第二章 4 第三节 函数的奇偶性、周期性（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版）

该高中数学讲义聚焦函数奇偶性、周期性核心考点，依据课标要求构建“概念-性质-应用”逻辑体系，通过课标研读明确考向，常用结论归纳梳理规律，分考点（奇偶性判断、参数求解、不等式应用等）分层突破，结合自主检测、真题训练等环节，帮助学生系统掌握知识内在联系，形成解题思路。 讲义采用“概念辨析-性质探究-真题迁移”三阶教学法，以微提醒强调定义域前提培养严谨数学思维，多维探究（如奇偶性求参数、周期性与奇偶性综合）提升推理能力，真题与教材对比强化应用意识，分层练习（基础检测、能力提升）保障复习效果，助力教师精准把控节奏，有效提升学生应考能力。

第三节　函数的奇偶性、周期性 【课标研读】　1.结合具体函数了解函数奇偶性的概念和几何意义.　2.会运用基本初等函数的图象理解和研究函数的奇偶性.　3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性解决问题. 1.函数的奇偶性 [微提醒]　函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件. 2.函数的周期性 【常用结论】 (1)函数奇偶性的常用结论 ①如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(｜x｜). ②奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性. ③在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇. (2)函数周期性的常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： ①若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0). ②若f(x＋a)＝，则T＝2a(a＞0). ③若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a＞0). 【自主检测】 1.(多选题)下列命题是真命题的是(　　) A.若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0 B.存在既是奇函数，又是偶函数的函数 C.对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数 D.若T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈N＋)也是函数f(x)的周期 答案：BD 学生用书⬇第28页 2. (链接北师必修一P67例2，改编)给出下列函数，其中是奇函数的为(　　) A.f(x)＝x4 B.f(x)＝x＋ C.f(x)＝x3＋cos x D.f(x)＝ 答案：B 解析：根据函数奇偶性的定义，易判断f(x)＝x4 为偶函数，f(x)＝x＋为奇函数，f(x)＝x3＋cos x既不是偶函数也不是奇函数，f(x)＝为偶函数.故选B. 3.(链接北师必修一P69A组T3，改编)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　) A.－ B. C.－ D.　　　　 答案：D 解析：因为f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，所以a－1＋2a＝0，所以a＝.又f(－x)＝f(x)，所以b＝0，所以a＋b＝.故选D. 4.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2＋1，则f(2 026.5)等于(　　) A. B. C.2 D.1 答案：B 解析：由f(x＋2)＝f(x)，可知函数f(x)的周期为2，当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2＋1，所以f(2 026.5)＝f＝f＝＋1＝.故选B. 考点一　函数奇偶性的判断自主练透 1.(2024·天津卷)下列函数是偶函数的是(　　) A.f(x)＝ B.f(x)＝ C.f(x)＝ D.f(x)＝ 答案：B 解析：对于A，f(－x) ＝＝≠f，故f(x)不是偶函数；对于B，f(－x)＝＝＝f，故f(x)是偶函数；对于C，f(x)的定义域为{x｜x≠－1}，不关于原点对称，故f(x)不是偶函数；对于D，f(－x)＝＝＝－＝－f(x)，故f(x)是奇函数.故选B. 2.(多选题)下列函数中具有奇偶性的是(　　) A.f(x)＝x＋sin x B.f(x)＝(x－1) C.f(x)＝ln(－x) D.f(x)＝ 答案：ACD 解析：对于A，f(x)的定义域为R，由f(－x)＝－x＋sin(－x)＝－f(x)，知f(x)为奇函数；对于B，令0，解得x≤－1或x＞1，即函数f(x)的定义域为(－∞，－1]∪(1，＋∞)，不关于原点对称，即f(x)为非奇非偶函数；对于C，因为x2＋1＞x2，所以－x＞0恒成立，即f(x)的定义域为R，又f(－x)＋f(x)＝ln(＋x)＋ln(－x)＝0，故f(x)为奇函数；对于D，显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.因为当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，所以函数f(x)为奇函数.故选ACD. 3.(多选题)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的有(　　) A.f(x)g(x)是偶函数 B.｜f(x)｜＋g(x)是偶函数 C.f(x)｜g(x)｜是奇函数 D.｜f(x)g(x)｜是奇函数 答案：BC 解析：因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以｜f(x)｜是偶函数，｜g(x)｜是偶函数.根据一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f(x)g(x)为奇函数，f(x)｜g(x)｜为奇函数，所以｜f(x)g(x)｜为偶函数，故A、D错误，C正确；由两个偶函数的和还是偶函数得B正确.故选BC. 4. (2025·辽宁辽阳一模)若f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数是奇函数的是(　　) A.y＝f(2x＋2－x) B.y＝f(2x－x) C.y＝f(2x－2－x) D.y＝f(2x＋x) 答案：C 解析：依题意，f(x)是定义在R上的奇函数，f(－x)＝－f(x)，对于A，对于函数y＝f(2x＋2－x)，f(2－x＋2x)＝f(2x＋2－x)，所以函数y＝f(2x＋2－x)不是奇函数；对于B，对于函数y＝f(2x－x)，f(2－x＋x)≠－f(2x－x)，所以函数y＝f(2x－x)不是奇函数；对于C，对于函数y＝f(2x－2－x)，f(2－x－2x)＝－f(2x－2－x)，所以函数y＝f(2x－2－x)是奇函数；对于D，对于函数y＝f(2x＋x)，f(2－x－x)≠－f(2x＋x)，所以函数y＝f(2x＋x)不是奇函数.故选C. 1.判断函数奇偶性的方法 (1)定义法；(2)图象法；(3)性质法. 2.判断函数的奇偶性的关键点 (1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数. (2)判断f(x)与f(－x)的关系，在判断奇偶性的运算中，可以判断f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立. (3)正确识别常用函数(如y＝ax＋a－x是偶函数，y＝ax－a－x、y＝、y＝loga(－x)是奇函数)的奇偶性有助于判断复杂函数的奇偶性. 考点二　函数奇偶性的应用多维探究 角度1　已知函数的奇偶性求参数 (2023·全国乙卷)已知f(x)＝是偶函数，则a＝(　　) A.－2 B.－1 C.1 D.2 答案：D 解析：因为f(x)＝为偶函数，则f(x)－f(－x)＝－＝＝0，又因为x不恒为0，可得ex－e(a－1)x＝0，即ex＝e(a－1)x，则x＝(a－1)x，即1＝a－1，解得a＝2.故选D. 角度2　利用奇偶性求值(解析式) (1)设函数f(x)＝x5＋2x3＋3x＋1在区间[－2 025，2 025]上的最大值是M，最小值为m，则M＋m等于(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 (2)奇函数f(x)在(0，＋∞)上的解析式是f(x)＝x(1－x)，则函数f(x)在(－∞，0)上的解析式是(　　) A.f(x)＝－x(x－1) B.f(x)＝x(1＋x) C.f(x)＝－x(1＋x) D.f(x)＝x(x－1) 答案：(1)C　(2)B 解析：(1)由题意知，函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，令g(x)＝f(x)－1＝x5＋2x3＋3x，则函数g(x)为奇函数，所以g(x)在区间[－2 025，2 025]上的最大值与最小值之和为0，即M－1＋m－1＝0，所以M＋m＝2.