第一章 4 第四节 基本不等式（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版）

该高中数学讲义围绕基本不等式高考核心考点，涵盖定义理解、最值求解、参数范围及实际应用，按“概念-方法-应用”逻辑架构知识体系。通过课标研读明确要求，自主检测夯实基础，考点分层探究（配凑、代换等方法），真题训练对接高考，助力学生系统突破难点。 讲义以“数学思维”和“数学语言”为指导，创新采用多维探究教学法，如通过配凑法、常数代换法等突破最值求解难点，设置分层练习（基础检测、能力提升）和真题再现。能快速提升学生解题策略与应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第四节　基本不等式 【课标研读】　1.掌握基本不等式(a≥0，b≥0).　2.能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题. 3.掌握基本不等式在实际问题中的应用. 1.基本不等式 [微提醒]　在运用基本不等式及其变形时，一定要验证等号是否成立. 2.利用基本不等式求最值 当x，y均为正数时，下面的命题均成立： (1)若x＋y＝s(s为定值)，则当且仅当x＝y时，xy取得最大值. (2)若xy＝p(p为定值)，则当且仅当x＝y时，x＋y取得最小值2. [微提醒]　(1)利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”.(2)利用基本不等式求最值简记为：积定和最小，和定积最大. 【常用结论】 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R). (2)＋2(a，b同号). (3)ab≤.要根据两数积、两数和、两数平方和选择合适的形式. 【自主检测】 1.(多选题)下列命题中不正确的是(　　) A.不等式a2＋b2≥2ab与成立的条件是相同的 B.若x＞0，则y＝x＋的最小值是2 C.函数y＝sin x＋，x∈的最小值是4 D.“x＞0且y＞0”是“＋2”的充要条件 答案：ACD 解析：不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，成立的条件是a≥0，b≥0.故A错误；由于x∈(0，＋∞)，故函数y＝x＋的最小值为2.故B正确；由于x∈，sin x＝时，sin x＝±2无解，故sin x＋的最小值不为4.故C错误；“＋2”的充要条件是“xy＞0”.故D错误.故选ACD. 2.(链接北师必修一P30A组T7，改编)设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　) A.77 B.80 C.81 D.82 答案：C 解析：xy≤＝81，当且仅当x＝y＝9时，等号成立.故选C. 3.(链接北师必修一P28T4，改编)函数y＝x＋(x≥0)的最小值为　　　　. 答案：1 解析：因为x≥0，所以x＋1＞0，＞0，利用基本不等式得y＝x＋＝x＋1＋－1≥2－1＝1，当且仅当x＋1＝，即x＝0时，等号成立.所以函数y＝x＋(x≥0)的最小值为1. 4.(链接北师必修一P30练习T3，改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是　　　　 m2. 答案：25 解析：设矩形的一边为x m，面积为y m2，则另一边为×(20－2x)＝(10－x) m，其中0＜x＜10，所以y＝x(10－x)≤＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，等号成立，所以ymax＝25，即矩形场地的最大面积是25 m2. 考点一　基本不等式的理解及常见变形自主练透 1. 若0＜a＜b，则下列不等式一定成立的是(　　) A.b＞＞a＞ B.b＞＞＞a C.b＞＞＞a D.b＞a＞＞ 答案：C 解析：因为0＜a＜b，所以2b＞a＋b，所以b＞＞.因为b＞a＞0，所以ab＞a2，所以＞a.故b＞＞＞a.故选C. 2.《几何原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明.现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半 学生用书⬇第10页 圆，过点C作AB的垂线交半圆于点D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为点E，则该图形可以完成的无字证明为(　　) A.(a＞0，b＞0) B.a2＋b2≥2ab(a＞0，b＞0) C.(a＞0，b＞0) D.(a＞0，b＞0) 答案：C 解析：根据图形，利用射影定理得CD2＝DE·OD，又OD＝AB＝(a＋b)，CD2＝AC·CB＝ab，所以DE＝＝，由于OD≥CD，所以(a＞0，b＞0).由于CD≥DE，所以＝(a＞0，b＞0).故选C. 3.(多选题)已知a，b∈R，则下列不等式成立的是(　　) A. B. C. D.ab≤ 答案：BD 解析：对于A，由选项可知a与b同号，当a＞0且b＞0时，由基本不等式可知恒成立，当a＜0且b＜0时，＜0，＞0，该不等式不成立，故A错误；对于B，当a＋b＞0时，＞0，则－＝＝≤0恒成立，即恒成立，当a＋b≤0时，原不等式恒成立，故B正确；对于C，当a＋b＞0时，2ab－＝≤0，即2ab≤，恒成立，当a＋b＜0时，2ab－＝≤0，即2ab≤，，故C错误；对于D，由重要不等式可知，a，b∈R，ab≤恒成立，故D正确.