第二章 5 第四节 函数的对称性（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版）

该高中数学讲义聚焦函数对称性高考核心考点，涵盖轴对称、中心对称及对称性与周期性关系，按函数自身对称到两个函数对称的逻辑梳理知识，通过课标研读、自主检测、考点分层讲解和真题训练，帮助学生构建系统知识网络，突破对称性质应用难点。 资料以“数学眼光”观察对称本质，用“数学思维”提炼规律（如“同号求周期，异号求对称”），设计“性质推导-典例解析-真题对接”教学活动，如中心对称考点结合奇函数平移变换分析对称中心，确保高效突破。分层练习和教材考点对比助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第四节　函数的对称性 【课标研读】　1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.　2.会利用对称公式解决问题. 1.函数图象的对称性 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. (2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)对称. (3)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称. 特别地，当a＝b时，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)时，y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. (4)若函数y＝f(x)满足f(x)＋f(2a－x)＝2b，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称. 特别地，当b＝0时，即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0时，y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称. [微提醒]　具有对称性的等式两边的x的系数互为相反数，而具有周期性的等式两边的x的系数是相同的，也就是说同号求周期，异号求对称. 2.两个函数图象的对称 (1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于y轴对称. (2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于x轴对称. (3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于原点对称. 【常用结论】 函数对称性与周期性的关系 (1)若函数f(x)的图象关于直线x＝a和直线x＝b(a≠b)对称，则y＝f(x)的一个周期为2｜b－a｜. (2)若函数f(x)的图象关于点(a，0)和点(b，0)(a≠b)对称，则y＝f(x)的一个周期为2｜b－a｜. (3)若函数f(x)的图象关于直线x＝a和点(b，0)(a≠b)对称，则y＝f(x)的一个周期为4｜b－a｜. 【自主检测】 1.(多选题)下列结论正确的是(　　) A.函数y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称 B.函数y＝f(x－1)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称 C.若函数f(x)满足f(x－1)＋f(x＋1)＝0，则f(x)的图象关于y轴对称 D.若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称 答案：AD 2.函数f(x)＝图象的对称中心为(　　) A.(0，0) B.(0，1) C.(1，0) D.(1，1) 答案：B 解析：因为f(x)＝＝1＋，由y＝向上平移一个单位长度得到y＝1＋，又y＝关于(0，0)对称，所以f(x)＝1＋的图象关于(0，1)对称.故选B. 3.已知定义在R上的函数f(x)在(－∞，2)上单调递增，且f(x＋2)＝f(2－x)对任意x∈R恒成立，则(　　) A.f(－1)＜f(3) B.f(0)＞f(3) C.f(－1)＝f(3) D.f(0)＝f(3) 答案：A 解析：因为f(x＋2)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(3)＝f(1)，由于f(x)在(－∞，2)上单调递增，所以f(－1)＜f(1)＝f(3)，f(0)＜f(1)＝f(3).故选A. 4.偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且当x∈[2，3]时，f(x)＝2x－1，则f(－1)＝　　　　. 答案：5 解析：因为f(x)为偶函数，所以f(－1)＝f(1)，由f(x)的图象关于x＝2对称，可得f(1)＝f(3)＝2×3－1＝5. 考点一　轴对称问题自主练透 1.设f(x)＝x2＋bx－3，且f(－2)＝f(0)，则f(x)≤0的解集为(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：二次函数f(x)＝x2＋bx－3，f(－2)＝f(0)，则－＝，得b＝2，f(x)≤0即x2＋2x－3≤0，解得－3≤x≤1，则原不等式的解集为[－3，1].故选B. 2.(2025·广东湛江模拟)已知函数f(x)在上单调递减，且f(x)的图象关于直线x＝3对称，则a＝f，b＝f(2)，c＝f(0)的大小关系是(　　) A.a＞b＞c B.b＞c＞a C.c＞b＞a D.b＞a＞c 答案：D 解析：因为函数f(x)在上单调递减，且f(x)的图象关于直线x＝3对称，所以函数f(x)在(－∞，3)上单调递增，因为0＜0.2＜2，所以f(0)＜f(0.2)＜f(2)，即b＞a＞c.故选D. 学生用书⬇第31页 3.(2025·湖南湘西期末)已知f(x＋5)为偶函数，若函数y＝与y＝f(x)图象的交点为，，…，，则xi＝(　　) A.45 B.－45 C.90 D.－90 答案：A 解析：因为f(x＋5)为偶函数，所以f(x＋5)＝f(－x＋5)，即函数y＝f(x)的图象关于直线x＝5对称，又函数y＝的图象关于直线x＝5对称，所以函数y＝与y＝f(x)图象的交点关于直线x＝5对称，由交点有9个，故两函数必都过点(5，0)，即xi＝5×9＝45.故选A. 轴对称问题的常用性质 1.函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x). 2.若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝成轴对称. 考点二　中心对称问题师生共研 (1)(2025·河北石家庄模拟)已知函数y＝f(x－1)为奇函数，则函数y＝f(x)＋1的图象(　　) A.关于点(1，1)对称 B.关于点(1，－1)对称 C.关于点(－1，1)对称 D.