第一章 6 第五节 第1课时 一元二次函数及其性质（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版）

该高中数学高考复习讲义聚焦一元二次函数与不等式核心考点，涵盖解析式三种形式、图象性质及最值问题，按“概念梳理-性质探究-应用突破”逻辑架构知识，通过课标研读明确要求，结合表格对比a>0与a<0时的函数性质，构建完整知识网络。教学流程设计包含考点自主练透、师生共研典型例题、真题再现等环节，助力学生突破解析式求法、图象识别及含参最值等难点。 资料突出数学思维与直观结合的教学创新，如用“数学眼光”分析函数图象特征，通过一题多解（三种解析式求法）培养推理意识，设置变式探究（最值问题区间分类讨论）提升解题灵活性。分层练习覆盖基础检测、能力提升及真题演练，精准对接高考要求，能有效帮助学生高效掌握核心方法，为教师把控复习节奏提供清晰教学路径。

第五节　一元二次函数与一元二次不等式 第1课时　一元二次函数及其性质 【课标研读】　1.理解二次函数的图象和性质.　2.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. 1.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). (2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n). (3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点. 2.二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0) 图象(抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 续表 函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0) 单调性 在上是减函数； 在上是增函数 在上是增函数； 在上是减函数 【常用结论】 (1)对于二次函数y＝f(x)，如果f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)，那么二次函数y＝f(x)关于直线x＝对称；如果对于定义域内的所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)，则二次函数y＝f(x)关于直线x＝a对称. (2)若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时，恒有f(x)＞0；当时，恒有f(x)＜0. 【自主检测】 1.(多选题)下列说法不正确的是(　　) A.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴下方，则a＜0且Δ＜0 B.若二次函数y＝ax2＋bx＋c的两个零点确定，则二次函数的解析式确定 C.二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[m，n])的最值一定是 D.二次函数y＝ax2＋bx＋c在上单调递减，在上单调递增 答案：BCD 2.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若a＞b＞c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是(　　) 答案：D 解析：由a＞b＞c且a＋b＋c＝0，得a＞0，c＜0，所以函数f(x)是二次函数，图象开口向上，排除A，C；又f(0)＝c＜0，所以排除B；只有D符合.故选D. 3.(链接北师必修一P33T1，改编)函数y＝x2－2x＋4的最小值为　　　　. 答案：3 解析：y＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋3，故当x＝1时，ymin＝3. 4.已知y＝f(x)为二次函数，若y＝f(x)在x＝2处取得最小值－4，且y＝f(x)的图象经过原点，则函数解析式为　　　　　　　　. 答案：f(x)＝x2－4x 解析：由题意，可设f(x)＝a(x－2)2－4(a＞0)，又图象过原点，所以f(0)＝4a－4＝0，a＝1，所以f(x)＝(x－2)2－4＝x2－4x. 学生用书⬇第14页 考点一　二次函数的解析式自主练透 1.(一题多解)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则f(x)＝　　　　　　. 答案：－4x2＋4x＋7 解析：法一：(利用“一般式”)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).由题意得所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 法二：(利用“顶点式”)设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).因为f(2)＝f(－1)，所以抛物线的对称轴为x＝＝，所以m＝.又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8，所以f(x)＝a＋8.因为f(2)＝－1，所以a＋8＝－1，解得a＝－4，所以f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7. 法三：(利用“零点式”)由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值8，即＝8，解得a＝－4或a＝0(舍).故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 2.已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，则二次函数的解析式为　　　　　　　. 答案：y＝x2＋x－或y＝－x2－x＋ 解析：因为二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以可设二次函数为y＝a(x＋3)(x－1)(a≠0)，展开得，y＝ax2＋2ax－3a，顶点的纵坐标为＝－4a，由于二次函数图象的顶点到x轴的距离为2，所以｜－4a｜＝2，即a＝±，所以二次函数的解析式为y＝x2＋x－或y＝－x2－x＋. 3.已知y＝f(x)是二次函数，且f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，则y＝f(x)＝　　　　　　　. 答案：x2－x＋1 解析：因为f(0)＝1，y＝f(x)是二次函数，所以设f(x)＝ax2＋bx＋1，又因为f(x＋1)－f(x)＝2x，所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2ax＋a＋b＝2x，所以2a＝2，a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1，所以f(x)＝x2－x＋1. 　　