第二章 6 培优课1 函数性质的综合应用（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版）

该高中数学高考复习资料聚焦函数性质综合应用热点，整合奇偶性、单调性、周期性、对称性考点，通过题型分类、真题讲解、方法总结、对点练环节，帮助学生构建知识网络，突破综合应用难点，体现复习系统性和针对性。 资料以数学思维培养为核心，各题型配套解题策略，如奇偶性与单调性问题通过对称变换推理范围，分层对点练巩固。规范解析提升数学语言表达能力，助力学生高效掌握方法，为教师把控复习节奏提供实用指导。

培优课1　函数性质的综合应用 　　函数性质的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题的形式出现，通过分析函数的性质特点，结合图象研究函数的性质，往往多种性质结合在一起进行考查. 题型一　函数的奇偶性与单调性 (1)(2025·陕西渭南模拟)已知f(x－1)为偶函数，且f(x)在上单调递增，若f(a－1)≤f(1)，则实数a的取值范围是(　　) A.[－1，1] B.[－2，2] C.[－3，3] D.[－4，4] (2)(多选题)(2025·浙江杭州模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)，g(x)在[0，＋∞)上单调递增，则(　　) A.f＜f B.f＜f C.g＜g D.g＜g 答案：(1)B　(2)BCD 解析：(1)因为f(x－1)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于x＝－1对称，又f(x)在上单调递增，f≤f(1)，所以≤1＋1，解得－2≤a≤2，则实数a的取值范围是[－2，2].故选B. (2)因为f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)，g(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f(1)＜f(2)，g(2)＞g(1)＞g(0)＝0，f(x)在(－∞，0)上单调递减，g(x)在R上单调递增，对于A，因为f(1)，f(2)的正负无法确定，若f(1)＜f(2)＜0，则f(f(1))＞f(f(2))，故A错误；对于B，由g(2)＞g(1)＞g(0)＝0，f(x)在[0，＋∞)上单调递增，则f(g(1))＜f(g(2))，故B正确；对于C，由f(1)＜f(2)，g(x)在R上单调递增，则g(f(1))＜g(f(2))，故C正确；对于D，由g(1)＜g(2)，g(x)在R上单调递增，则g(g(1))＜g(g(2))，故D正确.故选BCD. 奇偶性与单调性的综合问题及解题方法 对点练1.已知函数y＝f为偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，若f(x)＜f，则x的取值范围是　　　　　　　　. 答案：(－∞，－1)∪ 解析：因为y＝f(3x＋1)为偶函数，所以f(3x＋1)＝f(－3x＋1)，即f(x＋1)＝f(－x＋1)，则f(x)关于x＝1对称，因为y＝f(3x＋1)在[0，＋∞)上为增函数，且x∈[0，＋∞)时，3x＋1∈[1，＋∞)，所以f(x)在[1，＋∞)上为增函数，在(－∞，1)上为减函数，由f(x)＜f(2x＋1)得＜，即＜，则(x－1)2＜(2x)2，解得x＜－1或x＞，所以x的取值范围为(－∞，－1)∪. 题型二　函数的奇偶性与周期性 (1)(2025·安徽亳州模拟)已知偶函数f(x)的定义域为R，f(x)＋f＝0，且当x∈时，f(x)＝x2－，则f(2 025)＝(　　) A.－ B.－1 C.1 D. (2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，又f(x)的图象关于x＝1对称，当x∈(0，1]时，f(x)＝－x2＋2x，则下列判断正确的是(　　) A.f(x)的值域为(0，1] B.f(x)的周期为2 C.f(2 024)＝1 D.f(x＋1)是偶函数 答案：(1)D　(2)D 解析：(1)因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，由f(x)＋f(3－x)＝0，得f(－x)＋f(3－x)＝0，即f(x)＝－f(x＋3)，所以f(x)＝f(x＋6)，故f(x)的周期为6，故f(2 025)＝f(6×337＋3)＝f(3)，又由已知f(x)＋f(3－x)＝0得f(3)＝－f(0).因为当x∈时，f(x)＝x2－，所以f(3)＝－＝.故选D. (2)对于A，当x∈(0，1]时，f(x)＝－x2＋2x，此时0＜f(x)≤1，又由f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)＝0，且当x∈[－1，0)时，－1≤f(x)＜0，故在区间[－1，1]上，－1≤f(x)≤1，故A错误；对于B，函数f(x)图象关于直线x＝1对称，则有f(2－x)＝f(x)，又由f(x)是定义在R上的奇函数，则f(x)＝－f(－x)＝－f(2＋x)，则有f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)是周期T＝4的周期函数，故B错误；对于C，f(x)是周期T＝4的周期函数，则f(2 024)＝f(0)＝0，故C错误；对于D，f(x)的图象关于x＝1对称，向左平移1个单位得到f(x＋1)，则函数f(x＋1)的图象关于y轴对称，则f(x＋1)是偶函数，故D正确.故选D. 奇偶性与周期性综合问题的解题策略 学生用书⬇第33页 对点练2.已知偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝cosx，则x∈[2 025，2 026]时，f(x)的解析式为(　　) A.f(x)＝sinx B.f(x)＝－sinx C.f(x)＝cosx D.f(x)＝－cosx 答案：D 解析：设x∈[－1，0]，则－x∈[0，1]，所以f(－x)＝cos＝cosx，因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝cosx，x∈[－1，0].因为f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为2，设x∈[2 025，2 026]，则x－2 026∈[－1，0]，所以f(x)＝f(x－2 026)＝cos＝cos＝－cosx，x∈[2 025，2 026].故选D. 题型三　函数的奇偶性与对称性 (1)已知f(x)是定义在R上的偶函数，则下列函数的图象一定关于点(－1，0)成中心对称的是(　　) A.y＝(x－1)f(x－1) B.y＝(x＋1)f(x＋1) C.y＝xf(x)＋1 D.y＝xf(x)－1 (2)(多选题)已知定义域为R的函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝0，且f(1－x)＝f(1＋x)，则下列结论一定正确的是(　　) A.f(x＋2)＝f(x) B.函数y＝f(x)的图象关于点(2，0)对称 C.函数y＝f(x＋1)是偶函数 D.f(2－x)＝f(x－1) 答案：(1)B　(2)BC 解析：(1)构造函数g(x)＝xf(x)，该函数的定义域为R，所以g(－x)＝－xf(－x)＝－xf(x)＝－g(x)，函数g(x)为奇函数，故函数g(x)图象的对称中心为坐标原点.对于A，函数y＝(x－1)f(x－1)的图象由函数g(x)的图象向右平移1个单位长度得到，故函数y＝(x－1)f(x－1)图象的对称中心为(1，0)；对于B，函数y＝(x＋1)f(x＋1)的图象由函数g(x)的图象向左平移1个单位长度得到，故函数y＝(x＋1)f(x＋1)图象的对称中心为(－1，0)；对于C，函数y＝xf(x)＋1的图象由函数g(x)的图象向上平移1个单位长度得到，故函数y＝xf(x)＋1图象的对称中心为(0，1)；对于D，函数y＝xf(x)－1的图象由函数g(x)的图象向下平移1个单位长度得到，故函数y＝xf(x)－1图象的对称中心为(0，－1).故选B. (2)对于A，因为f(－x)＋f(x)＝0，且f(1－x)＝f(1＋x)，则f(1－(1＋x))＝f(1＋(1＋x))，即f(－x)＝f(x＋2)，则f(x＋2)＝－f(x)，故A错误；对于B，因为f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，因为f(－x)＋f(x)＝0，则f(－(2＋x))＋f(2＋x)＝0，即f(2＋x)＝－f(－2－x)＝－f(2－x)，即f(2＋x)＋f(2－x)＝0，故函数y＝f(x)的图象关于点(2，0)对称，故B正确；对于C，因为f(1－x)＝f(1＋x)，故函数y＝f(x＋1)是偶函数，故C正确；对于D，因为f(1－x)＝f(1＋x)，则f(1－(x－1))＝f(1＋(x－1))，即f(2－x)＝f(x)，没有条件能说明f(x)＝f(x－1)，故D错误.故选BC. 　　由函数的奇偶性与对称性可求函数的周期，常用于化简求值、比较大小等. 对点练3.(1)若定义在R上的奇函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，在区间(0，1)上，有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，则下列说法正确的是(　　) A.函数f(x)的图象关于点(1，0)中心对称 B.函数f(x)的图象关于直线x＝2轴对称 C.