第二章 7 教材拓展4 抽象函数问题（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版）

该高中数学讲义聚焦抽象函数高考核心考点，涵盖奇偶性、单调性、周期性及综合应用，对应一次函数、指数函数等基本模型，按“模型梳理-题型突破-真题演练”逻辑架构。通过考点对照、方法指导（如赋值法）、新课标真题讲解等环节，帮助学生构建解题框架，突破抽象函数难点，体现复习系统性与针对性。 讲义特色在于“模型具象化”教学与分层训练结合，如用余弦函数模型解析周期性问题，培养数学抽象与逻辑推理素养。设置基础对点练与高考真题演练，配合即时方法总结，确保高效突破考点，提升学生应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

抽象函数问题 抽象函数是指没有给出具体的函数表达式，只给出了函数所具有的某些性质或运算特征的一类函数，如函数的定义域，解析递推式，特定点的函数值，特定的运算性质等，试题难度大，综合性强已成为近几年高考中的一个重要题型. 常见的抽象函数对应的基本初等函数模型如下： 基本初等函数模型 抽象函数性质 一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0) f(x±y)＝f(x)±f(y)(正比例型) f(x±y)＝f(x)±f(y)∓b(一次型) 幂函数f(x)＝xn f(xy)＝f(x)f(y)或f＝ 二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0) f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2axy－c 指数函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1) f(x＋y)＝f(x)f(y)或f(x－y)＝ 对数函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1) f(xy)＝f(x)＋f(y)或f＝f(x)－f(y)或f＝nf(x) 正弦函数f(x)＝sin x f(x＋y)f(x－y)＝f2(x)－f2(y) (对应于正弦平方差公式：sin2α－sin2β＝sin(α＋β)sin(α－β)) 余弦函数f(x)＝cos x f(x)＋f(y)＝2ff或f(x)f(y)＝[f(x＋y)＋f(x－y)](对应于和差化积与积化和差公式) 正切函数f(x)＝tan x f(x±y)＝(对应于两角和与差的正切公式) 题型一　抽象函数的奇偶性 (2025·广东韶关模拟)已知f(x)是定义在R上且不恒为零的函数，对于任意实数a，b满足f(ab)＝af(b)＋bf(a)，若f(e)＝e，则f(－1)＋f＝(　　) A. B.－ C.1－ D.1＋ 答案：A 解析：当a＝b＝0时，f(0)＝0，当a＝b＝1时，f(1)＝2f(1)，可得f(1)＝0，则f(0)＝f(1)＝0，当a＝b＝－1时，f(1)＝－2f(－1)＝0，则f(－1)＝0，函数f(x)的定义域为R，令a＝－1，b＝x时，f(－1×x)＝(－1)f(x)＋xf(－1)，所以得f(－x)＝－f(x)，所以函数是奇函数，令a＝e，b＝，f(1)＝f＝ef＋f(e)＝0得f＝－，又函数是奇函数，所以f＝，则f(－1)＋f＝.故选A. 　　判断或证明抽象函数的奇偶性，需要根据已知，巧妙赋值，配凑出f(－x)与f(x)的关系. 对点练1.(1)(2025·山西太原模拟)已知函数f(x)是定义在上不恒为零的函数，若f(xy)＝＋，则(　　) A.f(1)＝1 B.f(－1)＝1 C.f(x)为偶函数 D.f(x)为奇函数 (2)(2025·陕西西安模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x)＋f(y)＝f(x＋y)－2xy＋2，f(1)＝2，则下列结论正确的是(　　) A.f(4)＝12 B.方程f(x)＝x有解 C.f是偶函数 D.f是偶函数 答案：(1)C　(2)C 解析：(1)令x＝y＝1，则f(1)＝2f(1)，故f(1)＝0，故A错误；令x＝y＝－1，则f(1)＝2f(－1)，故f(－1)＝0，故B错误；令y＝－1，则f(－x)＝f(x)＋＝f(x)，故f(x)为偶函数，故C正确；因为f(x)为偶函数，又函数f(x)是定义在上不恒为零的函数，故D错误.