6.1 第1课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦分类加法计数原理与分步乘法计数原理，通过问题情境引入定义及特征，结合典例讲评、母题探究与教材原题，构建从理解原理到解决实际计数问题的学习支架。 以现实情境（如志愿者出行、选专业）驱动原理抽象，通过母题变式（椭圆焦点位置变化）培养逻辑推理，含知识链等图示梳理。课中助教师辨析“分类”与“分步”，课后分层作业帮助学生巩固应用，查漏补缺。

6.1　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第1课时　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 [学习目标]　1．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理．(数学抽象) 2．会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题．(逻辑推理) [教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．分类加法计数原理是怎么定义的？用此原理能解决的问题有什么特征？ 问题2．分步乘法计数原理是怎么定义的？用此原理能解决的问题有什么特征？ 问题3．分类加法计数原理和分步乘法计数原理有什么区别和联系？ (对应学生用书第1页) 探究1　分类加法计数原理 问题1　一名志愿者从A地赶赴B地为游客提供导游服务，从A地到B地每天有7个航班，6趟火车． (1)该志愿者从A地到B地的方案可分几类？ (2)这几类方案中各有几种方法？每类方案中的每一种方法是否都能完成从A地到B地这一件事？ (3)该志愿者从A地到B地共有多少种不同的方法？ [提示]　(1)两类，乘飞机或坐火车． (2)第1类方案(乘飞机)有7种方法，第2类方案(坐火车)有6种方法．每类方案中的每一种方法都能单独完成从A地到B地这一件事． (3)根据分类加法计数原理，共有7＋6＝13(种)不同的方法． [新知生成] 分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法． 【教用·微提醒】　(1)完成一件事的若干种方法可以分成两类不同方案，且这两类方案中的方法互不相同． (2)每一类方案中的每一种方法都能独立完成这件事． (3)推广：完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法． [典例讲评]　【链接教材P3例1】 1．设集合A＝{1，2，3，4}，m，n∈A，则方程＋＝1表示焦点位于x轴上的椭圆有(　　) A．6个　　 B．8个　 C．12个　　 D．16个 A　[因为椭圆的焦点在x轴上，所以m>n．当m＝4时，n＝1，2，3；当m＝3时，n＝1，2；当m＝2时，n＝1，即所求的椭圆共有3＋2＋1＝6(个)．故选A．] [母题探究]　 1．(变结论)条件不变，结论变为“则方程＋＝1表示焦点位于y轴上的椭圆”有(　　) A．6个　　 B．8个　 C．12个　　 D．16个 A　[因为椭圆的焦点在y轴上，所以m<n，当m＝1时，n＝2，3，4；当m＝2时，n＝3，4；当m＝3时，n＝4，即所求的椭圆共有3＋2＋1＝6(个)．故选A．] 2．(变条件)条件变为“设集合A＝{1，2，3，4，5}，m，n∈A”，其他条件不变，有(　　) A．8个　　 B．10个　 C．12个　　 D．16个 B　[因为椭圆的焦点在x轴上，所以m>n， 当m＝5时，n＝1，2，3，4； 当m＝4时，n＝1，2，3； 当m＝3时，n＝1，2； 当m＝2时，n＝1． 即所求的椭圆共有4＋3＋2＋1＝10(个)．故选B．] 【教材原题·P3例1】 例1　在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如表6.1­1． 表6.1­1 A大学 B大学 生物学 数学 化学 会计学 医学 经济学 物理学 法学 工程学 如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？ [分析]　要完成的事情是“选一个专业”．因为这名同学在A，B两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又因为这两所大学没有共同的强项专业，所以符合分类加法计数原理的条件． [解]　这名同学可以选择A，B两所大学中的一所．在A大学中有5种专业选择方法，在B大学中有4种专业选择方法．因为没有一个强项专业是两所大学共有的，所以根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择种数为 N＝5＋4＝9． 　(1)分类时，首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准，然后在这个标准下分类，要做到分类“不重不漏”． (2)利用分类加法计数原理计数时的解题流程 [学以致用]　1．(源自湘教版教材)某市的有线电视可以接收中央台12个频道、本地台10个频道和其他省市46个频道的节目． (1)当这些频道播放的节目互不相同时，一台电视机共可以选看多少个不同的节目？ (2)如果有3个频道正在转播同一场球赛，其余频道正在播放互不相同的节目，一台电视机共可以选看多少个不同的节目？ [解]　(1)当所有频道播放的节目互不相同时，一台电视机选看的节目可分为三类： 第一类，选看中央台频道的节目，有12个不同的节目； 第二类，选看本地台频道的节目，有10个不同的节目； 第三类，选看其他省市频道的节目，有46个不同的节目． 根据分类加法计数原理，一台电视机共可以选看12＋10＋46＝68(个)不同的节目． (2)因为有3个频道正在转播同一场球赛，即这3个频道转播的节目只有1个，而其余频道正在播放互不相同的节目，所以，一台电视机共可以选看1＋(12＋10＋46－3)＝66(个)不同的节目． 探究2　分步乘法计数原理 问题2　高三(1)班有22名男生，18名女生，现在要从中选1名男同学和1名女同学作为数学课代表协助老师收发作业． (1)如果每次选1名同学，那么选2名同学担任课代表需要分几步完成？ (2)完成每一步各有多少种方法？ (3)选1名男同学和1名女同学担任课代表，一共有多少种方法？ [提示]　(1)分两步完成，第1步选男同学担任课代表，第2步选女同学担任课代表． (2)第1步选男同学担任课代表有22种方法，第2步选女同学担任课代表有18种方法． (3)根据分步乘法计数原理，共有22×18＝396(种)方法． [新知生成] 分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法． 【教用·微提醒】　(1)步骤可以分出先后顺序，每一步对实现目标是必不可少的． (2)每步的方法具有独立性，不受其他步骤影响． (3)每步所取的方法不同，每一步都有若干种方法． (4)推广：如果完成一件事情需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事情共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法． [典例讲评]　【链接教材P4例2】 2．(1)人们习惯把最后一位是6的多位数叫作“吉祥数”，则无重复数字的四位“吉祥数”共有________个． (2)4名同学报名参加跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，则不同的报名方法有(　　) A．43种 　 B．34种 C．7种 　 D．12种 (1)448　(2)B　[(1)第1步，确定千位，除去0和6，有8种不同的选法；第2步，确定百位，除去6和千位数字外，有8种不同的选法；第3步，确定十位，除去6和千位、百位上的数字外，有7种不同的选法． 故共有8×8×7＝448(个)不同的“吉祥数”． (2)要完成的是“4名同学每人从三个项目中选一项报名”这件事，因为每人必报一项，四人都报完才算完成，于是按人分步，且分为四步，又每人可在三项中选一项，选法为3种，所以共有3×3×3×3＝34(种)报名方法．] [母题探究]　本例(2)改为4名同学争夺跑步、跳高、跳远三个项目的冠军(每项冠军只允许一人获得)，共有多少种可能结果？ [解]　依题意，应该以“三个冠军”为主体考虑，只有三个冠军都确定了得主，这件事情才算完成，而每项冠军的得主都有4种情况，由分步乘法计数原理，可得共有4×4×4＝43＝64(种)结果． 【教材原题·P4例2】 例2　某班有男生30名、女生24名，从中任选男生和女生各1名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？ [分析]　要完成的一件事是“选男生和女生各1名”，可以分两个步骤：第1步，选男生；第2步，选女生． [解]　任选男生和女生各1名，可以分两个步骤完成：第1步，从30名男生中选出1名，有30种不同选法；第2步，从24名女生中选出1名，有24种不同选法．根据分步乘法计数原理，共有不同选法的种数为N＝30×24＝720． 　(1)使用分步乘法计数原理的两个注意点： 一是要按照事件发生的过程合理分步，即步骤是有先后顺序的； 二是各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成才算完成这件事． (2)利用分步乘法计数原理计数时的解题流程 [学以致用]　【链接教材P12习题6.1T7】 2．一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字． (1)这4个拨号盘可以组成多少个四位数字的号码(各位上的数字允许重复)? (2)若各位上的数字不允许重复，那么这4个拨号盘可以组成多少个四位数字的号码？ [解]　(1)按从左到右的顺序拨号可以分四步完成： 第1步，第1个拨号盘有10种拨号方式，所以m1＝10； 同理，第2步，m2＝10； 第3步，m3＝10； 第4步，m4＝10． 根据分步乘法计数原理，共可以组成 N＝10×10×10×10＝10 000(个)四位数字的号码． (2)按从左到右的顺序拨号可以分四步完成： 第1步，有10种拨号方式，即m1＝10； 第2步，去掉第1步拨的数字，有m2＝9种拨号方式； 第3步，去掉前2步拨的数字，有m3＝8种拨号方式； 第4步，去掉前3步拨的数字，有m4＝7种拨号方式． 根据分步乘法计数原理，共可以组成 N＝10×9×8×7＝5 040(个)四位数字的号码． 【教材原题·P12习题6.1T7】 一种密码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有0～9共10个数字．现最后一个拨号盘出现了故障，只能在0～5这6个数字中拨号，这4个拨号盘可组成多少个四位数字号码？ [解]　共可以组成10×10×10×6＝6 000(个)四位数字号码． 探究3　两个计数原理的应用 [典例讲评]　【链接教材P5例3】 3．现有高一学生50人，高二学生42人，高三学生30人，组成冬令营． (1)若从中选1人作总负责人，共有多少种不同的选法？ (2)若每个年级各选1名负责人，共有多少种不同的选法？ (3)若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人要来自不同的年级，则有多少种选法？ [解]　(1)从高一学生中选1人作总负责人有50种选法；从高二学生中选1人作总负责人有42种选法；从高三学生中选1人作总负责人有30种选法．由分类加法计数原理可知，共有50＋42＋30＝122(种)选法． (2)从高一学生中选1名负责人有50种选法；从高二学生中选1名负责人有42种选法；从高三学生中选1名负责人有30种选法．由分步乘法计数原理可知，共有50×42×30＝63 000(种)选法． (3)①从高一和高二学生中各选1人作为中心发言人，有50×42＝2 100(种)选法． ②从高二和高三学生中各选1人作为中心发言人，有42×30＝1 260(种)选法． ③从高一和高三学生中各选1人作为中心发言人，有50×30＝1 500(种)选法． 由分类加法计数原理知，共有2 100＋1 260＋1 500＝4 860(种)选法． 【教材原题·P5例3】 例3　书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书． (1)从书架上任取1本书，有多少种不同取法？ (2)从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同取法？ [分析]　(1)要完成的一件事是“从书架上取1本书”，可以分从第1层、第2层和第3层中取三类方案；(2)要完成的一件事是“从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书”，可以分三个步骤完成． [解]　(1)从书架上任取1本书，有三类方案：第1类方案是从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2类方案是从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3类方案是从第3层取1本体育书，有2种方法．根据分类加法计数原理，不同取法的种数为N＝4＋3＋2＝9． (2)从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，可以分三个步骤完成：第1步，从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2步，从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3步，从第3层取1本体育书，有2种方法．根据分步乘法计数原理，不同取法的种数为N＝4×3×2＝24． 　使用两个计数原理的原则 使用两个计数原理解题时，一定要从“分类”“分步”的角度入手，“分类”是把较复杂应用问题的元素分成互相排斥的几类，逐类解决，这时用分类加法计数原理；“分步”就是把问题分为几个互相关联的步骤，然后逐步解决，这时可用分步乘法计数原理． [学以致用]　3．(源自人教B版教材)某班班委由2位女同学、3位男同学组成，现要从该班班委里选出2人去参加学校组织的培训活动，要求至少要有1位女同学参加，则不同的选法共有多少种？ [解]　按照选择的女同学人数分为两种情况，即2位都是女同学和只有1位女同学． 2位都是女同学的选法显然只有1种． 只有1位女同学的选法，可以分为两步完成：先从2位女同学中选出1人，有2种选法；再从3位男同学中选出1人，有3种选法．依据分步乘法计数原理，共有不同的选法2×3＝6(种)． 依据分类加法计数原理，不同的选法共有1＋6＝7(种)． (对应学生用书第3页) 1．某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有6名同学只会用综合法证明，有4名同学只会用分析法证明，现从这些同学中任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数为(　　) A．10 　 B．16 C．20 　 D．24 A　[每一种方法都能证明该问题，根据分类加法计数原理，不同的选法共有6＋4＝10(种)．故选A．] 2．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为(　　) A．7 　 B．12 C．64 　 D．81 B　[要完成长裤与上衣配成一套，分两步：第1步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同选法；第2步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法．根据分步乘法计数原理，共有4×3＝12(种)不同的配法．故选B．] 3．一个科技小组中有4名女同学和5名男同学，从中任选1人参加学科竞赛，不同的选派方法共有________种；若从中任选1名女同学和1名男同学参加学科竞赛，不同的选派方法共有________种． 9　20　[根据分类加法计数原理知，从中任选1人参加学科竞赛，不同的选派方法共有4＋5＝9(种)；由分步乘法计数原理知，从中任选1名女同学和1名男同学参加学科竞赛，不同的选派方法共有4×5＝20(种)．] 4．(教材P5练习T1(2)改编)如图，甲地到乙地有3条公路可走，从乙地到丙地有2条公路可走，从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走．从甲地到丙地共有________种不同的走法． 8　[从甲地到丙地共有两类不同的方案． 