第二章 8 第五节 简单的幂函数与几类常见的特殊函数（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版）

该高中数学讲义聚焦幂函数及对勾函数、飘带函数等特殊函数高考核心考点，按定义、图象、性质逻辑架构梳理知识，通过考点梳理（表格对比定义域、单调性等）、方法指导（如对勾函数单调性应用）、真题训练（含2021全国乙卷等真题）环节，帮助学生系统突破函数性质应用难点。 资料突出数学眼光观察图象、数学思维推理性质的核心素养培养，设计“自主练透+师生共研+对点练”分层教学活动，如用换元法转化对勾函数求值域问题，高效突破考点。助力学生短时间提升函数综合应用能力，为教师把控复习节奏提供清晰教学路径。

第五节　简单的幂函数与几类常见的特殊函数 【课标研读】　1.通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象，理解它们的变化规律， 了解幂函数.　2.了解对勾函数、飘带函数、高斯函数、狄利克雷函数、最值函数和一次分式函数的图象与性质. 1.幂函数 (1)定义：一般地，形如y＝xα(α为常数)的函数，即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数. (2)简单幂函数的图象和性质 幂函数 y＝x y＝x－1 y＝x2 y＝ y＝x3 图象 学生用书⬇第36页 定义域 R {x｜x≠0} R [0，＋∞) R 值域 R {y｜y∈R且y≠0} [0，＋∞) [0，＋∞) R 单调性 增 x∈(－∞，0)减， x∈(0，＋∞)减 x∈[0，＋∞)增， x∈(－∞，0)减 增 增 奇偶性 奇函数 奇函数 偶函数 非奇非 偶函数 奇函数 2.对勾函数、飘带函数 对勾函数 飘带函数 解析式 y＝ax＋(a＞0，b＞0) y＝ax－(a＞0，b＞0) 图象 定义域 {x｜x≠0} {x｜x≠0} 单调性 单增区间：，； 单减区间：， 单增区间：(－∞，0)，(0，＋∞) 奇偶性 奇函数 奇函数 渐近线 y＝ax和x＝0 x＝0 说明 关注北师教材必修一P61例5、P67T3(4) 关注北师教材必修一P71T5 3.一次分式函数、高斯函数 一次分式函数 高斯函数 解析式 y＝(a≠0，ad≠bc) y＝[x] (不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，又叫取整函数) 图象 定义域 R 值域 Z 性质 (1)单调性：当ad＞bc时，单减区间：，； 当ad＜bc时，单增区间：， (2)对称性：对称中心 (3)渐近线方程：x＝－和y＝ 不具有单调性、奇偶性、周期性、对称性 说明 关注北师教材P70T3 关注北师教材P55例4 4.最值函数、狄利克雷函数D(x)＝ (1)设min{a，b}＝max{a，b}＝ 直观上来说min{a，b}的作用就是求a，b的最小值，我们将其称为最小值函数，同样，max{a，b}用来表示a，b的最大值，称作最大值函数. (2)狄利克雷函数的性质 ①定义域R；值域{0，1}.②奇偶性：偶函数. 学生用书⬇第37页 ③周期性：以任意正有理数为其周期，无最小正周期. ④无法画出函数的图象，但其图象客观存在. 【常用结论】 (1) 幂函数的图象一定过点(1，1)，一定不过第四象限. (2)对勾函数y＝ax＋(ab＞0)极值与图象的拐点可利用基本不等式求得. 【自主检测】 1.(多选题)下列说法正确的是(　　) A.函数y＝2是幂函数 B.当α＞0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上是增函数 C.函数y＝x＋的单调增区间是(－∞，－)，(，＋∞). D.若幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点 答案：BD 2.已知幂函数f(x)的图象经过点，则f(8)的值等于(　　) A.4 B. C.8 D. 答案：D 解析：设幂函数f(x)＝xα，因为幂函数f(x)的图象经过点，所以f(5)＝5α＝，解得α＝－1，所以f(x)＝x－1，则f(8)＝8－1＝.故选D. 3.函数f(x)＝的图象的对称中心为　　　　. 答案：(－2，1) 解析：f(x)＝＝＝1－，故其图象的对称中心为点(－2，1). 4.设max{a，b}＝则函数f(x)＝max{x，x2}的最小值为　　　　. 答案：0 解析：作出f(x)的图象如图中所示的实线部分，由图可知f(x)的最小值为0. 考点一　幂函数的图象和性质自主练透 1.若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是(　　) A.d＞c＞b＞a B.a＞b＞c＞d C.d＞c＞a＞b D.a＞b＞d＞c 答案：B 解析：由幂函数的图象可知，在区间(0，1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x轴，由题图知a＞b＞c＞d.故选B. 2. (多选题)已知幂函数f(x)的图象经过点，则下列命题正确的有(　　) A.