求二次函数的解析式常用待定系数法：若已知图象经过三点的坐标选用一般式；已知顶点坐标、对称轴方程或最值选用顶点式；已知与x轴两交点坐标选用零点式. 考点二　二次函数的图象师生共研 (1)(2025·广东惠州模拟)已知一次函数y＝ax＋b的图象如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx的图象可能是(　　) (2)(多选题)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论正确的为(　　) A.b2＞4ac 　　　B.2a－b＝1 C.a－b＋c＝0 　　　D.5a＜b 答案：(1)D　(2)AD 解析：(1)由一次函数的图象可知：a＜0，b＞0，所以二次函数y＝ax2＋bx的图象开口向下，且对称轴为x＝－＞0.故选D. (2)因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，故A正确；对称轴为x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，故B错误；结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，故C错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a.根据抛物线开口向下，知a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，故D正确.故选AD. 　　对二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”指顶点和关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”指对称轴；“一开口”指抛物线的开口方向. 对点练1.(1)(多选题)(2025·河南南阳模拟)在一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，其中a与b同号，那么函数的图象可能为(　　) (2)(多选题)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列说法正确的是(　　) A.2a＋b＝0 B.4a＋2b＋c＜0 C.9a＋3b＋c＜0 D.abc＜0 答案：(1)BC　(2)ACD 解析：(1)对于A，开口向上，a＞0，对称轴－＞0，所以b＜0，与已知矛盾，故A错误；对于B，开口向上，a＞0，对称轴－＜0，所以b＞0，满足条件，故B正确；对于C，开口向下，a＜0，对称轴－＜0，所以b＜0，满足条件，故C正确；对于D，开口向下，a＜0，对称轴－＞0，所以b＞0， 与已知矛盾，故D错误.故选BC. (2)由二次函数图象开口向下知a＜0，对称轴为x＝－＝1，即2a＋b＝0，故b＞0.又因为f(0)＝c＞0，所以abc＜0.f(2)＝f(0)＝4a＋2b＋c＞0，f(3)＝f(－1)＝9a＋3b＋c＜0.故选ACD. 考点三　二次函数的最值师生共研 (一题多变)已知函数f(x)＝x2－tx－1. (1)若f(x)在区间(－1，2)上不单调，求实数t的取值范围； (2)若x∈[－1，2]，求f(x)的最小值g(t). 解：f(x)＝x2－tx－1＝－1－. (1)依题意，－1＜＜2，解得－2＜t＜4，所以实数t的取值范围是(－2，4). (2)①当2，即t≥4时，f(x)在[－1，2]上单调递减，所以f(x)min＝f(2)＝3－2t. ②当－1＜＜2，即－2＜t＜4时，f(x)min＝f＝－1－. ③当≤－1，即t≤－2时，f(x)在[－1，2]上单调递增，所以f(x)min＝f(－1)＝t. 综上，g(t)＝ 学生用书⬇第15页 [变式探究] (变结论)本例条件不变，求当x∈[－1，2]时，f(x)的最大值G(t). 解：f(－1)＝t，f(2)＝3－2t，f(2)－f(－1)＝3－3t， 当t≥1时，f(2)－f(－1)≤0，所以f(2)≤f(－1)，所以f(x)max＝f(－1)＝t； 当t＜1时，f(2)－f(－1)＞0，所以f(2)＞f(－1)，所以f(x)max＝f(2)＝3－2t， 综上有G(t)＝ 闭区间上二次函数最值的解法 1.抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴. 2.根据对称轴与区间的关系进行讨论. 对点练2.已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x－2且f(1)＝0. (1)求f(x)的解析式； (2)设g(x)＝f(x)＋x－1，x∈，求函数g(x)的最小值h. 解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c，a≠0， 则a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c－ax2－bx－c＝2x－2，即2ax＋a＋b＝2x－2， 故故f(x)＝x2－3x＋c， 又f(1)＝0，故1－3＋c＝0，解得c＝2，所以f(x)＝x2－3x＋2. (2)g(x)＝x2＋ax＋1，x∈，对称轴为x＝－，当－＜－2，即a＞4时，g(x)在上单调递增，故x＝－2时，g(x)取得最小值，故h＝g(－2)＝5－2a； 当－2≤－≤1，即－2≤a≤4时，当x＝－时，g(x)取得最小值， 故h＝g＝－＋1＝－＋1； 当－＞1，即a＜－2时，g(x)在上单调递减， 当x＝1时，g(x)取得最小值，故h＝g(1)＝1＋a＋1＝2＋a. 综上，h＝ [真题再现]　(2024·北京卷)已知M＝{(x，y)｜y＝x＋t(x2－x)，1≤x≤2，0≤t≤1}是平面直角坐标系中的点集.设d是M中两点间的距离的最大值，S是M表示的图形的面积，则(　　) A.d＝3，S＜1 B.d＝3，S＞1 C.d＝，S＜1 D.d＝，S＞1 答案：C 解析：设f(t)＝x＋(x2－x)t，当x＝1时，f(t)＝1；当1＜x≤2时，x2－x＞0，所以f(t)单调递增，所以当0≤t≤1时，f(0)≤f(t)≤f(1)，即x≤f(t)≤x2，则集合M表示的区域如图中阴影部分所示. 连接AC，由图易知，d＝｜AC｜＝＝，S＜S△ABC＝×(4－2)×(2－1)＝1.故选C. [教材呈现]　(北师必修一P33例1)已知一元二次函数y＝x2＋2x＋5. (1)指出它的图象可以由函数y＝x2的图象经过怎样的变换而得到； (2)指出它的图象的对称轴，试述函数值的变化趋势及函数的最大值或最小值. 点评：数形结合是以形助数，见数想图，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解. 学科网（北京）股份有限公司 $