第一章 7 第五节 第2课时 一元二次不等式及其应用（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版）

该高中数学讲义围绕一元二次不等式及其应用，依课标要求整合概念、三个二次关系、分式不等式等核心考点，按“概念-关系-应用”逻辑构建知识体系。通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生突破含参不等式解法、恒成立问题等难点，体现复习的系统性与针对性。 讲义创新采用分类讨论与转换主元策略，如含参不等式按a>0,a=0,a<0分层探究，培养学生数学思维与模型意识。设基础检测、能力提升、真题再现三级练习，配合即时反馈，助力教师精准把控节奏，高效提升学生解题与应考能力。

第2课时　一元二次不等式及其应用 【课标研读】　1.了解一元二次不等式的现实意义，能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.　2.了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 1.一元二次不等式 (1)一元二次不等式的概念 一般地，形如ax2＋bx＋c＞0，或ax2＋bx＋c＜0，或ax2＋bx＋c≥0，或ax2＋bx＋c≤0(其中，x为未知数，a，b，c均为常数，且a≠0)的不等式叫作一元二次不等式. (2)使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集. 2.三个二次之间的关系 y＝ax2＋bx＋c(a＞0) 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根 有两相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 一元二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象 ax2＋bx＋c＞0的解集 {x｜x＜x1，或x＞x2} R ax2＋bx＋c＜0的解集 {x｜x1＜x＜x2} ⌀ ⌀ 3.分式不等式与整式不等式 (1)＞0(＜0)⇔f(x)·g(x)＞0(＜0). (2)0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 【常用结论】 (1)简单的绝对值不等式｜x｜＞a(a＞0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；｜x｜＜a(a＞0)的解集为(－a，a). 记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间. (2)不等式ax2＋bx＋c＞0(＜0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定. ①不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立⇔ ②不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立⇔ 【自主检测】 1.(多选题)下列说法正确的是(　　) A.若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0 B.若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c＜0的解集一定不是空集 C.若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0(a＜0)的解集为R D.不等式0等价于(x－a)(x－b)≥0 答案：AB 2.(链接北师必修一P36例3，改编)不等式(x－3)(x＋2)＞0的解集是(　　) A.{x｜－2＜x＜3} B. C.{x｜x＞3，或x＜－2} D. 答案：C 解析：直接根据一元二次不等式解得x＞3，或x＜－2，则解集为{x｜x＞3，或x＜－2}.故选C. 学生用书⬇第17页 3.若关于x的不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为，则a＋b＝　　　　. 答案：－14 解析：依题意知故a＋b＝－14. 4.若不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，则实数k的取值范围为　　　　. 答案：(－3，0] 解析：当k＝0时，满足题意；当k≠0时，解得－3＜k＜0， 所以－3＜k≤0，即实数k的取值范围为(－3，0]. 考点一　三个“二次”间的关系自主练透 1.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若f(x)＞0的解集为{x｜－3＜x＜5}，则(　　) A.a＜0，2c－15b＝0 B.a＞0，2c－15b＝0 C.a＜0，2c＋15b＝0 D.a＞0，2c＋15b＝0 答案：A 解析：因为f(x)＞0的解集为{x｜－3＜x＜5}，所以a＜0，且－3，5是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，所以－3＋5＝－，－3×5＝，所以b＝－2a，c＝－15a，所以2c－15b＝0.