函数f(x)为偶函数 B.函数f(x)的定义域为[0，＋∞) C.函数f(x)的值域为[0，＋∞) D.f(x)在其定义域上单调递增 答案：BCD 解析：设f(x)＝xα，由f(x)的图象经过点，得＝，解得α＝，所以f(x)＝.对于A，f(x)＝的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)不具有奇偶性，故A错误；对于B，根据偶次方根的被开方数非负得f(x)＝的定义域为[0，＋∞)，故B正确；对于C，由f(x)＝在[0，＋∞)上是增函数，所以函数f(x)的值域为[0，＋∞)，故C正确；对于D，由f(x)＝在[0，＋∞)上是增函数，故D正确.故选BCD. 3. (2025·石家庄模拟)已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a＜b＜c B.c＜a＜b C.a＞b＞c D.b＜c＜a 答案：B 解析：由a＝，b＝，c＝，得a＝，b＝，c＝.因为幂函数y＝在区间(0，＋∞)上单调递增，且＜＜，所以＜＜，即c＜a＜b.故选B. 1.对于幂函数的图象首先画出第一象限内的部分，其余象限部分由奇偶性决定. 2.比较幂值的大小时，结合幂值的特点，选择适当的函数，借助单调性比较. 考点二　对勾函数、飘带函数与一次分式函数师生共研 (2025·安徽马鞍山模拟)已知函数y＝x＋有如下性质：如果常数t＞0，那么该函数在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数. (1)已知f(x)＝，x∈[0，1]，利用上述性质，求函数f(x)的值域； (2)对于(1)中的函数f(x)和函数g(x)＝－x＋－2a，若∀x1∈[0，1]，∃x2∈[1，2]，使得g(x2)＝f(x1)成立，求实数a的取值范围. 解：(1)y＝f(x)＝＝＝2x＋1＋－8， 设u＝2x＋1，x∈[0，1]，1≤u≤3，则y＝u＋－8，u∈[1，3]. 由已知性质得，y＝u＋－8在[1，2]上单调递减，在上单调递增， 所以当u＝2时，y取得最小值－4， 又当u＝1时，y＝－3，当u＝3时，y＝－， 所以－4≤y≤－3，即f(x)的值域为[－4，－3]. (2)因为g(x)＝－x＋－2a在[1，2]上为减函数，故g(x)∈. 由题意，f(x)的值域是g(x)的值域的子集， 所以≤a≤. 所以实数a的取值范围为. 学生用书⬇第38页 　　对于对勾函数、飘带函数与一次分式函数，要利用其性质(对称性、奇偶性、单调性以及渐近线)解决问题. 对点练1.已知函数y＝(常数a∈Z).有如下三个条件：(1)在区间(1，＋∞)上是严格增函数；(2)在定义域上函数值恒为负值；(3)对称中心为(1，a). 问：是否存在整数a，使该函数满足条件(1)、(2)、(3)中的两个条件，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由. 解：y＝＝a＋＝f(x)，当a＋2≠0时，函数值域. 所以(2)成立只能a＝－2. 要使得y＝a＋在区间(1，＋∞)上是严格增函数，则a＋2＜0，a＜－2； 因为f(x)＋f(－x＋2)＝a＋＋a＋＝2a，所以函数f(x)的对称中心为(1，a)， 由(1)(3)得a＜－2，a∈Z.由(2)(3)可得a＝－2. 综上所述，a≤－2且a∈Z. 考点三　高斯函数、狄利克雷函数师生共研 (1)(2025·江西景德镇模拟)高斯是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿并列，同享盛名.用他名字命名的高斯函数也称取整函数，记作[x]，是指不超过实数x的最大整数，例如[6.8]＝6，[－4.1]＝－5，该函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域.若函数f(x)＝log2，则当x∈[0，1]时，[f(x)]的值域为(　　) A. B. C. D. (2)(多选题)(2025·山东济南质检)德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名的函数f(x)＝称为狄利克雷函数，则关于函数f(x)的叙述，正确的是(　　) A.函数y＝f(x)的图象是两条直线 B.f(f(x))＝1 C.f()＞f(1) D.∀x∈R，都有f(1－x)＝f(2＋x) 答案：(1)C　(2)BD 解析：(1)由－x2＋x＋2＞0，得(x＋1)＜0，解得－1＜x＜2，则f(x)的定义域为，当x∈[0，1]时，令t＝－x2＋x＋2，函数y＝－x2＋x＋2在上单调递增，在上单调递减，又u＝log2t在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，所以f(x)的值域为，又因为1＝log22＜log2＜log24＝2，所以根据高斯函数定义可知.