第一章 2 第二节 常用逻辑用语（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版）

该高中数学讲义聚焦常用逻辑用语高考核心考点，涵盖充分必要条件判定、全称与存在量词命题等内容，按“定义梳理-结论总结-应用拓展”逻辑架构知识，通过表格对比明晰量词命题否定规律，结合考点分类讲解、方法指导及真题训练，帮助学生系统突破逻辑推理难点。 讲义采用“一题多变”变式训练和多维探究模式，如通过条件转化深化必要充分条件理解，结合“改量词否结论”规律培养数学语言表达能力。设置分层练习，配合真题与教材链接分析，助力教师精准把控节奏，高效提升学生逻辑思维与应考能力。

第二节　常用逻辑用语 【课标研读】　1.理解充分条件、必要条件、充要条件的含义.　2.理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系、数学定义与充要条件的关系.　3.理解全称量词命题与存在量词命题的含义，能正确对两种命题进行否定. 1.必要条件、充分条件与充要条件 2.全称量词命题和存在量词命题 (1)全称量词和存在量词 量词名称 常见量词 符号表示 全称量词 所有、每一个、任意、任何、一切等 ∀ 存在量词 有些、有一个、存在等 ∃ (2)全称量词命题与存在量词命题的否定 命题名称 符号表示 命题的否定 全称量词命题 ∀x∈M，x具有性质p(x) ∃x∈M，x不具有性质p(x) 存在量词命题 ∃x∈M，x具有性质p(x) ∀x∈M，x不具有性质p(x) [微提醒]　对没有量词的命题否定时，要结合命题的含义加上量词，再改变量词. 【常用结论】 (1)p是q的充分不必要条件，等价于¬q是¬p的充分不必要条件. (2)含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”. (3)命题p和¬p的真假性相反，在判断命题的真假时，可先判断此命题的否定的真假. 【自主检测】 1.(多选题)下列说法正确的是(　　) A.p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件 B.“三角形的内角和为180°”是全称量词命题 C.命题“所有素数都是奇数”的否定是“所有素数都不是奇数” D.命题“∃x∈R，sin2＋cos2＝”是真命题 答案：AB 2.(链接北师必修一P23A组T3，改编)命题“∀x∈R，ex－1≥x”的否定是(　　) A.∃x∈R，ex－1≥x B.∀x∈R，ex－1≤x C.∃x∈R，ex－1＜x D.∀x∈R，ex－1＜x 答案：C 解析：由题意得命题“∀x∈R，ex－1≥x”的否定是“∃x∈R，ex－1＜x”.故选C. 3.(多选题)(链接北师必修一P22A组T1，改编)对任意实数a，b，c，给出下列命题，其中假命题是(　　) 学生用书⬇第5页 A.“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件 B.“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件 C.“a＜5”是“a＜3”的必要条件 D.“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充分不必要条件 答案：ABD 4.(链接北师必修一P23B组T1，改编)“m＜”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的　　　　条件.(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案：充分不必要 解析：若一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解，则Δ＝1－4m≥0，解得m≤，因为⫋，所以“m＜”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的充分不必要条件. 考点一　必要、充分条件的判定自主练透 1.(2024·天津卷)设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：C 解析：由函数y＝x3单调递增可知，若a3＝b3，则a＝b；由函数y＝3x单调递增可知，若3a＝3b，则a＝b.故“a3＝b3”是“3a＝3b”的充要条件.故选C. 2.(2024·全国甲卷理)设向量a＝(x＋1，x)，b＝(x，2)，则(　　) A.x＝－3 是a⊥b的必要条件 B.x＝－3是a∥b的必要条件 C.x＝0是a⊥b的充分条件 D.x＝－1＋是a∥b的充分条件 答案：C 解析：a⊥b⇔x2＋x＋2x＝0⇔x＝0或x＝－3，所以x＝－3是a⊥b的充分条件，x＝0是a⊥b的充分条件，故A错误，C正确.a∥b⇔2x＋2＝x2⇔x2－2x－2＝0⇔x＝1±，故B、D错误.故选C. 3.(多选题)(2025·广西北海期末)下列说法正确的是(　　) A.“＞”是“a＞b”的充分不必要条件 B.“A＝⌀”是“A∩B＝⌀”的充分不必要条件 C.若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c” D.