故选BD. 　　在利用基本不等式或其变形时，注意不等式成立及等号成立的条件；另注意特殊值的应用. 考点二　利用基本不等式求最值多维探究 角度1　配凑法 (1)(2025·湖南衡阳期末)函数y＝＋x的最小值为(　　) A.8 B.9 C.10 D.11 (2)已知0＜x＜1，则x(3－2x)的最大值为　　　　. 答案：(1)C　(2) 解析：(1)由x＞2，则x－2＞0，则y＝＋＋2≥2＋2＝10，当且仅当＝x－2，即x＝6时取等号.故选C. (2)因为0＜x＜1，所以3－2x＞0，x(3－2x)＝·2x(3－2x)≤·＝，当且仅当2x＝3－2x，即x＝时取等号. 角度2　常数代换法 (1)(2025·江苏扬州模拟)已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，则的最小值为(　　) A.4 B.4 C.6 D.2＋3 (2)(2025·广东深圳期末)已知正实数a，b满足a＋4b＝ab，则a＋b的最小值为(　　) A.4 B.9 C.10 D.20 答案：(1)D　(2)B 解析：(1)因为x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，所以＝＋＝＝＋＋3≥2＋3＝2＋3，当且仅当＝，即x＝，y＝－1时取等号.故选D. (2)因为a，b为正实数，方程a＋4b＝ab两边同时除以ab得＋＝1，所以a＋b＝＝＋4＋1＋2＋5＝9，当且仅当＝时等号成立，故a＋b的最小值为9.故选B. 角度3　消元法 (2025·山西太原模拟)已知正实数x，y满足x2＋3xy－2＝0，则2x＋y的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：因为正实数x，y满足x2＋3xy－2＝0，则y＝－，则2x＋y＝2x＋－＝＋2＝，当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立，所以2x＋y的最小值为.故选A. 角度4　换元法 已知正数x，y满足＋＝1，则x＋y的最小值为　　　　. 答案： 解析：令x＋2y＝m，2x＋y＝n，则＋＝1，m＋n＝(x＋2y)＋(2x＋y)＝3(x＋y)，所以x＋y＝＝(m＋n)＝×＝，当且仅当＝，即m＝2，n＝2时等号成立，此时x＝y＝，故x＋y的最小值为. 1.要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式求最值. 2.常数代换法主要解决形如“已知x＋y＝t(t为常数)，求＋的最值”的问题，先将＋·，再用基本不等式求最值. 3.当所求最值的代数式中的变量多元时，先考虑消元，再凑出积、和为常数的形式，最后利用基本不等式求最值. 4.角度4中的换元法实质还是配凑法或者常数代换法的拓展，在已知条件或者所求表达式的分母上出现一次二项式时，可尝试使用. 对点练1.(1)(多选题)下列选项正确的是(　　) A.当x＞时，函数y＝x＋的最小值是 B.已知m，n∈，4m－mn＝1，则m＋的最小值为4 C.的最小值是2 D.已知正实数a，b，若a＋＝1，则＋b的最小值为9 (2)(多选题)(2025·苏锡常镇联考)已知正数a，b满足ab＝a＋b＋1，则(　　) 学生用书⬇第11页 A.a＋b的最小值为2＋2 B.ab的最小值为1＋ C.＋的最小值为2－2 D.2a＋4b的最小值为16 (3)已知x，y为正实数，则＋的最大值为　　　　. 答案：(1)ABD　(2)AC　(3) 解析：(1)对于A，因为x＞，所以2x－1＞0，x－＞0，所以y＝x＋＝x＋＝x－＋＋2＋＝4＋＝，当且仅当x－＝，即x＝时取等号，故A正确；对于B，∀m，n∈，由4m－mn＝1得＋n＝4，m＋＝＝＝4，当且仅当mn＝，即m＝1，n＝3时等号成立，故B正确；对于C，因为＝＝＋2，等号成立的条件是x2＝－3，所以等号不成立，即最小值不是2，故C错误；对于D，已知a，b为正实数，若a＋＝1，则a＝1－＝， b＞4，＋b＝＋b＝5＋＋b－4≥5＋2＝9，当且仅当＝b－4，即b＝6，a＝时取等号，故D正确.故选ABD. (2)对于A，a＋b＋1＝ab≤，则(a＋b)2－4(a＋b)－4≥0，解得a＋b≥2＋2，当且仅当a＝b时等号成立，故A正确；对于B，ab＝a＋b＋1≥3＋2，当且仅当a＝b时等号成立，故B错误；对于C，＋＝＝＝1－1－＝2－2，当且仅当a＝b时等号成立，故C正确；对于D，由a＋b＋1＝ab，得4＝(a－1)(2b－2)≤，解得a＋2b≥7，当且仅当a＝2b－1，即a＝3，b＝2时等号成立，所以2a＋4b＝2a＋22b≥22＝16，此时a＝2b，所以等号不能同时取得，故D错误.故选AC. (3)令2x＋y＝m，x＋2y＝n，则x＝，y＝，且m＞0，n＞0，因此＋＝＋＝＋＝－－2＝，当且仅当＝，即m＝n时取等号，则＋. 考点三　利用基本不等式求参数的值或范围师生共研 (1)若对任意的x＞－1，不等式x＋－1≥a恒成立，则实数a的取值范围是　　　　. (2)已知不等式(x＋y)9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为　　　　. 