专题02 一元二次函数、方程和不等式（期末真题汇编，青海、宁夏专用）高一数学上学期人教A版

专题02 一元二次函数、方程和不等式 6大高频考点概览 考点01 等式性质与不等式性质 考点02 基本不等式：直接利用公式最值 考点03 基本不等式：常数“1”的代换 考点04 解分式不等式 考点05 解一元二次不等式、恒成立、有解 考点06 与不等式有关的实际问题 地 城 考点01 等式性质与不等式性质 一、单选题 1．(23-24高一上·宁夏银川唐徕中学·期末)已知、，且，则下列不等式：①；②；③；④；其中正确个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】对以上四个式子均进行平方处理，消去平方项，剩余乘积项，容易判断. 【详解】①两边平方，可得：，化简得：，与矛盾，故①错误； ②两边平方，化简得：，符合题意，故②正确； ③两边平方，化简得：，因为故上式不成立，③错误； ④两边平方，化简得：，因为，所以，故④错误.正确个数为1个 故选：B 二、多选题 2．(23-24高一上·青海西宁·期末)若，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用不等式的性质可判断A；利用特殊值可判断B、D；利用指数函数的性质可判断C． 【详解】对于A，因为，由不等式的性质得，故A正确； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，在上是增函数，，，故C正确； 对于D，当时，，故D错误． 故选：AC． 3．(23-24高一上·宁夏石嘴山·期末)英国数学家哈利奥特最先使用“>”和“<”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据不等式的性质及特殊值法可判断各选项. 【详解】选项A：若，则，故A错误； 选项B：若，则，故B错误； 选项C：因为，则，即，故C正确； 选项D：因为，则，即，故D正确； 故选：CD. 4．(23-24高一上·宁夏银川金凤区唐徕中学·期末)下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】AB 【分析】利用不等式的性质，赋值法可分析判断A、C、D选项，利用幂函数的性质可分析判断B选项，即可得答案. 【详解】对于A，由，可得，有，故A正确； 对于B， 由函数是在定义在上的单调递增函数，若，则，故B正确； 对于C，当，时，没有意义，此时和无法比较大小，故C错误； 对于D，取，，，，此时，故D错误； 故选：AB. 5．(23-24高一上·宁夏银川第六中学·期末)若且，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】取特值可判断A，C；由不等式的性质可判断B，D. 【详解】对于A，，则，故A错误； 对于B，由，两边同时乘以，，故B正确. 对于C，若，则，故C错误； 对于D，因为，，则，故D正确. 故选：BD. 三、解答题 6．(23-24高一上·宁夏银川第六中学·期末)（1）已知，，求和的取值范围； （2）实数满足，，求的取值范围. 【答案】（1），（2） 【分析】根据不等式的性质求得正确答案. 【详解】（1）依题意，，， 由得. 由得. 【点睛】由， 得，解得， ， 两式相加得. 地 城 考点02 基本不等式：直接利用公式求最值 一、单选题 1．(24-25高一上·宁夏吴忠吴忠中学·期末)已知某扇形的面积为3，则该扇形的周长最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】设扇形的弧长为，半径为，由题意可知，再利用基本不等式，即可求出扇形的周长最小值. 【详解】设扇形的弧长为，半径为， 所以扇形的面积为，所以， 又扇形的周长为，所以，当且仅当，即时，取等号. 故选：D. 2．(23-24高一上·青海海北州·期末)已知第一象限的点在一次函数的图象上，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】根据题意，得到，且，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由第一象限的点在一次函数的图象上， 可得，且， 由，可得，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：B. 3．(23-24高一上·宁夏石嘴山·期末)已知一元二次不等式的解集为，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据给定的解集，可得并且，再利用均值不等式求出最小值即得. 【详解】由一元二次不等式的解集为， 得是方程的两个不等实根，并且， 于是，即有，因此， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为4. 故选：D 4．(23-24高一上·宁夏银川第六中学·期末)若，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式即可得解. 【详解】由，可得， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 故选：B. 二、多选题 5．(24-25高一上·宁夏银川一中·期末)已知正数x，y满足，则(    ) A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式可判断A、B；得答案；通过对进行等价转换，再利用基本不等式即可判断C；通过对进行等价转换，再利用对勾函数单调性即可判断D. 