故选C. (2)令x∈(－∞，0)，则－x∈(0，＋∞)，由已知可得f(－x)＝－x(1＋x)，因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－f(－x)＝x(1＋x).故选B. 角度3　利用奇偶性解不等式 若定义在R上的奇函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，且f(3)＝0，则满足xf(x－2)＜0的x的取值范围为(　　) 学生用书⬇第29页 A.(－∞，－1)∪(2，5) B.(－∞，－1)∪(0，5) C.(－1，0)∪(2，5) D.(－1，0)∪(5，＋∞) 答案：C 解析：因为定义在R上的奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(3)＝0，所以f(x)在(－∞，0)上也单调递增，且f(－3)＝0，f(0)＝0，所以当x∈(－∞，－3)∪(0，3)时，f(x)＜0，当x∈(－3，0)∪(3，＋∞)时，f(x)＞0，所以由xf(x－2)＜0，可得解得－1＜x＜0或2＜x＜5，即x∈(－1，0)∪(2，5).故选C. 1.利用函数的奇偶性求值或求参数值，需借助奇偶性转化为求已知区间上的函数值或得到参数的恒等式，然后求值.尤其对于“奇函数f(x)＋常函数A”的“最大值M＋最小值N”问题时，有结论M＋N＝2A成立. 2.利用函数的奇偶性画出函数在其对称区间上的图象，利用数形结合求解相关问题. 对点练1.(1)(2025·四川雅安模拟)已知函数f(x)＝cos 2x是偶函数，则实数a＝(　　) A.1 B.－1 C.2 D.－2 (2)已知函数f(x)是奇函数，函数g(x)是偶函数.若f(x)－g(x)＝xsin x，则f＝(　　) A. B.－ C.0 D.－1 (3)函数f(x)是定义域为R的奇函数，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝0，则不等式＞0的解集为　　　　　　　　. 答案：(1)B　(2)C　(3)(－∞，－2)∪(2，＋∞) 解析：(1)因为f(x)是定义域为R的偶函数，所以f(－x)＝cos＝cos 2x＝f(x)＝cos 2x，所以－aex＋＝ex－，即a＝－ex，则(a＋1)＝0恒成立，所以a＋1＝0，解得a＝－1.故选B. (2)由函数f(x)是奇函数，函数g(x)是偶函数，f(x)－g(x)＝xsin x，故f(－x)－g(－x)＝－xsin(－x)，即－f(x)－g(x)＝xsin x，将该式和f(x)－g(x)＝xsin x相减可得f(x)＝0，则f＝0.故选C. (3)由于f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝0，所以f(x)的大致图象如图所示.由f(－x)＝－f(x)可得，＝＝＞0，当x＜0时，只需f(x)＜0，由图象可知x＜－2；当x＞0时，只需f(x)＞0，由图象可知x＞2；综上，不等式的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞). 考点三　函数的周期性及应用师生共研 (一题多变)(1)(2025·河南焦作模拟)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝－，若f(－1)＝2，则f＝(　　) A.－ B. C.－2 D.2 (2)设f(x)是定义在R上且满足f(x＋1)＝f(x－1)的偶函数，当x∈[2，3]时，f(x)＝x，则x∈[－2，0]时，f(x)＝(　　) A.x＋4 B.2－x C.3－｜x＋1｜ D.2－｜x＋1｜ 答案：(1)A　(2)C 解析：(1)由f(x＋3)＝－，得f(x＋6)＝－，所以f(x＋6)＝f(x)，所以T＝6是函数f(x)的一个周期，所以f＝＝f(4)＝－，又f(x)是偶函数且f(－1)＝2，所以f(1)＝2，即f＝－.故选A. (2)因为f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，所以f(x)是周期为2的偶函数，x∈[2，3]时，f(x)＝x，所以x∈[－2，－1)时，(2＋x)∈[0，1)，(4＋x)∈[2，3)， 此时f(x)＝f(4＋x)＝4＋x；当x∈[－1，0]时，－x∈[0，1]，(2－x)∈[2，3]，此时f(x)＝f(－x)＝f(2－x)＝2－x，所以f(x)＝综上可得，x∈[－2，0]时，f(x)＝3－｜x＋1｜.