第二章 1 第一节 函数（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版）

该高中数学讲义紧扣函数高考核心考点，涵盖概念、定义域、解析式及分段函数，按课标要求构建“定义要素—表示方法—考点突破”逻辑体系。通过课标研读明确考向，考点梳理夯实基础，方法指导提炼技巧，真题训练强化应用，助力学生系统突破函数难点。 资料采用分层教学策略，设自主检测、对点练及真题再现适配学情。如函数解析式教学中，通过换元法配凑法训练培养数学思维与推理能力，分段函数结合不等式问题提升逻辑分析能力，帮助学生高效掌握解题方法，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第一节　函　数 【课标研读】　1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域.　2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.　3.了解简单的分段函数，并能简单应用. 1.函数的概念 定义 给定实数集R中的两个非空数集A和B，如果存在一个对应关系f，使对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就把对应关系f称为定义在集合A上的一个函数 三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数 定义域 集合A称为函数的定义域，x称为自变量 值域 与x值对应的y值称为函数值，集合{f(x)｜x∈A}称为函数的值域 2.函数的表示法与分段函数 函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、列表法和图象法 分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数 【常用结论】 (1)直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点. (2)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集. 【自主检测】 1.(多选题)下列结论错误的是(　　) A.若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数 B.函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭曲线 C.y＝x0与y＝1是同一个函数 D.函数f(x)＝的定义域为R 答案：ABC 2.(链接北师必修一P57思考交流，改编)在下列图象中，表示函数图象的可能是(　　) 答案：D 解析：根据函数的定义可知，任意垂直于x轴的直线与函数图象至多有一个交点，只有D正确.故选D. 3.(多选题)(链接北师必修一P54例1，改编)下列各组中的两个函数是同一个函数的为(　　) A.y＝2x，n＝2m(m≥0) B.y＝x，v＝ C.f(x)＝｜x｜，g(x)＝ D.f(x)＝x，h(x)＝()2 答案：BC 解析：对于A，y＝2x的定义域为R，n＝2m的定义域为[0，＋∞)，定义域不同，不是同一个函数，故A错误；对于B，v＝＝u，两个函数的定义域相同，对应关系相同，是同一个函数，故B正确；对于C，g(x)＝＝｜x｜＝f(x)，两者是同一个函数，故C正确；对于D，f(x)＝x的定义域为R，h(x)＝()2的定义域为[0，＋∞)，不是同一个函数，故D错误.故选BC. 4.(双空题)(链接北师必修一P55例2，改编)已知函数f(x)＝x＋，则f(x)的定义域为　　　　　　　　；若f(a)＝2，则a的值为　　　　. 答案：(－∞，0)∪(0，＋∞)　1 解析：要使函数f(x)有意义，必须使x≠0，故f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞).由f(a)＝2得a＋＝2，解得a＝1. 学生用书⬇第21页 考点一　函数的定义域自主练透 1.(2025·河南郑州模拟)函数f(x)＝的定义域为(　　) A.(－∞，0] B.(－∞，1) C.[0，1) D.[0，＋∞) 答案：A 解析：函数f(x)＝有意义，等价于解得x≤0，故函数的定义域为(－∞，0].故选A. 2.(2025·北京东城模拟)函数f(x)＝＋的定义域为(　　) A.∪ B. C.∪ D. 答案：C 解析：令解得x≤－3且x≠－5，所以函数f(x)的定义域为∪.故选C. 3.(2025·江苏徐州模拟)已知函数f(x)的定义域为，则函数g(x)＝的定义域为(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：函数f(x)的定义域为，由函数g(x)＝有意义，得＜x≤3，所以函数g(x)的定义域为.故选A. 4.已知函数f(x)＝的定义域为R，则实数m的取值范围是　　　　. 答案： 解析：若函数f(x)的定义域为R，则有m＞0且Δ＝(m－2)2－4m(m－1)≤0，解得m，所以实数m的取值范围是. 1.若已知函数的解析式，使解析式中所含式子(运算)有意义，列出不等式或不等式组求解.注意对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 2.若已知f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. 3.若已知f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域. 考点二　函数的解析式师生共研 (1)已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式； (2)(一题多变)已知f＝x2＋，求f(x)的解析式； (3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式； (4)(一题多变)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式. 