≈0.301)(　　) A.t＝12.43log2 B.经过24.86年后，样本中的氚元素会全部消失 C.经过62.15年后，样本中的氚元素变为原来的 D.若x年后，样本中氚元素的含量为0.4N0，则x＞16 答案：(1)D　(2)CD 解析：(1)由题意，得＝2.1，＝3.15.若S不变，则2.1ln N1＝3.15 ln N2，即2ln N1＝3ln N2，所以＝.故选D. (2)由题意得N＝N0·，故有＝，左右同时取对数得log2＝－，故得t＝－12.43log2，故A错误；当t＝24.86时，N＝N0·＝2－2·N0＝N0，故B错误；而当t＝62.15时，N＝N0·＝2－5·N0＝N0，即经过62.15年后，样本中的氚元素变为原来的，故C正确；由题意得0.4N0＝N0·，故x＝－12.43log2＝－12.43log2＝－12.43(log22－log25)＝－12.43(1－log25)＝－12.43＝－12.43，将lg 2≈0.301代入其中，可得x≈－12.43≈16.44＞16，故D正确.故选CD. 解决指数、对数运算实际应用的步骤 第一步：理解题意、理清条件与所求之间的关系； 第二步：运用指数或对数的运算公式、性质等进行运算，把题目中的条件转化为所求. 对点练2.(1)(2025·重庆九龙坡期末)放射性核素锶89会按某个衰减率衰减，设初始质量为M0，质量M与时间T(单位：天)的函数关系式为M＝M0·(其中H为常数)，若锶89的半衰期(质量衰减一半所用时间)约为50天，那么质量为M0的锶89经过30天衰减后质量约变为(参考数据：20.6≈1.516)(　　) A.0.72M0 B.0.70M0 C.0.68M0 D.0.66M0 (2)(多选题)(2025·安徽六安期末)地震释放的能量E与地震震级M之间的关系式为lg E＝4.8＋1.5M，2024年8月12日日本宫崎县发生的7.1级地震释放的能量为E1，2023年1月28日伊朗西北发生的5.9级地震释放的能量为E2，2023年2月6日土耳其卡赫拉曼马拉什省发生的7.8级地震释放的能量为E3，下列说法正确的是(　　) A.E1约为E2的10倍 B.E3超过E2的100倍 C.E3超过E1的10倍 D.E3低于E1的10倍 答案：(1)D　(2)BC 解析：(1)由题意，锶89的半衰期(质量衰减一半所用的时间)约为50天，即M0＝M0·，则H＝50，所以质量为M0的锶89经过30天衰减后，质量大约为M0·＝M0·＝M0·≈M0×≈0.66M0.故选D. (2)对于A，lg E1－lg E2＝1.5×，所以＝101.8，故A错误；对于B，lg E3－lg E2＝1.5×，＝102.85＞100，故B正确；对于C，lg E3－lg E1＝1.5×，＝101.05＞10，故C正确，D错误.故选BC. 学生用书⬇第42页 [真题再现]　(2024·全国甲卷)已知a＞1且－＝－，则a＝　　　　. 答案：64 解析：根据题意有－＝－，即3loga2－＝－，设t＝loga2(a＞1)，则t＞0，故3t－＝－，解得t＝(t＝－1舍去)，所以loga2＝，所以＝2，所以a＝64. [教材呈现]　(北师必修一P108B组T4)已知a，b是方程2(ln x)2－3ln x＋1＝0的两个实数根，求下列各式的值： (1)＋； (2)logab＋logba. 点评：本题与教材习题类似，主要考查对数的运算和整体代换的思想方法；体现了高考题源于教材、高于教材的命题趋势. 学科网（北京）股份有限公司 $