故选C. (2)对于A，因为函数f(x)的定义域为R，且满足f(x)＋f(y)＝f(x＋y)－2xy＋2，f(1)＝2，取x＝y＝1，得f(1)＋f(1)＝f(2)－2＋2，则f(2)＝4，取x＝y＝2，得f(2)＋f(2)＝f(4)－8＋2，则f(4)＝14，故A错误；对于B，取y＝1，得f(x)＋f(1)＝f(x＋1)－2x＋2，则f(x＋1)－f(x)＝2x，所以f(x)－f(x－1)＝2(x－1)，f(x－1)－f(x－2)＝2(x－2)，…，f(2)－f(1)＝2，以上各式相加得f(x)－f(1)＝＝x2－x，所以f(x)＝x2－x＋2，令f(x)＝x2－x＋2＝x，得x2－2x＋2＝0，此方程无解，故B错误；对于C，D，由B知f(x)＝x2－x＋2，所以f＝－＋2＝x2＋是偶函数，f＝－＋2＝x2－2x＋不是偶函数，故C正确，D错误.故选C. 题型二　抽象函数的单调性 (1)(2025·湖南长沙模拟)定义在R上的函数f(x)满足对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，若x＞0时，f(x)＞1，则f(x)(　　) A.先单调递减后单调递增 B.在R上单调递增 C.在R上单调递减 D.单调性不确定 (2)(2025·河南新乡模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足∀x，y∈R，f＝f(x)·f(y)＋f(y)＋2x－3，f(0)＝－1，则不等式f(x)＞3－2x的解集为(　　) A.(1，＋∞) B.(－1，＋∞) C.(－∞，1) D.(－∞，－1) 答案：(1)B　(2)A 解析：(1)任取x1＜x2，令x＝x2－x1，y＝x1，则f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1＋x1)－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1，因为x2－x1＞0，所以f(x2－x1)＞1，所以f(x2)－f(x1)＞0，所以f(x)在R上单调递增.故选B. (2)令x＝y＝0，得f(－1)＝f(0)·f(0)＋f(0)－3＝－3.令y＝0，得f(－1)＝f(x)f(0)＋f(0)＋2x－3，解得f(x)＝2x－1，则不等式f(x)＞3－2x转化为2x＋2x－4＞0，因为y＝2x＋2x－4是增函数，且2×1＋21－4＝0，所以不等式f(x)＞3－2x的解集为(1，＋∞).故选A. 学生用书⬇第35页 　　抽象函数的单调性的判断或证明主要是利用单调性的定义进行判断. 对点练2.(2025·山东济南模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且yf(x)－xf(y)＝xy，则下列结论一定成立的是(　　) A.f(1)＝1 B.f(x)为偶函数 C.f(x)有最小值 D.f(x)在[0，1]上单调递增 答案：C 解析：由于函数f(x)的定义域为R，且yf(x)－xf(y)＝xy，令y＝1，则f(x)－xf(1)＝x(x－1)，得f(x)＝x2＋[f(1)－1]x，x＝1时，f(1)＝12＋[f(1)－1]恒成立，无法确定f(1)＝1，故A不一定成立；由于f(1)＝1不一定成立，故f(x)＝x2＋[f(1)－1]x不一定为偶函数，故B不一定成立；由于f(x)＝x2＋[f(1)－1]x的对称轴为x＝－·[f(1)－1]与[0，1]的位置关系不确定，故f(x)在[0，1]上不一定单调递增，故D也不一定成立，由于f(x)＝x2＋[f(1)－1]x表示开口向上的抛物线，故函数f(x)必有最小值，故C一定成立.故选C. 题型三　抽象函数的周期性 (2022·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则f(k)＝(　　) A.－3 B.－2 C.0 D.1 答案：A 解析：法一：赋值加性质：因为f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，令x＝1，y＝0可得，2f(1)＝f(1)f(0)，所以f(0)＝2，令x＝0可得，f(y)＋f(－y)＝2f(y)，即f(y)＝f(－y)，所以函数f(x)为偶函数，令y＝1得，f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)＝f(x)，即有f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1)，从而可知f(x＋2)＝－f(x－1)，f(x－1)＝－f(x－4)，故f(x＋2)＝f(x－4)，即f(x)＝f(x＋6)，所以函数f(x)的一个周期为6.