【详解】对于A，，，且，所以，解得， 当且仅当，时等号成立，而，则成立，故A正确； 对于B，，而，所以， 当且仅当，时等号成立，故B正确； 对于C，，，且，所以，（，）， 所以， 当且仅当时等号成立，故C错误； 对于D，，且， 令，则，（），因为，所以， 在上单调递增，所以，从而， 当且仅当，时等号成立，故D正确. 故选：ABD 6．(23-24高一上·宁夏银川金凤区唐徕中学·期末)在下列函数中，最小值是2的函数有（    ） A． B．， C．函数，且 D．， 【答案】AD 【分析】根据基本不等式的性质求最值，逐项分析判断即可. 【详解】对于，当时， 当且仅当，即时等号成立； 当时， 当且仅当，即时等号成立； 综上所述，的最小值是，故正确； 对于因为，所以， 则，当且仅当时取等号，不成立， 故，故错误； 对于，当时，且， 则函数 此时没有最小值，故错误； 对于,时，， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为，故正确； 故选： 地 城 考点03 基本不等式：常数“1”的代换 一、单选题 1．(24-25高一上·宁夏石嘴山·期末)函数且的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C． D． 【答案】C 【分析】首先要找到函数图象恒过的定点，得出和的值，进而得到的值.然后利用均值不等式来求的最小值. 【详解】对于对数函数，当时，（且）. 对于指数函数，当时，（且）. 所以当时，. 即函数的图象恒过定点，所以，. 已知，把，代入可得. 将进行变形，. 展开式子得. 因为，，根据均值不等式，有. 则.当且仅当时等号成立. 故选：C 2．(24-25高一上·青海名校联盟·期末)若矩形的周长为4，则的最小值为（    ） A．8 B．4 C．9 D．4.5 【答案】D 【分析】利用“1”的代换，结合基本不等式求最值可得. 【详解】由矩形的周长为4，得，且， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立. 则的最小值为. 故选：D. 二、多选题 3．(23-24高一上·青海西宁·期末)下列说法正确的是（   ） A．若，，，则的最小值为4 B．若，则的最小值是4 C．当时，取得最大值 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】根据基本不等式以及对勾函数单调性即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，，，，则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为4，故A正确； 对于B，由于不一定为正数，当时，，故B错误， 对于C，时，，， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为，故C正确， 对于D，， 由于，而函数单调递增， 所以，当时取等号， 所以的最小值为，故D正确， 故选：ACD 三、填空题 4．(23-24高一上·宁夏银川第二中学·期末)已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中实数m，n满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据指数函数的性质可得定点的坐标，从而可得，再利用基本不等式即可得的最小值. 【详解】函数（且）的图象恒过定点A，则， 又点A在一次函数的图象上，所以，故， 又， 所以， 当且仅当，即时等号成立，即的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 5．(23-24高一上·宁夏银川第六中学·期末)（1）已知正数，满足，求的最大值； （2）若正数，满足，求的最小值. 【答案】（1）；（2）27. 【分析】（1）根据，满足，利用基本不等式求解； （2）根据正数，满足，由，利用基本不等式求解. 【详解】解：（1）因为正数，满足， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值是； （2）因为正数，满足， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是27. 地 城 考点04 解一元二次不等式、恒成立、有解 一、单选题 1．(24-25高一上·宁夏银川一中·期末)关于的不等式的解集中恰有个正整数解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】原不等式即为，分、、三种情况讨论，解原不等式，确定满足不等式的三个正整数解，可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】由得， 若时，原不等式即为，不合乎题意； 若时，则原不等式的解为或， 满足条件的正整数解有无数个，不合乎题意； 若时，则原不等式的解为， 由题意可知，满足条件的三个正整数解为、、，则，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：C. 2．(24-25高一上·宁夏吴忠青铜峡第一中学·期末)若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】由一元一次不等式的解集可知的关系，再求解一元二次不等式. 【详解】由不等式的解集是，可知，且， ，即，解得或， 所以不等式的解集为或. 故选：A 3．(23-24高一上·青海西宁·期末)若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次不等式恒成立即可求解. 