第二章 2 第二节 函数的单调性和最值（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版）

该高中数学讲义紧扣函数单调性与最值高考核心考点，依据课标要求构建“定义—结论—应用”三层知识网络，系统梳理单调函数定义、区间判断、最值求解及综合应用。通过自主检测夯实基础，分考点讲解（判断、证明、应用），方法指导（定义法五步流程、复合函数“同增异减”），真题训练（2023全国甲卷等），助力学生突破难点。 资料以核心素养为导向，创新设计“定义法证明五步流程训练”“对勾函数数形结合分析”等活动，培养数学思维与数学眼光。分层练习（基础检测、综合对点练、真题拔高）结合教材与真题对比，保障复习效果。帮助学生高效构建知识网络，提升应考能力，为教师提供精准复习节奏把控依据。

第二节　函数的单调性和最值 【课标研读】　1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义.　2.掌握函数单调性的简单应用. 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果∀x1，x2∈D 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数y＝f(x)是增函数；当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y＝f(x)在区间I上单调递增 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就称函数y＝f(x)是减函数；当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y＝f(x)在区间I上单调递减 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，区间I叫做函数y＝f(x)的单调区间. [微提醒]　(1)求函数单调区间或讨论函数单调性必须先求函数的定义域.(2)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接.(3)函数在某个区间上是单调函数，但在整个定义域上不一定是单调函数. 2.函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈D，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M (1)∀x∈D，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M 结论 M为函数y＝f(x)的最大值 M为函数y＝f(x)的最小值 【常用结论】 (1)函数单调性的两个等价结论 ①∀x1，x2∈I且x1≠x2，有＞0或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔f(x)在区间I上单调递增. ②∀x1，x2∈I且x1≠x2，有＜0或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔f(x)在区间I上单调递减. (2)在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数；增函数－减函数＝增函数；减函数－增函数＝减函数. (3)函数y＝f(x)(f(x)＞0或f(x)＜0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反. (4)复合函数y＝f(g(x))的单调性的判断方法：同增异减. 【自主检测】 1.(多选题)下列结论错误的是(　　) A.因为f(x)在[－3，2]上是增函数，则f(－3)＜f(2) B.函数f(x)在(－2，3)上单调递增，则函数的单调递增区间为(－2，3) C.若函数f(x)在区间(1，2]和(2，3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1，3)上为增函数 D.函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞) 答案：BCD 学生用书⬇第24页 2.(链接北师必修一P65A组T2，改编)y＝在[3，4]上的最大值为(　　) A.2 B. C. D.4 答案：A 解析：y＝＝＝＋1，因为y＝＋1在[3，4]上单调递减，所以当x＝3时，y取得最大值，最大值为＋1＝2.故选A. 3.(链接北师必修一P65B组T3，改编)若函数f(x)＝(m－1)x＋b在R上是减函数，则f(m)与f(1)的大小关系是(　　) A.f(m)＜f(1) B.f(m)＞f(1) C.f(m)≤f(1) D.f(m)＝f(1) 答案：B 解析：因为函数f(x)＝(m－1)x＋b在R上是减函数，所以m－1＜0，得m＜1，因为f(x)在R上是减函数，所以f(m)＞f(1).故选B. 4.(链接北师必修一P65A组T4，改编)已知函数f(x)＝x2－2kx＋4在[5，20]上单调，则实数k的取值范围是　　　　. 答案：(－∞，5]∪[20，＋∞) 解析：因为函数f(x)＝x2－2kx＋4在[5，20]上单调，所以k≤5或k≥20. 考点一　函数单调性的判断自主练透 1.(2023·北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A.f(x)＝－ln x B.f(x)＝ C.f(x)＝－ D.f(x)＝3｜x－1｜ 答案：C 解析：对于A，因为y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝－ln x在(0，＋∞)上单调递减，故A错误；对于B，因为y＝2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，故B错误；对于C，因为y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)＝－在(0，＋∞)上单调递增，故C正确；对于D，因为f＝＝＝，f(1)＝3｜1－1｜＝30＝1，f(2)＝3｜2－1｜＝3，显然f(x)＝3｜x－1｜在(0，＋∞)上不单调，故D错误.故选C. 2.(2025·江苏徐州模拟)函数f(x)＝－的单调递增区间是(　　) A.(2，＋∞) B.(－∞，2) C. D.(－∞，2)，(2，＋∞) 答案：D 解析：函数f(x)＝－，所以f(x)＝－的单调递增区间为(－∞，2)，(2，＋∞).故选D. 3.函数y＝f(x)是实数集上的严格增函数，且a＋b＞0，则(　　) A.f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b) B.f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b) C.f(a)－f(b)＞f(－a)－f(－b) D.f(a)－f(b)＜f(－a)－f(－b) 答案：A 解析：因为a＋b＞0，所以a＞－b，b＞－a，又因为y＝f(x)在R上单调递增，所以f(a)＞f(－b)，f(b)＞f(－a)，所以f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b).故选A. 1.函数单调性的判断方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)导数法；(4)函数y＝f(g(x))的单调性遵循“同增异减”. 2.