若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“＋≠0”的充要条件 答案：BD 解析：对于A，当a＝2，b＝3时， ＞，a＜b；当a＝－1，b＝－2时， a＞b，＜，所以两者既不充分也不必要，故A错误；对于B，当A∩B＝⌀时，可取A＝，B＝，但A≠⌀；当A＝⌀时，A∩B＝⌀，故B正确；对于C，当ab2＞cb2时， b2＞0，从而a＞c，反之，a＞c时，若b＝0，则ab2＝cb2，所以两者不是充要条件，故C错误；对于D，a2＋b2≠0⇔a≠0或b≠0⇔＋≠0，故D正确.故选BD. 判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 1.定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假. 2.集合法：即利用集合的包含关系判断. 3.传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性. 考点二　必要、充分条件的应用师生共研 (一题多变)已知P＝{x｜x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x｜1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要条件，则实数m的取值范围为　　　　. 答案：[0，3] 解析：由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，所以P＝{x｜－2≤x≤10}.因为x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P，又S≠⌀，所以解得0≤m≤3，所以实数m的取值范围为[0，3]. [变式探究] 1.(变条件)条件“若x∈P是x∈S的必要条件”变为“¬P是¬S的必要不充分条件”，其他条件不变，则实数m的取值范围为　　　　. 答案：[9，＋∞) 解析：由例题知P＝{x｜－2≤x≤10}.因为¬P是¬S的必要不充分条件，所以P是S的充分不必要条件，所以P⇒S且S P，所以[－2，10]⫋[1－m，1＋m]，所以所以m≥9，则m的取值范围是[9，＋∞). 2.(变设问)条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？并说明理由. 解：不存在，理由如下.由例题知P＝{x｜－2≤x≤10}.若x∈P是x∈S的充要条件， 则P＝S，所以这样的m不存在. 根据必要、充分条件求解参数范围的注意点 1.把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. 2.要注意区间端点值的检验. 对点练1.(多选题)“关于x的不等式ax2－4ax＋4＞0对∀x∈R恒成立”的一个充分不必要条件是(　　) A.0＜a＜ B.0＜a＜1 C.0≤a＜1 D.a≥0 答案：AB 解析：当a＝0时，4＞0对∀x∈R恒成立，符合题意；当a≠0时，解得0＜a＜1，综上，实数a的取值范围是[0，1).所以“0＜a＜”是“关于x的不等式ax2－4ax＋4＞0对∀x∈R恒成立”的充分不必要条件，故A正确；“0＜a＜1”是“关于x的不等式ax2－4ax＋4＞0对∀x∈R恒成立”的充分不必要条件，故B正确；“0≤a＜1”是“关于x的不等式ax2－4ax＋4＞0对∀x∈R恒成立”的充要条件，故C错误；“a≥0”是“关于x的不等式ax2－4ax＋4＞0对∀x∈R恒成立”的必要不充分条件，故D错误.故选AB. 考点三　全称量词命题与存在量词命题多维探究 角度1　含量词命题的否定 (多选题)(2025·陕西渭南期末)下列说法正确的是(　　) 学生用书⬇第6页 A.“菱形是正方形”是全称命题 B.“∀x，y∈R，x2＋y2≥0”的否定是“∃x，y∈R，x2＋y2＜0” C.命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“有一个奇数能被3整除” D.“A＝B”是“sin A＝sin B”的必要不充分条件 答案：AB 解析：对于A，“菱形是正方形”即是“所有的菱形是正方形”是全称命题，故A正确；对于B，“∀x，y∈R，x2＋y2≥0”的否定是“∃x，y∈R，x2＋y2＜0”，故B正确；对于C，命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“所有的奇数能被3整除”，故C错误；对于D，A＝B⇒sin A＝sin B，sin A＝sin BA＝B，如A＝，B＝，故A＝B是sin A＝sin B的充分不必要条件，故D错误.故选AB. 角度2　含量词命题真假的判断 (2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，｜x＋1｜＞1；命题q：∃x＞0，x3＝x.则(　　) A.p和q都是真命题 B. ¬p和q都是真命题 C.p和¬q都是真命题 D.¬p和¬q都是真命题 答案：B 解析：因为∀x∈R，｜x＋1｜≥0，所以命题p为假命题，所以¬p为真命题.因为x3＝x，所以x3－x＝0，所以x＝0，即x(x＋1)(x－1)＝0，解得x＝－1或x＝0或x＝1，所以∃x＞0，使得x3＝x，所以命题q为真命题，所以¬q为假命题，所以¬p和q都是真命题.