答案：(1)(－∞，0]　(2)4 解析：(1)因为不等式x＋－1≥a恒成立，则a，因为x＞－1，所以x＋－1＝x＋1＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＝0时取等号，所以a≤0.即实数a的取值范围为(－∞，0]. (2)已知不等式(x＋y)9对任意正实数x，y恒成立，只需(x＋y)的最小值大于或等于9，因为(x＋y)＝1＋a＋＋a＋2＋1＝(＋1)2，当且仅当y＝x时，等号成立，所以(＋1)2≥9，所以a≥4，即正实数a的最小值为4. 　　分离参数法是处理此类问题的首选方法，一般转化为基本不等式求最值或转化为求某个函数的最值问题. 对点练2.(1)(2025·安徽蚌埠模拟)已知a2＋b2＝k，若＋1恒成立，则k的最大值为(　　) A.4 B.5 C.24 D.25 (2)设k＞0，若关于x的不等式kx＋12在(1，＋∞)上恒成立，则k的最小值为　　　　. 答案：(1)C　(2)4 解析：(1)因为a2＋b2＝k，所以a2＋(b2＋1)＝k＋1，所以(k＋1)＝[a2＋(b2＋1)]＝＋＋13≥2＋13＝25，当且仅当＝，即3a2＝2(b2＋1)＝(k＋1)时等号成立，即＋，由题意可得1，又k＞0，解得0＜k≤24，故k的最大值为24.故选C. (2)原不等式变形为k(x－1)＋＋k≥12，则原问题转化成不等式k(x－1)＋12－k在(1，＋∞)上恒成立，所以只需12－k≤即可.由基本不等式可知，k(x－1)＋2＝4，当且仅当k(x－1)＝时等号成立，所以只需12－k≤4成立，即(＋6)(－2)≥0，所以k≥4，即kmin＝4. 考点四　基本不等式的实际应用师生共研 某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计三个等高的宣传栏(栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形)，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm.当直角梯形的高为　　　　 cm时，用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小). 答案：12 解析：设直角梯形的高为x cm，因为宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2，且海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm，所以海报宽AD＝x＋4，海报长DC＝＋8，故S矩形ABCD＝AD·DC＝(x＋4)＝8x＋＋1 472≥2＋1 472＝192＋1 472，当且仅当8x＝，即x＝12时，等号成立.所以当直角梯形的高为12 cm时，用纸量最少. 　　利用基本不等式求解实际问题时，根据实际问题设出变量，注意变量的实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，基本不等式求得函数的最值. 对点练3.某小区要建一座八边形的休闲公园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200 m2的十字形地域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4 200元/m2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪，造价为80元/m2.设总造价为S(单位：元)，AD长为x(单位：m)，则S的最小值是　　　　，此时x的值是　　　　. 答案：118 000　 解析：由题知，AM＝，又AM＞0，则0＜x＜10，S＝4 200x2＋210×(200－x2)＋80×2×＝4 200x2＋42 000－210x2＋＝4 000x2＋＋38 000≥2＋38 000＝80 000＋38 000＝118 000，当且仅当4 000x2＝，即 x＝时等号成立，所以当x＝时，S取最小值118 000. [真题再现]　(多选题)(2022·新高考Ⅱ卷)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则(　　) A.x＋y≤1 B.x＋y≥－2 C.x2＋y2≤2 D.x2＋y2≥1 答案：BC 解析：因为ab≤(a，b∈R)，由x2＋y2－xy＝1可变形为－1＝3xy≤，解得－2≤x＋y≤2，当且仅当x＝y＝－1时，x＋y＝－2，当且仅当x＝y＝1时，x＋y＝2，故A错误，B正确；由x2＋y2－xy＝1可变形为－1＝xy≤，解得x2＋y2≤2，当且仅当x＝y＝±1时取等号，故C正确；因为x2＋y2－xy＝1变形可得＋y2＝1，设x－＝cos θ，y＝sin θ，所以x＝cos θ＋sin θ，y＝sin θ，因此x2＋y2＝cos2θ＋sin2θ＋sin θcos θ＝1＋sin 2θ－cos 2θ＋＝＋sin∈，所以当x＝，y＝－时满足等式，但是x2＋y2≥1不成立，故D错误.故选BC. [教材呈现]　(北师必修一P30A组T5(2)(4)) (2)x2＋y2； (4). 点评：从命题情境角度上，高考真题与教材题目“形似”，都考查了二元二次方程相关的知识.从解题方法上看“法同”，通过构造变形采用基本不等式法和换元法求解.体现了高考试题对于同一考点可以变换角度与变换题型进行考查. 学科网（北京）股份有限公司 $