求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间. 考点二　利用定义证明函数的单调性师生共研 (一题多变)(2025·山东济南模拟)已知函数f(x)＝x＋，且f(1)＝2. (1)求m的值； (2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数还是减函数，并证明. 解：(1)因为f(1)＝2，所以1＋m＝2，所以m＝1. (2)函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，证明如下： 设x1，x2是(1，＋∞)上的任意两个实数， 且1＜x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝x1＋－＝x1－x2＋ ＝x1－x2－＝， 当1＜x1＜x2时，x1x2＞0，x1x2－1＞0，x1－x2＜0，从而f(x1)－f(x2)＜0， 即f(x1)＜f(x2)， 所以函数f(x)＝x＋在(1，＋∞)上为增函数. [变式探究] (变结论)判断函数f(x)在(－1，0)，(0，1)上是增函数还是减函数.(写出即可，不需证明) 答案：函数f(x)在(－1，0)，(0，1)上是减函数. 1.定义法证明或判断函数单调性的步骤 2.对勾函数y＝x＋(a＞0)的单调递增区间为(－∞，－)，(，＋∞)；单调递减区间是[－，0)，(0，]. 学生用书⬇第25页 对点练1.试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性. 解：设－1＜x1＜x2＜1， 则f(x)＝a＝a， f(x1)－f(x2)＝a－a＝， 由于－1＜x1＜x2＜1， 所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0， 故当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递减； 当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)， 函数f(x)在(－1，1)上单调递增. 考点三　函数单调性的应用多维探究 角度1　比较函数值的大小 (2023·全国甲卷)已知函数f(x)＝.记a＝f，b＝f，c＝f，则(　　) A.b＞c＞a B.b＞a＞c C.c＞b＞a D.c＞a＞b 答案：A 解析：令g(x)＝－(x－1)2，则g(x)开口向下，对称轴为x＝1，因为－1－＝－，而(＋)2－42＝9＋6－16＝6－7＞0，所以－1－＝－＞0，即－1＞1－，由二次函数的性质知g＜g，因为－1－＝－，而(＋)2－42＝8＋4－16＝4－8＝4(－2)＜0，即－1＜1－，所以g＞g.综上，g＜g＜g，又y＝ex为增函数，故a＜c＜b，即b＞c＞a.故选A. 角度2　解不等式 已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)＜2，则实数x的取值范围是　　　　　　　　　. 答案：(－，－2)∪(2，) 解析：因为函数f(x)＝ln x＋2x在定义域(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝ln 1＋2＝2，所以由f(x2－4)＜2，得f(x2－4)＜f(1)，所以0＜x2－4＜1，解得－＜x＜－2或2＜x＜，则实数x的取值范围是(－，－2)∪(2，). 角度3　求参数的取值范围 (1)已知函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围是(　　) A.[0，3) B.(0，3) C.[2，3) D.(2，3) (2)(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案：(1)A　(2)D 解析：(1)由题意得，函数f(x)为R上的增函数，有解得0≤a＜3，则实数a的取值范围是[0，3).故选A. (2)函数y＝2x在R上单调递增，而函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则有函数y＝x(x－a)＝－在区间(0，1)上单调递减，因此1，解得a≥2，所以实数a的取值范围是[2，＋∞).故选D. 角度4　求函数的最值 函数f(x)＝＋的最小值是　　　　. 答案： 解析：由题意知可得x≥3.易知f(x)在[3，＋∞)上为增函数，所以其最小值为f(3)＝. 1.比较函数值的大小时，转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决. 2.求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域. 3.利用单调性求参数的取值(范围)或最值时，根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值. 对点练2.(1)已知f(x)是偶函数，f(x)在[1，3]上单调递增，则f(1)，f(－2)，f(－3)的大小关系为(　　) A.f(1)＞f(－2)＞f(－3) B.f(－2)＞f(－3)＞f(1) C.f(－3)＞f(1)＞f(－2) D.f(－3)＞f(－2)＞f(1) (2)已知函数f(x)＝则不等式f(x＋2)＜f(x2＋2x)的解集是(　　) A.(－2，1) B.(0，1) C.(－∞，－2)∪(1，＋∞) D.(1，＋∞) (3)已知函数f(x)＝且对任意的x1≠x2，都有＜0，则实数a的取值范围是　　　　. (4)函数f(x)＝x－＋1在[1，4]的最大值为　　　　. 答案：(1)D　(2)C　(3)　(4) 解析：(1)因为f(x)是偶函数，所以f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3).因为f(x)在[1，3]上单调递增，所以f(3)＞f(2)＞f(1)，所以f(－3)＞f(－2)＞f(1).故选D. (2)由函数f(x)＝的图象(图略)可得f(x)在R上是增函数，则不等式f(x＋2)＜f(x2＋2x)等价于x＋2＜x2＋2x，即x2＋x－2＞0，解得x＞1或x＜－2，则原不等式的解集为(－∞，－2)∪(1，＋∞).故选C. (3)由题意知函数f(x)＝是R上的减函数，所以≤a＜，则实数a的取值范围是. (4)由y＝x在[1，4]上单调递增，且y＝在[1，4]上单调递减，可得f(x)＝x－＋1在[1，4]上单调递增，所以f(x)max＝f(4)＝. 学生用书⬇第26页 [真题再现]　(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝在R上单调递增，则实数a的取值范围是(　　) A.(－∞，0] B.[－1，0] C.[－1，1] D.[0，＋∞) 答案：B 解析：因为函数f(x)在R上单调递增，且当x＜0时，f(x)＝－x2－2ax－a，所以f(x)＝－x2－2ax－a在(－∞，0)上单调递增，所以－a≥0，即a≤0；当x≥0时，f(x)＝ex＋ln(x＋1)，所以函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增.若函数f(x)在R上单调递增，则－a≤f(0)＝1，即a≥－1.综上，实数a的取值范围是[－1，0].故选B. [教材呈现]　(北师必修一P73C组T3)已知函数f(x)＝在定义域R上是减函数，求实数a的取值范围. 点评：本题与教材习题形式、结构、考点完全相同，考查利用分段函数的单调性求参数的范围；然后在教材的基础上函数关系式变得复杂，难度高于教材. 学科网（北京）股份有限公司 $