【详解】由于不等式对任意恒成立， 当时，不等式为，此时，不符合题意， 当时，对任意恒成立，则，解得， 故选：D 4．(23-24高一上·青海西宁大通县·期末)若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】利用二次不等式恒成立问题的解法，分类讨论与即可得解. 【详解】因为在上恒成立， 当时，得，显然成立； 当时，要使问题成立则，解得； 综上，实数的取值范围为. 故选：A. 二、填空题 5．(24-25高一上·宁夏吴忠青铜峡第一中学·期末)已知，若恒成立，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据基本不等式“1”的代换求得的最小值，从而可得恒成立，根据一元二次不等式即可解得实数m的取值范围. 【详解】， 当且仅当，即时等号成立， 所以，解得，即实数m的取值范围是． 故答案为：. 四、解答题 6．(23-24高一上·宁夏银川第六中学·期末)设. (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)求使成立的实数的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）将不等式转化为对一切实数恒成立，分和两种情况讨论，列出不等式组，解不等式即可求解. （2）将不等式化为对进行分类讨论即可求解. 【详解】（1）因为对一切实数恒成立， 即对一切实数恒成立， 当时，不等式化为，不满足题意， 当时，则需满足，解得， 综上所述，实数的取值范围为. （2）即， 当时不等式化为，解得， 当时，的两根为，， 若，解得， 若， ①当时，解得， ②当时，解得或， ③当时，解得或. 综上所述， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，. 地 城 考点05 与不等式有关的实际问题 一、填空题 1．(23-24高一上·宁夏银川第六中学·期末)如图，公园的管理员计划在一面墙的同侧，用彩带围成四个相同的长方形区域（墙面不挂彩带）.若每个区域面积为24m2，则围成四个区域的彩带总长最小值为 . 【答案】48m 【分析】设每个区域的长和宽分别为m和m,根据题意可得,则彩带总长为,再运用基本不等式求解的最小值即可. 【详解】设每个区域的长和宽分别为m和m,根据题意可得, 则彩带总长为，当且仅当， 即且时等号成立， 所以每个区域的长和宽分别为6m和4m时,彩带总长最小，且最小值为48m. 故答案为：48m 二、解答题 2．(23-24高一上·青海西宁·期末)某工厂分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为1800元．若每批生产件产品，每件产品每天的仓储费用为2元，且每件产品平均仓储时间为天，设平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为元． (1)写出关于的函数解析式； (2)当为何值时，有最小值？最小值是多少？ 【答案】(1) (2)时，有最小值，最小值为60 【分析】（1）由题意结合的定义以及的含义即可列出表达式； （2）结合基本不等式求和的最小值，并注意取等条件即可. 【详解】（1）根据题意可得 . （2）， 当且仅当，即时等号成立， 故当时，有最小值，最小值为60． 3．(24-25高一上·宁夏吴忠青铜峡第一中学·期末)某保健厂研制了一种足浴气血生机的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为2；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为k，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.06. (1)求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y关于x的表达式； (2)求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值，并求此时x的值. 【答案】(1)， (2)当时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小，为. 【分析】（1）由题意，把，代入，可求的值. （2）利用基本不等式“1”的妙用，可求的最小值及对应的的值. 【详解】（1）由题意，， 因为时，，所以， 所以，. （2）因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取“”， 所以当时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和最小，为. 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次函数、方程和不等式 6大高频考点概览 考点01 等式性质与不等式性质 考点02 基本不等式：直接利用公式最值 考点03 基本不等式：常数“1”的代换 考点04 解分式不等式 考点05 解一元二次不等式、恒成立、有解 考点06 与不等式有关的实际问题 地 城 考点01 等式性质与不等式性质 一、单选题 1．(23-24高一上·宁夏银川唐徕中学·期末)已知、，且，则下列不等式：①；②；③；④；其中正确个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、多选题 2．(23-24高一上·青海西宁·期末)若，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．