第一章 1 第一节 集合（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版）

该高中数学高考复习资料围绕集合核心考点，按课标要求系统梳理元素特性、子集关系、交并补运算及新定义问题，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生构建知识网络，突破空集辨析、参数运算等难点，体现复习的系统性和针对性。 资料采用“一题多变”“多维探究”策略，如集合关系中通过变条件训练参数推理，新定义问题类比补集培养抽象能力，渗透数学思维与创新意识。设置分层练习与即时反馈，确保高效突破考点，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指引。

第一节　集　合 【课标研读】　1.了解集合、全集与空集的含义，理解元素与集合的关系.　2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.　3.理解两个集合的并集、交集与补集的含义，并会进行运算.　4.能使用Venn图表述集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用. 1.集合的概念与表示 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示. (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法. (4)常见数集及其符号表示 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 正实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R R＋ [微提醒]　N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0. 2.集合的基本关系 [微提醒]　0，{0}，⌀，{⌀}之间的关系：⌀≠{⌀}，⌀∈{⌀}，0∉⌀，0∉{⌀}，0∈{0}，⌀⊆{0}，⌀⫋{⌀}. 3.集合的基本运算 运算 交集 并集 补集 自然 语言 一般地，由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 由U中所有不属于A的元素组成的集合 符号 语言 A∩B＝{x｜x∈A，且x∈B} A∪B＝{x｜x∈A，或x∈B} ∁UA＝{x｜x∈U，且x∉A} Venn 图 运算 性质 A∩B＝B∩A A∩B⊆A A∩B⊆B A∩A＝A A∩⌀＝⌀ A∪B＝B∪A A⊆A∪B B⊆A∪B A∪A＝A A∪⌀＝A A∪(∁UA)＝U A∩(∁UA)＝⌀ ∁U(∁UA)＝A 【常用结论】 (1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个. (2)子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C. (3)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB. (4)∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB). 学生用书⬇第2页 【自主检测】 1.(多选题)下列命题正确的是(　　) A.集合{x∈N｜x3＝x}，用列举法表示为{0，1} B.{x｜y＝x2＋1}＝{y｜y＝x2＋1}＝{(x，y)｜y＝x2＋1} C.若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1 D.对任意集合A，B，都有(A∩B)⊆(A∪B) 答案：AD 2.(链接北师必修一P7例4，改编)已知集合A＝{x｜x2－4x＜0，x∈N＋}，则集合A真子集的个数为(　　) A.3 B.4 C.7 D.8 答案：C 解析：A＝{x｜x2－4x＜0，x∈N＋}＝{1，2，3}，所以集合A真子集的个数为23－1＝7个.故选C. 3.(2025·八省适应性测试)已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，4}，则A∩B＝(　　) A. B. C.{0，1} D.{－1，0，1，4} 答案：C 解析：由题意可得A∩B＝{0，1}.故选C. 4.(链接北师必修一P12A组T7，改编)已知集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a＋2}，且A∪B＝A，则实数a的值为　　　　. 答案：2 解析：因为A∪B＝A，所以B⊆A，则a＋2＝3，或a＋2＝a2，解得a＝1，或a＝2，或a＝－1.当a＝1时，集合A＝{1，3，1}，与集合中元素的互异性相矛盾，舍去.当a＝2时，集合A＝{1，3，4}，B＝{1，4}，符合题意.当a＝－1时，集合A＝{1，3，1}，B＝{1，1}，与集合中元素的互异性相矛盾，舍去.综上a＝2. 考点一　集合的基本概念 自主练透 1.(2025·江苏常州模拟)设集合A＝{1，2，3，4}，B＝{5，6}，C＝{x＋y｜x∈A，y∈B}，则C中元素的个数为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 答案：C 解析：因为集合A＝{1，2，3，4}，B＝{5，6}，又x∈A，y∈B，则当y＝5时，x＋y的值有6，7，8，9，当y＝6时，x＋y的值有7，8，9，10，于是得C＝{6，7，8，9，10}，所以C中元素的个数为5.故选C. 2.(2025·江西南昌模拟)已知A＝，若2∈A，且3∉A，则a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：由题意得4－2a＋1≤0且9－3a＋1＞0，解得≤a＜，则a的取值范围是.故选A. 3.已知a，b∈R，若＝{a2，a＋b，0}，则a2 025＋b2 026的值为(　　) A.－1 B.0 C.1 D.±1 答案：A 解析：由集合相等可知0∈，且a≠0，则＝0，所以b＝0，所以a2＝1，解得a＝1或a＝－1.根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，所以a2 025＋b2 026＝(－1)2 025＋02 026＝－1.故选A. 求解与集合中元素有关问题的关键点 1.用描述法表示集合，要理清集合是数集、点集还是其他类型的集合. 2.含有字母的集合，要注意检验集合中的元素是否满足互异性. 考点二　集合间的基本关系师生共研 (一题多变)(1)(2024·辽宁沈阳质测)设全集U＝R，则集合M＝{0，1，2}和N＝{x｜x(x－2)log2x＝0}的关系可表示为(　　) (2)(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a＝(　　) A.2 B.1 C. D.－1 答案：(1)A　(2)B 解析：(1)因为N＝{x｜x(x－2)log2x＝0}＝{1，2}，M＝{0，1，2}，所以N是M的真子集.故选A. (2)因为A⊆B，则有：若a－2＝0，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不符合题意；若2a－2＝0，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，符合题意；综上所述，a＝1.故选B. [变式探究] 1.(变问法)本例(1)中集合N的真子集有　　　　个. 答案：3 解析：因为N＝{1，2}，所以集合N的真子集有22－1＝3(个). 2.(变条件)将本例(2)中的集合A，B分别变为A＝{x｜－a＜x＜a}，B＝{x｜－1＜x＜3}，则实数a的取值范围为　　　　. 答案：(－∞，1] 解析：当a≤0时，A＝⌀，显然A⊆B.当a＞0时，因为B＝{x｜－1＜x＜3}，若A⊆B，在数轴上标出两集合，如图，所以所以0＜a≤1.综上所述，实数a的取值范围为(－∞，1]. 1.破解集合间基本关系的方法有数轴法、Venn图法. 2.若B⊆A，应分B＝⌀和B≠⌀两种情况讨论. 对点练1.(1)(2025·安徽淮北模拟)若集合P＝{x｜－2≤x＜m－m2，x∈Z}，当m＝时，集合P的非空真子集个数为(　　) A.8 B.7 C.6 D.4 (2)已知集合A＝{x｜－3≤x≤4}，B＝{x｜2m－1≤x≤m＋1}，且B⊆A，则实数m的取值范围是　　　　. 答案：(1)C　(2)[－1，＋∞) 解析：(1)根据题意，当m＝时，集合P＝＝，集合P中有3个元素，所以集合P的非空真子集个数为23－2＝6.故选C. (2)因为B⊆A，①当B＝⌀时，2m－1＞m＋1，解得m＞2；②当B≠⌀时，解得－1≤m≤2.综上，实数m的取值范围是[－1，＋∞). 考点三　集合的基本运算多维探究 角度1　集合的运算 (1)(2024·新课标Ⅰ卷)已知集合A＝{x｜－5＜x3＜5}，B＝{－3，－1，0，2，3}，则A∩B＝(　　) A.{－1，0} B.{2，3} C.{－3，－1，0} D.{－1，0，2} 学生用书⬇第3页 (2)设全集U＝{－2，－1，0，1，2，3}，集合A＝{－1，2}，B＝{x｜x2－4x＋3＝0}，则∁U(A∪B)＝(　　) A.{1，3} B.{0，3} C.{－2，1} D.{－2，0} 答案：(1)A　(2)D 解析：(1)因为A＝{x｜－5＜x3＜5}＝{x｜－＜x＜}，B＝{－3，－1，0，2，3}，所以A∩B＝{－1，0}.故选A. (2)由题意，B＝＝，所以A∪B＝，所以∁U＝.故选D. 角度2　利用集合的运算求参数的值(范围) (1)(2024·福建厦门模拟)已知集合A＝{1，a}，B＝{x｜log2x＜1}，且A∩B有2个子集，则实数a的取值范围为(　　) A.(－∞，0] B.(0，1)∪(1，2] C.[2，＋∞) D.(－∞，0]∪[2，＋∞) (2)已知集合A＝{x｜3x2－2x－1≤0}，B＝{x｜2a＜x＜a＋3}，若A∩B＝⌀，则实数a的取值范围是(　　) A.a＜－或a＞ B.a≤－或a C.a＜－或a＞2 D.a≤－或a≥2 答案：(1)D　(2)B 解析：(1)由题意得，B＝{x｜log2x＜1}＝{x｜0＜x＜2}，因为A∩B有2个子集，所以A∩B中的元素个数为1；因为1∈(A∩B)，所以a∉(A∩B)，即a∉B，所以a≤0或a≥2，即实数a的取值范围为(－∞，0]∪[2，＋∞).故选D. (2)A＝{x｜3x2－2x－1≤0}＝，①B＝⌀，2a≥a＋3⇒a≥3，符合题意；②B≠⌀，解得a≤－≤a＜3.所以实数a的取值范围是a≤－或a.