因为f(2)＝f(1)－f(0)＝1－2＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－1＝－2，f(4)＝f(－2)＝f(2)＝－1，f(5)＝f(－1)＝f(1)＝1，f(6)＝f(0)＝2，所以一个周期内的f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝0.由于22除以6余4，所以f＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3.故选A. 法二：构造特殊函数：由f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)， 设f(x)＝acos ωx，则由法一中f(0)＝2，f(1)＝1知a＝2，acos ω＝1，解得cos ω＝，取ω＝，所以f(x)＝2cosx，则f(x＋y)＋f(x－y)＝2cos＋2cos＝4cosxcosy＝f(x)f(y)，所以f(x)＝2cosx符合条件，因此f(x)的周期T＝＝6，f(0)＝2，f(1)＝1，且f(2)＝－1，f(3)＝－2，f(4)＝－1，f(5)＝1，f(6)＝2，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝0，由于22除以6余4，所以f＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3.故选A. 1.利用赋值法求出函数的周期. 2.抽象函数具体化，结合具体函数简单明了. 对点练3.(1)(2025·吉林长春模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，f(0)＝1，f(3x＋1)＝－f(－3x＋1)，则f(k)＝(　　) A.－2 B.－1 C.0 D.1 (2)(多选题)(2025·辽宁沈阳模拟)已知定义域为R的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)f(y)－f(1－x)f，且f(0)≠0，f(－1)＝0，则(　　) A.f(1)＝0 B.f(x)是偶函数 C.＋＝1 D.f＝－1 答案：(1)D　(2)ABC 解析：(1)由题意知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，f(0)＝1，令x＝0，则f(y)＋f(－y)＝2f(y)，即f(－y)＝f(y)，故f(x)为偶函数；又f(3x＋1)＝－f(－3x＋1)，令x＝0，则f(1)＝－f(1)，所以f(1)＝0，又由f(3x＋1)＝－f(－3x＋1)，得f(x＋1)＋f(－x＋1)＝0，即f(x)的图象关于点(1，0)成中心对称，则f(2)＝－f(0)＝－1；f(x＋1)＋f(－x＋1)＝0，即f(x＋2)＝－f(－x)，又结合f(x)为偶函数，则f(x＋2)＝－f(x)，故f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即4为f(x)的周期，故f(3)＝f(－1)＝f(1)＝0，f(4)＝f(0)＝1，故f(k)＝f(0)＋[f(1)＋f(2)＋…＋f(2 024)]＋f(2 025)＝1＋506[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＝1＋506(0－1＋0＋1)＋0＝1.