故选A. 2.(2025·河北保定模拟)设集合A＝{x｜－3≤x≤3}，B＝，且A∩B＝{x｜－2≤x≤3}，则a＝(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 答案：C 解析：因为A∩B＝，所以－2是方程2x2＋(a－8)x－4a＝0的根，即8－2(a－8)－4a＝0，得a＝4，当a＝4时，2x2－4x－16≤0，解得－2≤x≤4，此时B＝{x｜－2≤x≤4}，满足A∩B＝{x｜－2≤x≤3}，所以a＝4.故选C. 3.(多选题)若不等式ax2－bx＋c＞0的解集是(－1，2)，则下列选项正确的是(　　) A.a＜0 B.b＜0且c＞0 C.a＋b＋c＞0 D.不等式ax2－cx＋b＜0的解集是R 答案：AB 解析：由题意，不等式ax2－bx＋c＞0的解集是(－1，2)，可得－1，2是方程ax2－bx＋c＝0的两个根，且a＜0，所以故A正确；则b＝a，c＝－2a，所以b＜0，c＞0，故B正确；当x＝－1时，a＋b＋c＝0，故C不正确；把b＝a，c＝－2a代入ax2－cx＋b＜0，可得ax2＋2ax＋a＜0，因为a＜0，所以x2＋2x＋1＞0，即(x＋1)2＞0，此不等式的解集为{x｜x≠－1}，故D不正确.故选AB. 1.一元二次方程的根就是对应一元二次函数的零点，也是对应一元二次不等式解集的端点值. 2.已知一元二次不等式的解集，可得到对应二次函数的开口方向及与x轴的交点，然后利用代入根或根与系数的关系求待定系数. 考点二　一元二次不等式的解法师生共研 (1)(2025·安徽阜阳期末)已知集合A＝{x｜x2＋x－2≤0}，B＝，则A∩B＝(　　) A.{x｜－2≤x≤2} B.{x｜－2≤x≤1} C.{x｜－2≤x≤－1} D.{x｜－2≤x＜－1} 答案：D 解析：A＝{x｜－2≤x≤1}，而B＝{x｜x＜－1，或x≥2}，故A∩B＝{x｜－2≤x＜－1}.故选D. (2)(一题多变)解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0(a∈R). 解：原不等式变为(ax－1)(x－1)＜0， ①当a＞0时，原不等式可化为(x－1)＜0，所以当a＞1时，解得＜x＜1； 当a＝1时，解集为⌀； 当0＜a＜1时，解得1＜x＜. ②当a＝0时，原不等式等价于－x＋1＜0，即x＞1. ③当a＜0时，＜1，原不等式可化为(x－1)＞0，解得x＞1或x＜. 综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为； 当a＝1时，不等式的解集为⌀； 当a＞1时，不等式的解集为； 当a＝0时，不等式的解集为{x｜x＞1}； 当a＜0时，不等式的解集为. [变式探究] (变条件)本例(2)变为：解关于x的不等式x2－x＋a≥0. 解：因为x2－x＋a≥0， 即0， 当a＞1时，解得x≥a或x≤1； 当a＝1时，0，所以不等式的解集为R； 当a＜1时，解得x≥1或x≤a. 综上可得，当a＞1时，不等式的解集为(－∞，1]∪[a，＋∞)；当a＝1时，不等式的解集为R；当a＜1时，不等式的解集为∪. 　　对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有： (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类. (2)根据判别式Δ与0的关系进行分类. (3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行分类. 对点练1.(1)(多选题)下列说法正确的是(　　) A.不等式x2－12x＋20＞0的解集为{x｜x＜2，或x＞10} B.不等式x2－5x＋6＜0的解集为 C.不等式9x2－6x＋1＞0的解集为R D.不等式－2x2＋2x－3＞0的解集为⌀ 答案：ABD 解析：对于A，不等式x2－12x＋20＞0的解集为，或，故A正确；对于B，不等式x2－5x＋6＜0的解集为，故B正确；对于C，不等式9x2－6x＋1＞0的解集为，故C错误；对于D，不等式－2x2＋2x－3＞0，即＋＜0，解集为⌀，故D正确.故选ABD. 学生用书⬇第18页 (2)解关于x的不等式x2－ax＋1≤0. 解：由题意知，Δ＝a2－4， ①当a2－4＞0，即a＞2或a＜－2时， 方程x2－ax＋1＝0的两根为x＝， 所以解集为. ②若Δ＝a2－4＝0，则a＝±2. 当a＝2时，原不等式可化为x2－2x＋1≤0， 即(x－1)2≤0，所以x＝1； 当a＝－2时，原不等式可化为x2＋2x＋1≤0， 即(x＋1)2≤0，所以x＝－1. ③当Δ＝a2－4＜0，即－2＜a＜2时， 原不等式的解集为⌀. 综上，当a＞2或a＜－2时，原不等式的解集为 ； 当a＝2时，原不等式的解集为{1}； 当a＝－2时，原不等式的解集为{－1}； 当－2＜a＜2时，原不等式的解集为⌀. 考点三　一元二次不等式恒(能)成立问题多维探究 角度1　在R上恒成立问题 (2025·河南南阳模拟)不等式x2＋2x－4＜0对x∈R恒成立，则实数a的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：当a－2＝0，即a＝2时，－4＜0恒成立，当a－2≠0时，因为x2＋2x－4＜0对x∈R恒成立，所以解得－2＜a＜2.