在区间(2，3)上，f(x)单调递减 D.f＞f (2)(多选题)(2025·河南驻马店模拟)已知函数f(x)的定义域为R，函数F(x)＝f(1＋x)－(1＋x)为偶函数，函数G(x)＝f－1为奇函数，则(　　) A.函数f(x)的一个对称中心为(2，1) B.f(0)＝－1 C.函数f(x)为周期函数，且一个周期为4 D.f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝6 答案：(1)C　(2)ABD 解析：(1)f(4－x)＝f(2－(x－2))＝f(x－2)＝－f(2－x)＝－f(x)，即f(4－x)＋f(x)＝0，故f(x)的图象关于点(2，0)中心对称，因为f(2－x)＝f(x)，则f(x)的图象关于直线x＝1轴对称，故A、B错误；根据题意可得，f(x)在(0，1)上单调递增，因为f(x)的图象关于直线x＝1轴对称，关于点(2，0)中心对称，则f(x)在(2，3)上单调递减，故C正确；又因为f(x)＝f(2－x)＝－f(x－2)，则f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，可知f(x)的周期为4，则f＝f＜f，故D错误.故选C. (2)对于A，由函数G(x)＝f－1为奇函数，故f－1＝－f＋1，即f＋f＝2，即f(2＋x)＋f(2－x)＝2，故函数f(x)的一个对称中心为(2，1)，故A正确；对于B，由f(2＋x)＋f(2－x)＝2，令x＝0，则f(2)＋f(2)＝2，即f(2)＝1，由函数F(x)＝f(1＋x)－(1＋x)为偶函数，故f(1＋x)－(1＋x)＝f(1－x)－(1－x)，即f(1＋x)＝f(1－x)＋2x，令x＝－1，则f(0)＝f(2)－2＝1－2＝－1，故B正确；对于C，由函数f(x)的一个对称中心为(2，1)，f(0)＝－1，则f(4)＝3，即f(0)≠f(4)，故函数f(x)不以4为周期，故C错误；对于D，由f(2＋x)＋f(2－x)＝2，令x＝1，有f(3)＋f(1)＝2，由f(2)＝1，f(4)＝3，故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝6，故D正确.故选ABD. 题型四　函数的周期性与对称性 (2025·北京大兴模拟)已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x＋2)＝－f(x)，且f(－x)＝－f(x)，当x∈(－1，1]时，f(x)＝x3.则下列结论正确的是(　　) A.函数y＝f(x)的图象关于点(k，0)(k∈Z)对称 B.函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2k(k∈Z)对称 C.当x∈[2，3]时，f(x)＝(x－2)3 D.函数y＝｜f(x)｜的最小正周期为2 答案：D 解析：因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(x－2)，故f(x＋2)＝f(x－2)，所以f(x)的周期为4，又f(－x)＝－f(x)，所以f(－x)＝f(x－2)，故f(x)关于x＝－1对称，又当x∈(－1，1]时，f(x)＝x3，故画出f(x)的部分图象如下： 对于A，函数y＝f(x)的图象不关于点(1，0)中心对称，故A错误；对于B，函数y＝f(x)的图象不关于直线x＝2对称，故B错误；对于C，当x∈[2，3]时，x－2∈[0，1]，则f(x)＝－f(x－2)＝－(x－2)3，故C错误；对于D，由图象可知y＝f(x)的最小正周期为4，又｜f(x＋2)｜＝｜－f(x)｜＝｜f(x)｜，故y＝｜f(x)｜的最小正周期为2，故D正确.故选D. 　　函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆. 对点练4.(多选题)已知f(x)的定义域为R，其函数图象关于直线x＝－3对称，且f(x＋3)＝f(x－3)，若当x∈[0，3]时，f(x)＝4x＋2x－11，则下列结论正确的是(　　) A.f(x)为偶函数 B.f(x)在[－6，－3]上单调递减 C.f(x)关于x＝3对称 D.f(100)＝9 答案：ACD 解析：f(x)的图象关于x＝－3对称，则f(－x)＝f(x－6)，又f(x＋3)＝f(x－3)，则f(x)的周期T＝6，所以f(－x)＝f(x－6)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故A正确；当x∈[0，3]时，f(x)＝4x＋2x－11单调递增，因为T＝6，故f(x)在[－6，－3]上也单调递增，故B不正确；f(x)关于x＝－3对称且T＝6，所以f(x)关于x＝3对称，故C正确；f(100)＝f(16×6＋4)＝f(4)＝f(－2)＝f(2)＝9，故D正确.故选ACD. 学科网（北京）股份有限公司 $