关于点(－1，－1)对称 (2)(2025·浙江温州期末)我们知道：y＝f(x)的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是y＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：y＝f(x)的图象关于(a，b)成中心对称图形的充要条件是y＝f(x＋a)－b为奇函数.若f(x)＝x3－3x2的对称中心为(m，n)，则f(2 025)＋f(2 023)＋…＋f(3)＋f(－1)＋f(－3)＋f(－5)＋…＋f(－2 021)＋f(－2 023)＝(　　) A.8 096 B.－8 096 C.4 048 D.－4 048 答案：(1)C　(2)D 解析：(1)函数y＝f(x－1)为奇函数，图象关于点(0，0)对称，将函数y＝f(x－1)向左平移一个单位可得函数y＝f(x)，则函数y＝f(x)关于点对称，所以函数y＝f(x)＋1的图象关于点(－1，1)对称.故选C. (2)因为f(x)＝x3－3x2的对称中心为(m，n)，所以g(x)＝f(x＋m)－n＝(x＋m)3－3(x＋m)2－n为奇函数，g(x)＝(x＋m)2(x＋m－3)－n＝x3＋(3m－3)x2＋(3m2－6m)x＋m3－3m2－n，所以g(－x)＋g(x)＝2x2＋2(m3－3m2－n)＝0，所以所以f(x)＝x3－3x2的对称中心为(1，－2)，所以f(x＋2)＋f(－x)＝－4，所以f(2 025)＋f(－2 023)＝－4，f(2 023)＋f(－2 021)＝－4，…，f(5)＋f(－3)＝－4，f(3)＋f(－1)＝－4，所以f(2 025)＋f(2 023)＋…＋f(3)＋f(－1)＋f(－3)＋f(－5)＋…＋f(－2 021)＋f(－2 023)＝－4×1 012＝－4 048.故选D. 中心对称问题的常用性质 1.函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔2b－f(x)＝f(2a－x). 2.若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则y＝f(x)的图象关于点成中心对称. 注意：对于函数自身对称的性质可以简记为：函数自身对称求平均，即性质2关于点，也就是关于点对称. 对点练1.(1)(2025·湖南长沙模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且y＝f(x＋1)的图象关于点(－1，0)成中心对称.当x＞0时，f(x)＝，则f(－2)＝(　　) A.1 B.3 C.－1 D.－3 (2)(多选题)下列说法中，正确的是(　　) A.函数f(x)＝的图象关于点(－2，2)中心对称 B.函数f(x)满足f(2x－1)为奇函数，则函数f(x)关于点(－1，0)中心对称 C.若函数y＝f(x)过定点(0，1)，则函数y＝f(x－1)＋1过定点(1，2) D.函数y＝的图象关于点(3，c)中心对称，则b＋c＝2 答案：(1)C　(2)ABC 解析：(1)因为将y＝f(x＋1)的图象向右平移1个单位长度后，得到函数y＝f(x)的图象且y＝f(x＋1)的图象关于点(－1，0)成中心对称，所以y＝f(x)的图象关于原点成中心对称，则y＝f(x)在R上是奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝－＝－1.故选C. (2)对于A，f(x)＝＝＝2－，其图象可以由y＝－的图象向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，且y＝－的图象关于原点对称，故f(x)＝的图象关于点(－2，2)中心对称，故A正确；对于B，因为f(2x－1)为奇函数，所以f(2x－1)＝－f(－2x－1)，所以f(x－1)＝－f(－x－1)，所以f(x)＝－f(－x－2)，所以函数f(x)关于点(－1，0)中心对称，故B正确；对于C，函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数y＝f(x－1)＋1的图象，由于y＝f(x)过定点(0，1)，故函数y＝f(x－1)＋1过定点(1，2)，故C正确；对于D，函数y＝＝＝1＋的图象关于点(3，c)中心对称，所以解得b＝3，c＝1，所以b＋c＝4，故D不正确.故选ABC. 考点三　两个函数图象的对称师生共研 (1)已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象(　　) A.关于直线x＝1对称 B.关于直线x＝3对称 C.关于直线y＝3对称 D.关于点(3，0)对称 (2)(2025·河北邯郸模拟)将函数f(x)的图象向右平移1个单位长度后，再向上平移4个单位长度，所得函数图象与曲线y＝4x关于直线x＝1对称，则f＝(　　) A.－4 B.－3 C.－2 D.4 答案：(1)A　(2)D 解析：(1)设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点，则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))，所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上，而P(x0，y0)与Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称，所以函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称.故选A. (2)函数y＝42－x的图象与函数y＝4x的图象关于直线x＝1对称，将y＝42－x的图象向下平移4个单位长度得到y＝42－x－4的图象，再将y＝42－x－4的图象向左平移1个单位长度得到y＝42－(x＋1)－4＝41－x－4的图象，即f(x)＝41－x－4，故f＝－4＝4.故选D. 　　函数y＝f(a＋x)的图象与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称.可以简记为：两个函数对称解方程，即由a＋x＝b－x，得x＝. 对点练2.(2025·福建厦门模拟)函数y＝f(1－x)的图象与函数y＝f(2＋x)的图象关于直线x＝m对称，其中m＝(　　) A.3 B. C.－1 D.－ 答案：D 解析：设点P(x，y)在函数y＝f(1－x)的图象上，点P关于直线x＝m的对称点为Q(x'，y')，则则y'＝f(1－2m＋x')，即y＝f(1－2m＋x)与y＝f(1－x)关于直线x＝m对称，则1－2m＝2，得m＝－.故选D. 学生用书⬇第32页 [真题再现]　(2024·新课标Ⅰ卷节选)已知函数f(x)＝ln＋ax＋b(x－1)3.证明：曲线y＝f(x)是中心对称图形. 证明：要使函数f(x)有意义，则＞0，故0＜x＜2，即f(x)的定义域为x∈(0，2)，f(2－x)＝ln＋a(2－x)＋b(1－x)3＝－ln－ax－b(x－1)3＋2a＝－f(x)＋2a， 故曲线y＝f(x)关于点(1，a)中心对称. [教材呈现]　(北师必修一P72A组T3)已知函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围. 点评：本题与教材习题均考查了函数的对称中心，都可以利用图形的平移得到对称中心，考点完全相同，掌握好基本函数的对称性和图象的变换是关键. 学科网（北京）股份有限公司 $