故选B. 1.求解集合基本运算的方法步骤 (1)确定元素；(2)化简集合；(3)运算求解. 2. 利用集合的运算求参数应注意： (1)端点值能否取到；(2)是否满足集合元素的互异性. 对点练2.(1)(2024·北京卷)已知集合M＝{x｜－3＜x＜1}，N＝{x｜－1≤x＜4}，则M∪N＝(　　) A. B. C. D. (2)(2025·福建泉州模拟)已知集合A＝，B＝，若A∩B＝，则a－b＝(　　) A.－3 B.－1 C.1 D.3 答案：(1)C　(2)C 解析：(1)由题意得M∪N＝.故选C. (2)A＝{x｜x－a＜0}＝{x｜x＜a}，B＝{x｜｜x－b｜＝x－b}＝，若A∩B＝，则b＝1，a＝2，故a－b＝1.故选C. 考点四　集合的新定义问题 师生共研 (1)(多选题)我们知道，如果集合A⊆S，那么S的子集A的补集为∁SA＝{x｜x∈S且x∉A}，类似地，对于集合A、B，我们把集合{x｜x∈A且x∉B}叫做集合A和B的差集，记作A－B，例如：A＝{1，2，3，4，5}，B＝{4，5，6，7，8}，则有A－B＝{1，2，3}，B－A＝{6，7，8}，下列说法正确的是(　　) A.已知A＝{4，5，6，7，9}，B＝{3，5，6，8，9}，则B－A＝{3，7，8} B.如果A－B＝⌀，那么A⊆B C.已知全集U、集合A、集合B关系如上图中所示，则B－A⊆∁UB D.已知A＝{x｜x＜－1，或x＞3}，B＝{x｜－2≤x＜4}，则A－B＝{x｜x＜－2，或x≥4} (2)已知集合M＝{1，2，3，4}，A⊆M，集合A中所有元素的乘积称为集合A的“累积值”，且规定：当集合A只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0.设集合A的累积值为n. ①若n＝3，则这样的集合A共有　　　　个； ②若n为偶数，则这样的集合A共有　　　　个. 答案：(1)BD　(2)①2　②13 解析：(1)对于A，由B－A＝{x｜x∈B，且x∉A}，故B－A＝{3，8}，故A错误；对于B，由A－B＝{x｜x∈A，且x∉B}，则A－B＝⌀，故A⊆B，故B正确；对于C，由韦恩图知：B－A如图中阴影部分，所以B－A⊆∁UA，故C错误；对于D，∁UB＝{x｜x＜－2，或x≥4}，则A－B＝A∩∁UB＝{x｜x＜－2，或x≥4}，故D正确.故选BD. (2)①若n＝3，据“累积值”的定义得A＝{3}或A＝{1，3}，这样的集合A共有2个；②因为集合M的子集共有24＝16(个)，其中“累积值”为奇数的子集为{1}，{3}，{1，3}，共3个，所以“累积值”为偶数的集合共有13个. 　　破解新定义集合问题的关键是读懂新定义的含义，弄清所叙述问题的本质，可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法解决. 对点练3.(1)(2025·浙江温州模拟)在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象.数学黑洞：无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样.目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等.定义：若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知所有一位正整数的自恋数组成集合A，集合B＝{x｜－3＜x＜4，x∈Z}，则A∩B的子集个数为(　　) A.3 B.4 C.7 D.8 (2)(2025·上海徐汇期末)若集合A同时具有以下三个性质：(1)0∈A，1∈A；(2)若x，y∈A，则x－y∈A；(3)若x∈A且x≠0，则∈A.则称A为“好集”.已知命题：①集合是好集；②对任意一个“好集”A，若x，y∈A，则x＋y∈A.以下判断正确的是(　　) A.①和②均为真命题 B.①和②均为假命题 C.①为真命题，②为假命题 D.①为假命题，②为真命题 答案：(1)D　(2)D 解析：(1)依题意，A＝，B＝，故A∩B＝，故A∩B的子集个数为8.故选D. (2)对于①，因为1∈{1，0，－1}，－1∈{1，0，－1}，而－1－1＝－2∉{1，0，－1}，所以集合{1，0，－1}不是好集，故①错误；对于②，因为集合A为“好集”，所以0∈A，0－y＝－y∈A，所以x－(－y)＝x＋y∈A，故②正确，所以①为假命题，②为真命题.故选D. 学生用书⬇第4页 [真题再现]　(2024·全国甲卷理)已知集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x｜∈A}，则∁A(A∩B)＝(　　) A.{1，4，9} B.{3，4，9} C.{1，2，3} D.{2，3，5} 答案：D 解析：B＝{1，4，9，16，25，81}，A∩B＝{1，4，9}，则∁A(A∩B)＝{2，3，5}.故选D. [教材呈现]　(北师必修一P44A组T1(2))已知全集U＝{x∈N＋｜－2＜x＜9}，M＝{3，4，5}，P＝{1，3，6}，那么{2，7，8}是(　　) A.M∪∁UP B.∁U(M∩P) C.(∁UM)∪(∁UP) D.(∁UM)∩(∁UP) 点评：本题主要考查集合的交集与补集运算，与教材习题角度相同，只是将条件与结论进行了对换. 学科网（北京）股份有限公司 $