(23-24高一上·宁夏石嘴山·期末)英国数学家哈利奥特最先使用“>”和“<”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，若，则（    ） A． B． C． D． 4．(23-24高一上·宁夏银川金凤区唐徕中学·期末)下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 5．(23-24高一上·宁夏银川第六中学·期末)若且，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 三、解答题 6．(23-24高一上·宁夏银川第六中学·期末)（1）已知，，求和的取值范围； （2）实数满足，，求的取值范围. 地 城 考点02 基本不等式：直接利用公式求最值 一、单选题 1．(24-25高一上·宁夏吴忠吴忠中学·期末)已知某扇形的面积为3，则该扇形的周长最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 2．(23-24高一上·青海海北州·期末)已知第一象限的点在一次函数的图象上，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 3．(23-24高一上·宁夏石嘴山·期末)已知一元二次不等式的解集为，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．(23-24高一上·宁夏银川第六中学·期末)若，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．(24-25高一上·宁夏银川一中·期末)已知正数x，y满足，则(    ) A． B． C． D． 6．(23-24高一上·宁夏银川金凤区唐徕中学·期末)在下列函数中，最小值是2的函数有（    ） A． B．， C．函数，且 D．， 地 城 考点03 基本不等式：常数“1”的代换 一、单选题 1．(24-25高一上·宁夏石嘴山·期末)函数且的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C． D． 2．(24-25高一上·青海名校联盟·期末)若矩形的周长为4，则的最小值为（    ） A．8 B．4 C．9 D．4.5 二、多选题 3．(23-24高一上·青海西宁·期末)下列说法正确的是（   ） A．若，，，则的最小值为4 B．若，则的最小值是4 C．当时，取得最大值 D．的最小值为 三、填空题 4．(23-24高一上·宁夏银川第二中学·期末)已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中实数m，n满足，则的最小值为 . 四、解答题 5．(23-24高一上·宁夏银川第六中学·期末)（1）已知正数，满足，求的最大值； （2）若正数，满足，求的最小值. 地 城 考点04 解一元二次不等式、恒成立、有解 一、单选题 1．(24-25高一上·宁夏银川一中·期末)关于的不等式的解集中恰有个正整数解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·宁夏吴忠青铜峡第一中学·期末)若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 3．(23-24高一上·青海西宁·期末)若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．(23-24高一上·青海西宁大通县·期末)若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 二、填空题 5．(24-25高一上·宁夏吴忠青铜峡第一中学·期末)已知，若恒成立，则实数m的取值范围是 ． 四、解答题 6．(23-24高一上·宁夏银川第六中学·期末)设. (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)求使成立的实数的取值范围. 地 城 考点05 与不等式有关的实际问题 一、填空题 1．(23-24高一上·宁夏银川第六中学·期末)如图，公园的管理员计划在一面墙的同侧，用彩带围成四个相同的长方形区域（墙面不挂彩带）.若每个区域面积为24m2，则围成四个区域的彩带总长最小值为 . 二、解答题 2．(23-24高一上·青海西宁·期末)某工厂分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为1800元．若每批生产件产品，每件产品每天的仓储费用为2元，且每件产品平均仓储时间为天，设平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为元． (1)写出关于的函数解析式； (2)当为何值时，有最小值？最小值是多少？ 3．(24-25高一上·宁夏吴忠青铜峡第一中学·期末)某保健厂研制了一种足浴气血生机的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为2；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为k，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.06. (1)求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y关于x的表达式； (2)求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值，并求此时x的值. 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $