第一章 3 第三节 不等式的性质（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版）

该高中数学讲义聚焦不等式的性质高考核心考点，涵盖比较大小、不等式性质及应用，按“概念-性质-应用”逻辑架构知识体系。通过课标研读明确要求，自主检测诊断学情，考点分层训练（自主练透、师生共研、变式探究）突破作差法、性质应用等难点，体现复习的系统性和针对性。 讲义特色在于结合真题改编与变式训练，如比较数式大小采用求差法培养运算能力，性质应用中通过整体代换求取值范围发展推理能力。设置基础巩固与能力提升分层练习，配合即时反馈，助力学生高效掌握考点，为教师把控复习节奏提供清晰指引。

第三节　不等式的性质 【课标研读】　1.理解用作差法比较两个实数的大小的理论依据.　2.理解不等式的概念与性质，掌握不等式性质的简单应用. 1.两个实数比较大小的方法 2.不等式的性质 性质1　传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c； 性质2　可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c； 性质3　可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc； 性质4　同向可加性：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d； 性质5　同向同正可乘性： (1)a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd； (2)a＞b＞0，c＜d＜0⇒ac＜bd； (3)同正可乘方性：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N＋，n≥2)； 性质6　同正可开方性：a＞b＞0⇒＞(n∈N＋，n≥2). 【常用结论】 (1)若ab＞0，且a＞b⇔＜. (2)若a＞b＞0，m＞0⇒＜；若b＞a＞0，m＞0⇒＞. 【自主检测】 1.(多选题)下列说法正确的是(　　) A.两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种 B.若＞1，则a＞b C.同向不等式具有可加性和可乘性 D.两个数的比值大于1，则分子不一定大于分母 答案：AD 2.(多选题)(链接北师必修一P30A组T1，改编)下列命题为真命题的是(　　) A.若ac2＞bc2，则a＞b B.若a＞b＞0，则a2＞b2 C.若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 D.若a＜b＜0，则＞ 答案：ABD 解析：C中，若a＝－2，b＝－1，则a2＞ab＞b2.故C错误. 3.(链接北师必修一P26T2，改编)如图两种广告牌，其中图①是由两个等腰直角三角形构成的，图②是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母a，b的不等式表示出来(　　) A.＞ab B.＜ab C.ab D.≤ab 答案：A 解析：图①是由两个等腰直角三角形构成的，面积S1＝a2＋b2.图②是一个矩形，面积S2＝ab.可得(a2＋b2)＞ab(a≠b).故选A. 4.(链接北师必修一P25例1)设M＝x2＋y2＋1，N＝2(x＋y－1)，则M与N的大小关系为　　　　. 答案：M ＞N 解析：M－N＝x2＋y2＋1－2x－2y＋2＝(x－1)2＋(y－1)2＋1＞0.故M＞N. 学生用书⬇第8页 考点一　比较数(式)的大小 自主练透 1.若a＜0，b＜0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为(　　) A.p＜q B.p≤q C.p＞q D.p≥q 答案：B 解析：p－q＝＋－a－b＝＋＝(b2－a2)·＝＝，因为a＜0，b＜0，所以a＋b＜0，ab＞0.若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；若a≠b，则p－q＜0，故p＜q.综上，p≤q.故选B. 2.(2025·浙江金华模拟)设a，b，c的平均数为M，a与b的平均数为N，N与c的平均数为P.若a＞b＞c，则(　　) A.N＜P B.P＜M C.N＜M D.M＋N＜2P 答案：B 解析：根据题意得，M＝，N＝，P＝＝＝.对于A，N－P＝－＝，因为a＞b＞c，所以a－c＞0，b－c＞0，所以a＋b－2c＞0，所以N－P＝＞0，所以N＞P，故A错误；对于B，M－P＝－＝，因为a＞b＞c，所以a－c＞0，b－c＞0，所以a＋b－2c＞0，所以M－P＝＞0，所以M＞P，故B正确；对于C，M－N＝－＝，因为a＞b＞c，所以c－a＜0，c－b＜0，所以2c－a－b＜0，所以M－N＝＜0，所以M＜N，故C错误；对于D，因为M＞P，N＞P，所以M＋N＞2P，故D错误.故选B. 3.eπ·πe与ee·ππ的大小关系为　　　　. 答案：eπ·πe＜ee·ππ 解析：＝＝，又0＜＜1，0＜π－e＜1，所以 ＜1，即＜1，即eπ·πe＜ee·ππ. 比较大小的常用方法 考点二　不等式的性质师生共研 (1)(2025·江西景德镇模拟)已知a＜b＜0，那么下列不等式成立的是(　　) A.＜ B.ab＜b2 C.＞ D.＞1 (2)(多选题)(2025·安徽淮北模拟)已知a，b，c∈R，下列命题为真命题的是(　　) A.若a＞b＞c，则a＋b＞c B.若a＞b＞，则a2＞b2＞c2 C.若a＜b＜c＜0，则＞ D.若a＞b＞c＞0，则＜ 答案：(1)D　(2)BD 解析：(1)对于A， －2＜－1＜0，而－＞－1，故A不成立；对于B，－2＜－1＜0，而×＞，故B不成立；对于C，－＝，因为a＜b＜0，所以ab＞0，a2＞b2，－＜0，即＜，故C不成立；对于D，－1＝，因为a＜b＜0，所以＞0，即＞1，故D成立.故选D. (2)当b为负数时，例如－2＞－3＞－4，但－2＋＞－4是错误的，故A错误；因为a＞b＞0，根据不等式性质可得a2＞b2＞c2，故B正确；因为a＜b＜0，所以＞0，所以a·＜b·＜0，即＜＜0，所以＞＞0，故C错误；因为a＞b＞c＞0，所以－＝＝＜0，所以＜，故D正确.故选BD. 解决不等式性质有关问题常用的两种方法 对点练1.(1)已知x＞y，则下列不等式正确的是(　　) A.1－x＜1－y B.x2＞y2 C.＞1 D.xz＞yz (2)(多选题)(2025·湖南长沙模拟)设a，b，c，d为实数，且a＞b＞0＞c＞d，则下列不等式正确的有(　　) A.c2＜cd B.a－c＜b－d C.ac＜bd D.－＞0 答案：(1)A　(2)AD 解析：(1)因为x＞y，所以－x＜－y，所以－x＋1＜－y＋1，即1－x＜1－y，故A正确；当x＝－1，y＝－2时，满足x＞y，但x2＝1，y2＝4，此时x2＜y2，＝＝＜1，故B，C错误；当z＜0时，由x＞y可得xz＜yz，故D错误.故选A. (2)对于A，由0＞c＞d和不等式性质可得c2＜cd，故A正确；对于B、C，因为a＞b＞0＞c＞d，若取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，则a－c＝b－d，故B错误；ac＝bd，故C错误；对于D，因为a＞b＞0，则0＜＜，又因为0＞c＞d，则0＜－c＜－d，由不等式的同向同正可乘性，得－＜－，故－＞0，故D正确.故选AD. 考点三　不等式性质的应用师生共研 (一题多变)已知－1＜x＜4，2＜y＜3，则x－y的取值范围是　　　　，3x＋2y的取值范围是　　　　. 答案：(－4，2)　(1，18) 解析：因为－1＜x＜4，2＜y＜3，所以－3＜－y＜－2，所以－4＜x－y＜2，则x－y的取值范围是(－4，2).由－1＜x＜4，2＜y＜3，得－3＜3x＜12，4＜2y＜6，所以1＜3x＋2y＜18，则3x＋2y的取值范围是(1，18). [变式探究] 1.(变结论)本例条件不变，则的取值范围是　　　　. 答案：[0，2) 解析：由题意0≤｜x｜＜4，＜＜，则0≤＜2. 2.(变条件)若将本例中条件改为－1＜x＋y＜4，2＜x－y＜3，则3x＋2y的取值范围为　　　　. 答案： 解析：设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，则即3x＋2y＝(x＋y)＋(x－y)，又因为－1＜x＋y＜4，2＜x－y＜3，所以－＜(x＋y)＜10，1＜(x－y)＜，所以－＜(x＋y)＋(x－y)＜，即－＜3x＋2y＜，所以3x＋2y的取值范围为. 利用不等式的性质求代数式的取值范围的注意点 1.必须严格运用不等式的性质. 2.在多次运用不等式的性质时，一般利用整体代换建立待求范围式子与已知范围式子的关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围. 对点练2.(1)(多选题)已知实数x，y满足－1≤x＋y≤3，4≤2x－y≤9，则(　　) A.1≤x≤4 B.－2≤y≤1 C.2≤4x＋y≤15 D.≤x－y≤6 (2)已知实数a，b，c满足a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，那么的取值范围是　　　　. 答案：(1)AC　(2) 解析：(1)因为－1≤x＋y≤3，4≤2x－y≤9，所以3≤3x≤12，所以1≤x≤4，故A正确；因为所以－2≤－3y≤11，解得－≤y≤，故B错误；因为4x＋y＝2(x＋y)＋(2x－y)，－2≤2(x＋y)≤6，4≤2x－y≤9，所以2≤4x＋y≤15，故C正确；因为x－y＝－(x＋y)＋(2x－y)，－1≤－(x＋y)≤，(2x－y)≤6，所以≤x－y≤，故D错误.故选AC. (2)由于a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，所以a＞0，c＜0，b＝－a－c，－a－c＜a，2a＞－c，＞－2，－a－c＞c，－a＞2c，＜－，所以－2＜＜－，即. 学科网（北京）股份有限公司 $