故选C. [变式探究] 1.(变条件)本例(1)中f(x＋3)＝－改为f(x＋3)＝－，其余条件不变，则f(2 032)＝　　　　. 答案：－ 解析：由f(x＋3)＝－，得f(x＋6)＝－，所以f(x＋6)＝－1－，所以f(x＋9)＝－1－＝－1＋[1＋f(x)]＝f(x)，所以T＝9是函数f(x)的一个周期，所以f(2 032)＝(226×9－2)＝f(－2)，由f(－2＋3)＝－，即f(－2)＝－1－，又f(x)是偶函数且f(－1)＝2，所以f(1)＝2，即f(－2)＝－，所以f(2 032)＝－. 2.(变条件)本例(2)中f(x＋1)＝f(x－1)改为f(x＋1)＝2f(x－1)，其余条件不变，f(x)的解析式为f(x)＝　　　　　　　　. 答案： 解析：因为f(x＋1)＝2f(x－1)，所以f(x＋2)＝2f(x)，即f(x)＝f(x＋2)，f(x＋2)＝f(x＋4).x∈[2，3]时，f(x)＝x，所以x∈[－2，－1)时，(2＋x)∈[0，1)，(4＋x)∈[2，3)， 此时f(x)＝f(4＋x)＝(4＋x)＝1＋x；当x∈[－1，0]时，－x∈[0，1]，(2－x)∈[2，3]，此时f(x)＝f(－x)＝f(2－x)＝(2－x)＝1－x，所以f(x)＝ 解与函数的周期性有关的问题 1.根据题意，求出函数的周期. 2.利用函数的周期性，将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题. 对点练2.(1)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(x＋4)＝f(x)，当x∈时，f(x)＝则f＝(　　) A.0 B.1 C.2 D.e (2)(多选题)(2025·福建泉州模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则下列说法正确的是(　　) A.f(π)＝4－π B.f(x)是周期为4的周期函数 C.当1≤x≤3时，f(x)＝2－x D.当－4≤x≤4时，方程f(x)＝m(－1≤m＜0)的所有实根之和为4 答案：(1)C　(2)BC 解析：(1)f(x＋4)＝f(x)，故f(2 024)＝f(0)＝e，所以f(f(2 024))＝f(e)＝1＋ln e＝2.故选C. (2)由f(x＋2)＝－f(x)得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，则周期T＝4，故B正确；又当0≤x≤1时，f(x)＝x，所以f(π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝π－4，故A错误；当－1≤x≤0时，则0≤－x≤1，又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－(－x)＝x，所以当－1≤x≤1时，f(x)＝x，当1≤x≤3时，则－1≤x－2≤1，因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(x－2)＝－(x－2)＝2－x，故C正确；作出函数f(x)在[－4，4]的图象，如图，则f(x)的最小值为－1，若m＝－1，则方程f(x)＝m在[－4，4]的解为x1＝－1，x2＝3，则x1＋x2＝2，若－1＜m＜0，则方程f(x)＝m在[－4，4]的解共有4个，设从小到大依次为x1，x2，x3，x4，根据对称性可知x1＋x2＝－2，x3＋x4＝6，所以x1＋x2＋x3＋x4＝4，故D错误.故选BC. [真题再现]　(2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)ln为偶函数，则a＝(　　) A.－1 B.0 C. D.1 答案：B 解析：要使函数f(x)有意义，必须满足＞0，解得x＜－或x＞，因为函数f(x)是偶函数，所以对任意x∈∪，都有f(－x)＝f(x)，即(－x＋a)ln＝(x＋a)ln，则(x－a)ln＝(x＋a)ln对任意x∈∪恒成立，所以a＝0，故选B. [教材呈现]　(北师必修一P73B组T7)已知函数f(x)＝(x＋1)(x－a)是偶函数，求实数a的值. 点评：本题与教材习题结构形式、考点完全相同，均考查利用函数的奇偶性求参数的值；然后在教材的基础上函数关系式变得复杂，难度高于教材；掌握常见函数的奇偶性起到事半功倍的效果. 学科网（北京）股份有限公司 $