第二章 3 教材拓展3 分式函数与根式函数的值域（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版）

该高中数学高考复习资料聚焦分式与根式函数值域核心考点，以常见函数值域为基础，按分式型、根式型题型构建知识体系，通过考点梳理、方法指导（分离常数、判别式、换元等）、真题训练环节，帮助学生系统突破值域求解难点。 资料突出方法分类指导与核心素养融合，如分式型函数用分离常数法培养数学思维（推理能力），根式型函数用代数换元法强化数学语言（模型意识），设置题型示例与对点练分层训练，确保学生在有限时间内掌握解题策略，有效提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

分式函数与根式函数的值域 　　常见函数的值域 (1)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的值域为R. (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当a＞0时的值域为，当a＜0时的值域为. (3)反比例函数y＝(k≠0)的值域为{y∈R｜y≠0}. (4)指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的值域为{y｜y＞0}. (5)对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的值域为R. (6)正、余弦函数的值域为[－1，1]，正切函数的值域为R. (7)对勾函数y＝ax＋(a＞0，b＞0)的值域为∪. 题型一　分式型函数的值域 求下列函数的值域： (1)y＝；(2)y＝；(3)y＝. 解：(1)法一：(分离常数法)因为y＝＝＝－＋， 因为≠0，所以y≠－， 所以函数y＝. 法二：(反解法)由题意知，x≠－，则x＝， 所以所以y≠－， 所以函数y＝. (2)法一：(判别式法)因为x2－x＋1＝＋＞0， 所以这个函数定义域为R.整理函数得y(x2－x＋1)＝x2－x，即(y－1)x2－(y－1)x＋y＝0. 当y＝1时，方程无解；当y≠1时，所求函数的值域需要使得方程有解，即Δ＝(y－1)2－4y(y－1)≥0 解得－≤y＜1. 所以函数y＝. 法二：(分离常数法)由已知y＝＝＝1－＝1－∈. (3)(三角函数的有界性)因为－1≤cos x≤1， 所以2cos x＋3≠0， 所以2ycos x－3sin x＝1－3y， 可得cos(x＋θ)＝1－3y， 所以cos(x＋θ)＝， 因为≤1，所以(1－3y)2≤()2， 整理得5y2－6y－8≤0， 所以y∈. 1.形如f(x)＝的函数可以用反解法或分离常数法求值域. 2.分式的分子分母的最高次幂为二次，且定义域为R，可以利用判别式法求值域. 3.形如f(x)＝的函数可以利用数形结合或三角函数的有界性求值域. 对点练1.求下列函数的值域： (1)y＝；(2)y＝；(3)y＝. 解：(1)由已知得y＝＝＝1－，x2＋1≥1，0＜≤2， 所以－2≤－＜0， 所以函数y＝. (2)函数定义域为R，y＝ex－1，ex(y－1)＝－y－1. 当y＝1时方程不成立，所以y≠1. 当y≠1 时，ex＝. 因为ex＞0， 即＞0， 解得－1＜y＜1. 所以函数y＝的值域是(－1，1). (3)可看作P1(cos x，sin x)，P2(2，0)两点连线的斜率， 令k＝，即所求函数值域转化为求k的取值范围，借助图形： ＝tan 30°＝， ＝tan 150°＝－. 所以函数y＝. 学生用书⬇第27页 题型二　根式型函数的值域 求下列函数的值域： (1)y＝2x＋4；(2)y＝x－. 解：(1)(代数换元法)令t＝0，x＝1－t2， 所以y＝－2t2＋4t＋2＝－2(t－1)2＋4≤4， 所以函数y＝2x＋4. (2)(三角换元)设x＝cos θ，θ∈[0，π]， 则y＝cos θ－｜sin θ｜＝cos， 因为θ∈[0，π]，≤θ＋， 所以－1≤cos； 所以函数y＝x－值域为[－，1]. 　　形如f(x)＝ax＋b±(ac≠0)的函数常用换元法，换元法包括代数换元、三角换元，通过换元转化为求某些初等函数的值域，要注意新元的定义域. 对点练2.求下列函数的值域： (1)y＝2x－1－；(2)y＝x2＋4. 解：(1)设＝t，则x＝， 函数可化为y＝2×－1－t＝－t2－t＋，对称轴为t＝－1， 所以函数在[0，＋∞)上单调递减， 所以当t＝0时，ymax＝， 所以原函数的值域为. (2)令t＝，则x2＝， 由x2≥0及1－2x2≥0， 得0≤x2≤， 所以0≤t≤1， 则y＝＋4t＝－t2＋4t＋(0≤t≤1)，函数在[0，1]上单调递增， 因此当t＝0时，ymin＝； 当t＝1时，ymax＝4， 所以原函数的值域为. 学科网（北京）股份有限公司 $