故选B. 角度3　含量词命题的应用 (1)(2025·四川成都模拟)已知命题“∀x∈，ex－－m≥0”为真命题，则实数m的取值范围为(　　) A. B. C. D. (2)已知函数f(x)＝x2－2x＋3，g(x)＝log2x＋m，若对任意x1，x2∈[1，4]，f(x1)＞g(x2)恒成立，则实数m的取值范围是　　　　. 答案：(1)A　(2)(－∞，0) 解析：(1)因为命题“∀x∈，ex－－m≥0”为真命题，所以∀x∈，m≤ex－.令f(x)＝ex－，x∈，故f(x)为增函数，当x＝1时，f(x)有最小值e－2，即m≤e－2，则实数m的取值范围为(－∞，e－2].故选A. (2)f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，当x∈[1，4]时，f(x)min＝f(1)＝2，g(x)max＝g(4)＝2＋m.由题知f(x)min＞g(x)max，即2＞2＋m，解得m＜0，故实数m的取值范围是(－∞，0). 含量词命题的解题策略 1.判定含量词命题的真假时，一是直接判断，二是判断其否定的真假. 2.由命题真假求参数的范围时，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是利用等价命题求参数的范围. 3.含有双量词问题的类型 (1)∀x1，x2∈D，f(x1)≤g(x2)恒成立⇔≤g(x2)min. (2)∀x1∈D1，∃x2∈D2，使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x1)min≥g(x2)min. (3)∃x1∈D1，∃x2∈D2，使得f(x1)＝g(x2)⇔f(x1)的值域与g(x2)的值域的交集非空. (4)∀x1∈D1，∃x2∈D2，使得f(x1)＝g(x2)⇔f(x1)的值域是g(x2)值域的子集. 对点练2.(1)(多选题)(2025·广西北海期末)下列说法正确的是(　　) A.命题“对任意x∈R，x2＋x＋1＜0”的否定是“存在x∉R，使得x2＋x＋1≥0” B.“＜1”的充分不必要条件是“a＞1” C.设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件 D.设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的充分不必要条件 (2)(开放题)(2025·安徽阜阳期末)已知命题p：∃x∈R，x2＋2mx＋3≤0，请写出一个满足“p为假命题”的整数m的值：　　　　. (3)已知f(x)＝x2，g(x)＝－m，若∀x1∈[－1，3]，∃x2∈[0，2]，f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是　　　　　　　. 答案：(1)BC　(2)－1(答案不唯一) (3) 解析：(1)对于A，命题“对任意x∈R，x2＋x＋1＜0”的否定是“存在x∈R，使得x2＋x＋1≥0”，故A错误；对于B，＜1⇒a＜0或a＞1，因为⫋{a｜a＜0，或a＞1}，所以“a＞1”是“＜1”的充分不必要条件，故B正确；对于C，当x≥2且y≥2时，x2≥4且y2≥4，则x2＋y2≥8≥4，所以具有充分性，令x＝2，y＝1，x2＋y2＝5≥4，但“x≥2且y≥2”不成立，所以不具有必要性，所以“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件，故C正确；对于D，因为“ab＝0”是“a＝0”的必要不充分条件，所以“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件，故D错误.故选BC. (2)由命题p：∃x∈R，x2＋2mx＋3≤0为假命题，则∀x∈R，x2＋2mx＋3＞0恒成立，得Δ＝4m2－4×3＜0，解得－＜m＜，所以整数m的值可为－1(答案不唯一). (3)因为对∀x1∈[－1，3]，∃x2∈[0，2]，f(x1)≥g(x2)，所以f(x1)min≥g(x2)min.因为f(x)＝x2，x∈[－1，3]，所以f(x)min＝f(0)＝0.因为g(x)＝－m，x∈[0，2]，所以g(x)min＝g(2)＝－m.由0－m，得m，所以实数m的取值范围是. [真题再现]　(2023·天津卷)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 答案：B 解析：由a2＝b2，则a＝±b，当a＝－b≠0时，a2＋b2＝2ab不成立，充分性不成立；由a2＋b2＝2ab，则(a－b)2＝0，即a＝b，显然a2＝b2成立，必要性成立；所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件.故选B. [教材呈现]　(北师必修一P44A组T1(3))a＋b＞2c的一个充分条件是(　　) A.a＞c或b＞c B.a＞c且b＜c C.a＞c且b＞c D.a＞c或b＜c 点评：两题均考查必要条件、充分条件的判断，高考题将教材中的不等式转化为等式，与教材角度相同，只是将条件与结论进行了对换，体现了源于教材、高于教材的设题趋势. 学科网（北京）股份有限公司 $