故选D. (2)对于A，由f(x＋y)＝f(x)f(y)－f(1－x)f(1－y)，令x＝y＝，则f(1)＝－＝0，故A正确；对于B，令x＝y＝0，则f(0)＝－＝，因为f(0)≠0，故f(0)＝1，令y＝1，则f(x＋1)＝f(x)f(1)－f(1－x)f(0)＝－f(1－x)　①，所以函数f(x)关于点成中心对称，令x＝y＝1，则f(2)＝－＝－1，令y＝2，则f(x＋2)＝f(x)f(2)－f(1－x)f(－1)＝－f(x)　②，由①可得f(x＋2)＝－f(－x)　③，由②③可知f(－x)＝f(x)，且函数f(x)的定义域为R，则函数f(x)是偶函数，故B正确；对于C，令y＝－x，则f(0)＝f(x)f(－x)－f(1－x)f(1＋x)，因为f(0)＝1，f(－x)＝f(x)，f(x＋1)＝－f(1－x)，代入上式中得，＋＝1，故C正确；对于D，由上可知f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故函数f(x)的一个周期为4，故f(4)＝f(0)＝1，令x＝2，y＝1，则f(3)＝f(2)f(1)－f(－1)f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0＋(－1)＋0＋1＝0，则f(i)＝506×0＝0，故D错误.故选ABC. 题型四　抽象函数的综合问题 (多选题)(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，则(　　) A.f(0)＝0 B.f(1)＝0 C.f(x)是偶函数 D.x＝0为f(x)的极小值点 答案：ABC 解析：法一：赋值加性质：因为f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，对于A，令x＝y＝0，f(0)＝0f(0)＋0f(0)＝0，故A正确；对于B，令x＝y＝1，f(1)＝1×f(1)＋1×f(1)，则f(1)＝0，故B正确；对于C，令x＝y＝－1，f(1)＝f(－1)＋f(－1)＝2f(－1)，则f(－1)＝0，令y＝－1，f(－x)＝f(x)＋x2f(－1)＝f(x)，又函数f(x)的定义域为R，所以f(x)为偶函数，故C正确；对于D，不妨令f(x)＝0，显然符合题设条件，此时f(x)无极值，故D错误.故选ABC. 法二：：对于D，当x2y2≠0时，对f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)两边同时除以x2y2，得到＝＋，故可以设＝ln(x≠0)，则f(x)＝当x＞0时，f(x)＝x2ln x，则f'(x)＝2xln ＋x2·＝x(2l x＋1)，令f'(x)＜0，得0＜x＜e；令f'(x)＞0，得x＞e；故f(x)在上单调递减，在上单调递增，因为f(x)为偶函数，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，显然，此时x＝0是f(x)的极大值，故D错误；由f(x)解析式及图象易知ABC正确.故选ABC. 1.抽象函数具体化，类比具体函数的性质解决. 2.利用赋值法，紧扣定义与条件的结构表达式，结合函数性质转化求解. 对点练4.(多选题)(2025·广东深圳模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)f(x－y)＝f2(x)－f2(y)，f(1)＝1，f(2)＝0，则下列说法中正确的是(　　) A.f(x)为偶函数 B.f(3)＝－1 C.f(－1)＝－f(5) D.f(k)＝0 答案：BC 解析：对于A，因为f(x)的定义域为R，且f(x＋y)f(x－y)＝f2(x)－f2(y)，令x＝y＝0，则f(0)f(0)＝f2(0)－f2(0)，故f2(0)＝0，则f(0)＝0，令x＝0，则f(y)f(－y)＝－f2(y)，又f(1)＝1，则f(y)不恒为0，故f(－y)＝－f(y)，所以f(x)为奇函数，故A错误；对于B，令x＝2，y＝1，则f(3)f(1)＝f2(2)－f2(1).而f(1)＝1，f(2)＝0，所以f(3)＝－1，故B正确；对于C，由B可知，f(3)＝－1，令x＝3，y＝2，则f(5)f(1)＝f2(3)－f2(2)，所以f(5)＝1.又因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝－1，所以f(－1)＝－f(5)，故C正确；对于D，由B以及f(x＋2)f(x－2)＝f2(x)，可得f(7)＝－1，f(9)＝1，f(11)＝－1，所以f(2k＋1)＝(－1)k，令x＝2k＋2，y＝2k得f2－f2＝ff(2)＝f×0＝0，结合f(2)＝0递推可得f(2k)＝0.因为2 026÷4＝506……2，故f(k)＝f(1)＋f(2)＝1，故D错误.故选BC. 学科网（北京）股份有限公司 $