故选C. (2)对于A，函数y＝f(x)的图象是断续的点集，不是两条直线，故A错误；对于B，当x为有理数时，f(x)＝1，所以f(f(x))＝f(1)＝1，当x为无理数时，f(x)＝0，f(f(x))＝f(0)＝1，故B正确；对于C，f()＝0，f(1)＝1，所以f(1)＞f()，故C错误；对于D，由题意，函数定义域为R，且f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，取不为零的有理数T，若x是有理数，则x＋T也是有理数；若x是无理数，则x＋T也是无理数；所以根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f(x＋T)＝f(x)对∀x∈R恒成立，故f(x＋2)＝f(x)＝f(－x)＝f(1－x)，所以∀x∈R，都有f(1－x)＝f(2＋x)，故D正确.故选BD. 　　此类问题属于新定义问题，解题时要根据题目提供的信息，转化为所学知识和方法来解决问题. 对点练2.(1)已知狄利克雷函数D(x)＝则下列结论正确的是(　　) A.D(x)是偶函数 B.D(x)是单调函数 C.D(x)的值域为[0，1] D.D(π)＞D(3.14) (2)(多选题)(2025·湖北名校联考)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如[－2.1]＝－3，[2.1]＝2，则下列说法正确的是(　　) A.函数y＝x－[x]在区间[k，k＋1)(k∈Z)上单调递增 B.若函数f(x)＝，则y＝[f(x)]的值域为{0} C.若函数f(x)＝｜－｜，则y＝[f(x)]的值域为{0，1} D.x∈R，x≥[x]＋1 答案：(1)A　(2)AC 解析：(1)对于A，当x∈Q时，显然－x∈Q，此时恒有D(x)＝D(－x)＝1，当x∉Q时，此时x是无理数，显然－x也是无理数，此时恒有D(x)＝D(－x)＝0，所以D(x)是偶函数，故A正确；对于B，因为D(0)＝D(1)＝1，所以函数D(x)不是实数集上的单调函数，故B不正确；对于C，由函数的解析式，可知D(x)的值域为{0，1}，故C不正确；对于D，因为D(π)＝0，D(3.14)＝1，所以D(π)＜D(3.14)，故D不正确.故选A. (2)对于A，x∈[k，k＋1)，k∈Z，有[x]＝k，则函数y＝x－[x]＝x－k在[k，k＋1)上单调递增，故A正确；对于B，f＝＝－∈(－1，0)，则＝－1，故B不正确；对于C，f(x)＝＝＝，当0≤｜cos 2x｜≤时，1≤2－2｜cos 2x｜≤2，1≤f(x)≤，有[f(x)]＝1，当＜｜cos 2x｜≤1时，0≤2－2｜cos 2x｜＜1，0≤f(x)＜1，有[f(x)]＝0，所以y＝[f(x)]的值域为{0，1}，故C正确；对于D，当x＝2时，[x]＋1＝3，有2＜[2]＋1，故D不正确.故选AC. 考点四　最值函数师生共研 (多选题)(2025·江苏苏州模拟)定义min{x，y}表示x，y中的最小者，设函数f(x)＝min{x2－3x＋3，3－｜x－3｜}，则(　　) 学生用书⬇第39页 A.f(x)有且仅有一个极小值点为 B.f(x)有且仅有一个极大值点为3 C.∀x∈∪，f(x)≤1 D.∃k∈R，f(x)≤k恒成立 答案：ACD 解析：由题意，函数f(x)＝作出函数f(x)的图象，如图所示，由图象知，f(x)有且仅有一个极小值点为，故A正确；函数有两个极大值点1和3，故B错误；令f(x)≤1，可得解得x≤2或x≥5，即当x∈∪时，f(x)≤1，故C正确；由图象知，当x＝3时，函数f(x)的最大值f(3)＝3，所以存在实数k≥3，使得f(x)≤k恒成立，故D正确.故选ACD. 　　通常利用函数的图象解决最值函数问题. 对点练3.(2025·天津滨海新区模拟)给定函数f(x)＝x＋2，g(x)＝4－x2，对于∀x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的较小者，记为M(x)＝min{f(x)，g(x)}，则M(x)的最大值为　　　　. 答案：3 解析：根据定义可得M(x)的图象如图： 由得B，所以M(x)的最大值为3. [真题再现]　(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　) A.f(x－1)－1 B.f(x－1)＋1 C.f(x＋1)－1 D.f(x＋1)＋1 答案：B 解析：由题意可得f(x)＝＝－1＋，对于A，f(x－1)－1＝－2不是奇函数；对于B，f(x－1)＋1＝是奇函数；对于C，f(x＋1)－1＝－2，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，f(x＋1)＋1＝，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选B. [教材呈现]　(北师必修一P73B组T4)设f(x)＝，求证： (1)f(－x)＝(x≠±1)； (2)f＝－f(x)(x≠－1，且x≠0). 点评：本题与教材习题函数关系式完全一致，都可以求出对应函数的关系式，考点、解法完全相同，是高考试题源于课本的典例. 学科网（北京）股份有限公司 $