解：(1)(换元法)设1－sin x＝t，t∈[0，2]， 则sin x＝1－t， 因为f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x， 所以f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2]， 即f(x)＝2x－x2，x∈[0，2]. (2)(配凑法)因为f＝x2＋＝－2， 所以f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞). (3)(待定系数法)因为f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)， 所以3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17， 即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，所以 解得 所以f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7. (4)(解方程组法)因为2f(x)＋f(－x)＝3x，① 所以将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，② 由①②解得f(x)＝3x. [变式探究] 1.(变条件)若本例(2)条件变为f＝x4＋，则f(x)的解析式为　　　　　　　　. 答案：f(x)＝x2－2(x≥2) 解析：f＝x4＋＝－2，又x2＋2＝2，当且仅当x2＝，即x＝±1时等号成立.设t＝x2＋，则t≥2，所以f(t)＝t2－2(t≥2)，所以f(x)＝x2－2(x≥2). 2.(变条件)若本例(4)条件变为2f(x)＋f＝3x，则f(x)的解析式为　　　　　　　　. 答案：f(x)＝2x－，x≠0 解析：因为2f(x)＋f＝3x　①，所以将x用替换，得2f＋f(x)＝3·　②，由①②解得f(x)＝2x－，x≠0. 函数解析式的求法 1.已知函数f(g(x))的解析式，可用换元法或配凑法求解. 注意：(1)形如x±与x2＋，ax±a－x与a2x＋a－2x，sin x±cos x与sin xcos x 一般都运用配凑法； (2)无论换元还是配凑都要注意新元的范围. 2.若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法. 3.已知关于f(x)与f或f(－x)等的关系式，可用解方程组法. 学生用书⬇第22页 对点练1.(1)(2025·重庆模拟)已知函数f(1－x)＝，则f(x)＝(　　) A.－1 B.－1(x≠1) C.－1 D.－1(x≠1) (2)已知函数f(x)满足f(x)＋2f(2－x)＝－1，则f(x)＝　　　　　　　　　　. (3)已知f(f(x))＝4x＋9，且f(x)为一次函数，则f(x)＝　　　　　　　　. 答案：(1)B　(2)(x≠2且x≠0)　(3)2x＋3或－2x－9 解析：(1)令t＝1－x，则x＝1－t，且x≠0，则t≠1，可得f(t)＝＝－1(t≠1)，所以f(x)＝－1(x≠1).故选B. (2)由f(x)＋2f(2－x)＝－1，将x换成2－x，可得f(2－x)＋2f(2－(2－x))＝－1，即f(2－x)＋2f(x)＝－1，联立方程组解得f(x)＝(x≠2且x≠0). (3)因为f(x)为一次函数，所以设f(x)＝kx＋b(k≠0)，所以f(f(x))＝f(kx＋b)＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋b(k＋1)，因为f(f(x))＝4x＋9，所以k2x＋b(k＋1)＝4x＋9恒成立，所以所以f(x)＝2x＋3或f(x)＝－2x－9. 考点三　分段函数多维探究 角度1　分段函数求值 (2025·湖北武汉期中)已知函数f(x)＝则f(f(－1))的值为(　　) A.－1 B. C.－sin 1 D. 答案：A 解析：因为f(x)＝所以f(－1)＝＝，所以f(f(－1))＝f＝sin＝－1.故选A. 角度2　分段函数与方程、不等式 (1)(2025·浙江杭州期中)设f(x)＝若f(m)＝f，则f＝(　　) A.12 B.16 C.2 D.6 (2)(2025·重庆质检)已知函数f(x)＝则f(x)＜f(x＋1)的解集为　　　　　　. 答案：(1)D　(2) 解析：(1)依题意，函数f(x)在(0，1)上单调递增，在[1，＋∞)上单调递增，由f(m)＝f(m＋1)，知m＜m＋1，因此＝2(m＋1－1)，解得m＝，所以f＝f(4)＝6.故选D. (2)当x≤0时，x＋1≤1，f(x)＜f(x＋1)等价于x2－1＜(x＋1)2－1，解得－＜x≤0；当0＜x≤1时，x＋1＞1，此时f(x)＝x2－1≤0，f(x＋1)＝log2(x＋1)＞0，所以当0＜x≤1时，恒有f(x)＜f(x＋1)；当x＞1时，x＋1＞2，f(x)＜f(x＋1)等价于log2x＜log2(x＋1)，此时也恒成立.综上，不等式f(x)＜f(x＋1)的解集为. 关于分段函数求值(范围)、不等式问题的解题思路 1.求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值. 2.求自变量的值：在分段函数定义区间的各段上分别求出相应自变量的值，要代入检验. 3.在解决方程、不等式问题时，一是根据每一段的解析式分别求解；二是利用函数的图象快速解决. 对点练2.(1)(多选题)已知函数f(x)＝则下列关于函数f(x)的结论正确的是(　　) A.f(x)的定义域为R B.f(x)的值域为(－∞，4] C.若f(x)＝2，则x的值是－ D.f(x)＜1的解集为(－1，1) (2)(双空题)已知函数f(x)＝若f(a)＝4，则实数a的值是　　　　；若f(a)≥2，则实数a的取值范围是　　　　　　　　. 答案：(1)BC　(2)－2或5　[－3，－1)∪[4，＋∞) 解析：(1)函数f(x)＝的定义域是[－2，＋∞)，故A错误；当－2≤x＜1时，f(x)＝x2，值域为[0，4]，当x≥1时，f(x)＝－x＋2，值域为(－∞，1]，故f(x)的值域为(－∞，4]，故B正确；当x≥1时，令f(x)＝－x＋2＝2，无解，当－2≤x＜1时，令f(x)＝x2＝2，解得x＝－，故C正确；当－2≤x＜1时，令f(x)＝x2＜1，解得x∈(－1，1)，当x≥1时，令f(x)＝－x＋2＜1，解得x∈(1，＋∞)，故f(x)＜1的解集为(－1，1)∪(1，＋∞)，故D错误.故选BC. (2)若f(a)＝4，则解得a＝－2或a＝5.若f(a)≥2，则解得－3≤a＜－1或a≥4，所以实数a的取值范围是[－3，－1)∪[4，＋∞). [真题再现]　(2022·浙江卷)已知函数f(x)＝则f＝　　　　；若当x∈[a，b]时，1≤f(x)≤3，则b－a的最大值是　　　　. 答案：　3＋ 解析：由已知f＝－＋2＝，f＝＋－1＝，所以f＝.当x≤1时，由1≤f(x)≤3可得1≤－x2＋2≤3，所以－1≤x≤1，当x＞1时，由1≤f(x)≤3可得1≤x＋－1≤3，所以1＜x≤2＋，综上所述，1≤f(x)≤3等价于－1≤x≤2＋，所以[a，b]⊆[－1，2＋]，所以b－a的最大值为3＋. [教材呈现]　(北师必修一P70T2(2))已知f(x)＝求f(－5)，f(f(－1)). 点评：本题与教材习题角度相同，考查分段函数的求值；然后在教材的基础上增加不等式的考查，是源于教材、高于教材的具体体现. 学科网（北京）股份有限公司 $