综上，－2＜a≤2，即实数a的取值范围为.故选C. 角度2　在给定区间上恒成立问题 已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x｜－2＜x＜3}，且对于∀x∈[1，5]，不等式bx2＋amx＋2c＞0恒成立，则实数m的取值范围为(　　) A. B. C.(13，＋∞) D.(－∞，13) 答案：B 解析：由不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x｜－2＜x＜3}，可知－2，3为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，且a＜0，故－＝－2＋3＝1，＝(－2)×3＝－6，即b＝－a，c＝－6a，则不等式bx2＋amx＋2c＞0变为－ax2＋amx－12a＞0，由于a＜0，x∈[1，5]，则上式可转化为m＜x＋在x∈[1，5]上恒成立，又x＋2＝4，当且仅当x＝2时等号成立，故m＜4，所以实数m的取值范围为(－∞，4).故选B. 角度3　在给定参数范围的恒成立问题 (1)(2025·江西九江期末)若命题“∃a∈[1，3]，ax2＋(a－2)x－2＞0”是假命题，则x不能等于(　　) A.－1 B.0 C.0.5 D.1 (2)(2025·八省适应性测试)已知函数f(x)＝x｜x－a｜－2a2，若当x＞2时，f(x)＞0，则实数a的取值范围是(　　) A.(－∞，1] B.[－2，1] C.[－1，2] D.[－1，＋∞) 答案：(1)D　(2)B 解析：(1)根据题意，知原命题的否定“∀a∈，ax2＋x－2≤0”为真命题.令f(a)＝(x2＋x)a－2x－2，故解得－1≤x≤.故选D. (2)当a＞2，x＞2时，f(x)＝x｜x－a｜－2a2＝当2＜x＜a时，f＝－x2＋ax－2a2，此时Δ＝a2－4×2a2＝－7a2＜0，所以f＜0，不满足当x＞2时，f(x)＞0，故a＞2不符合题意.当0＜a≤2，x＞2时，f(x)＝x｜x－a｜－2a2＝x2－ax－2a2＝＞0，解得x＞2a，由于x＞2时，f(x)＞0，故2a≤2，解得0＜a≤1.当a＝0，x＞2时，f(x)＝x2＞0恒成立，符合题意.当a＜0，x＞2时，f(x)＝x－2a2＝x2－ax－2a2＝＞0，解得x＞－a，由于x＞2时，f(x)＞0，故－a≤2，解得－2≤a＜0.综上－2≤a≤1.故选B. 恒成立问题的三种解法 1.一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ. 2.一元二次不等式在给定区间上恒成立，一般分离参数或分类讨论. 3.已知参数范围，求x的范围采用转换主元的方法解决. 对点练2.(一题多问，一题练透)已知关于x的不等式2x－1＞m(x2－1). (1)是否存在实数m，使不等式对任意x∈R恒成立？请说明理由. (2)若不等式对任意x∈[0，1]恒成立，求实数m的取值范围. (3)对于m∈[－2，2]，不等式恒成立，求实数x的取值范围. (4)若不等式在[2，3]上有解，求实数m的取值范围. 解：(1)原不等式等价于mx2－2x＋(1－m)＜0， 当m＝0时，－2x＋1＜0不恒成立； 当m≠0时，若不等式对于任意实数x恒成立， 则需m＜0且Δ＝4－4m(1－m)＜0，无解， 所以不存在实数m，使不等式恒成立. (2)令f(x)＝mx2－2x－m＋1. 当m＞0时，解得m＞1； 当m＝0时，－2x＋1＜0在[0，1]上不恒成立； 当m＜0时，因为二次函数图象的对称轴为直线x＝，抛物线开口向下，所以只需f(0)＝－m＋1＜0，解得m＞1，矛盾. 综上，实数m的取值范围为(1，＋∞). (3)利用转换主元法，设g(m)＝(x2－1)m－(2x－1). 若当m∈[－2，2]时，g(m)＜0恒成立， 则 解得＜x＜， 所以实数x的取值范围为. (4)因为x∈[2，3]，不等式可整理为m＜， 即m＜， 设2x－1＝t∈[3，5]，则x2－1＝， 所以m＜＝＝. 因为函数y＝t和函数y＝－在[3，5]上均为增函数，所以函数y＝t－＋2在[3，5]上为增函数，则函数y＝在[3，5]上为减函数， 所以m＜＝1. 故实数m的取值范围为(－∞，1). 学生用书⬇第19页 [真题再现]　(2023·新课标Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x｜x2－x－6≥0}，则M∩N＝(　　) A.{－2，－1，0，1} B.{0，1，2} C.{－2} D.{2} 答案：C 解析：法一：因为N＝{x｜x2－x－6≥0}＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)，而M＝{－2，－1，0，1，2}，所以M∩N＝{－2}.故选C. 法二：因为M＝{－2，－1，0，1，2}，将－2，－1，0，1，2代入不等式x2－x－6≥0，只有－2使不等式成立，所以M∩N＝{－2}.故选C. [教材呈现]　(北师必修一P44A组T5)求下列不等式的解集： (1)2x2－7x－15＜0； (2)－x2＋4x－3≤0. 点评：两题均考查了一元二次不等式的解法，在解一元二次不等式时首先将不等式化为标准形式，然后再利用根与系数的关系解题. 学科网（北京）股份有限公司 $