第1类，从甲地经乙地到丙地，共需两步完成： 第1步，从甲地到乙地，有3条公路可走； 第2步，从乙地到丙地，有2条公路可走． 根据分步乘法计数原理，从甲地经乙地到丙地有3×2＝6(种)不同的走法． 第2类，从甲地不经乙地到丙地，有2条水路可走，即有2种不同的走法． 由分类加法计数原理知，从甲地到丙地共有6＋2＝8(种)不同的走法．] 1．知识链： 2．方法链：列举法及分类讨论思想的应用． 3．警示牌：“分类”与“分步”分不清，导致计数错误． 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．分类加法计数原理的最主要特点是什么？ [提示]　各类中的每一种方法都可以单独完成一件事． 2．应用分类加法计数原理需遵循的原则是什么？ [提示]　标准明确、不重不漏． 3．区分“完成一件事”是分类还是分步的关键是什么？ [提示]　关键看能否一步完成这件事，若能完成则是分类，否则，就是分步． 课时分层作业(一)　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 (对应学生用书第111页) 一、选择题 1．某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有(　　) A．3种　 B．6种 C．7种 　 D．9种 C　[分3类：买1本书，买2本书和买3本书．各类的购买方式依次有3种、3种和1种，故购买方式共有3＋3＋1＝7(种)．] 2．某高校要求学生除了学习第二语言英语，还要求同时进修第三语言和第四语言，其中第三语言可从A类语言：日语、韩语、越南语、柬埔寨语中任选一种，第四语言可从E类语言：法语、德语、俄语、西班牙语、意大利语中任选一种，则学生可选取的语言组合数为(　　) A．20 　 B．25 C．30 　 D．35 A　[第三语言可从A类语言中任选一种，有4种选法， 第四语言可从E类语言中任选一种，有5种选法， 所以共有4×5＝20(种)选法．故选A．] 3．如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1＜a2且a3＜a2，则称这样的三位数为凸数(如120，343，275)，当中间数为3或4时，所有凸数的个数为(　　) A．18 　 B．15 C．16 　 D．21 A　[当中间数为4时，有3×4＝12(个)； 当中间数为3时，有2×3＝6(个)． 故共有6＋12＝18(个)． 故选A．] 提醒：易忽略分类加法计数原理要求类之间不能重复致误，分类加法计数原理可类比并联电路，分步乘法计数原理可类比串联电路，这样可以形象地理解两个计数原理． 4．2 025的不同的正因数的个数为(　　) A．8　 B．10 C．12　 D．15 D　[2 025＝81×25＝34×52， 故2 025有(4＋1)×(2＋1)＝15(个)不同的正因数． 故选D．] 5．(多选)已知a∈{1，2，3}，b∈{4，5，6，7}，r∈{8，9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圆的个数用式子表示为(　　) A．4＋4＋4＋4＋4＋4 B．4＋4＋4＋4 C．3×4 D．3×4×2 AD　[法一：完成表示不同的圆这件事有三步： 第1步，确定a有3种不同的选取方法； 第2步，确定b有4种不同的选取方法； 第3步，确定r有2种不同的选取方法． 由分步乘法计数原理， 方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圆共有3×4×2＝24(个)． 法二：当a＝1时，b＝4，5，6，7，r＝8或9，有4＋4＝8(个)； 当a＝2时，b＝4，5，6，7，r＝8或9，有4＋4＝8(个)； 当a＝3时，b＝4，5，6，7，r＝8或9，有4＋4＝8(个)， 由分类加法计数原理得，方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圆共有4＋4＋4＋4＋4＋4＝24(个)．故选AD．] 二、填空题 6．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，则不同的行车路线有________种． 12　[可分为四类，从每一个方向的入口进入都可作为一类，如图，从第1个入口进入时，有3种行车路线；同理，从第2个、第3个、第4个入口进入时，都分别有3种行车路线，由分类加法计数原理可得共有3＋3＋3＋3＝12(种)不同的行车路线． ] 7．某客户欲购买一辆新能源汽车，已知A品牌有5种不同型号的汽车，B品牌有10种不同型号的汽车，C品牌有6种不同型号的汽车可供选择，则该客户不同的选择种数为________． 21　[A品牌有5种不同型号的汽车，B品牌有10种不同型号的汽车，C品牌有6种不同型号的汽车可供选择，则客户不同的选择种数为5＋10＋6＝21．] 8．若在如图1所示的电路中，只合上一个开关可以接通电路，有________种不同的方法； 在如图2所示的电路中，合上两个开关可以接通电路，有________种不同的方法． 5　6　[对于题图1，按要求接通电路，只要在A中的两个开关或B中的三个开关中合上一个即可，故有2＋3＝5(种)不同的方法． 对于题图2，按要求接通电路必须分两步进行： 第1步，合上A中的一个开关； 第2步，合上B中的一个开关， 故有2×3＝6(种)不同的方法．] 三、解答题 9．有一项活动，需从3位教师、8名男同学和5名女同学中选人参加． (1)若只需1人参加，则有多少种不同的选法？ (2)若需教师、男同学、女同学各1人参加，则有多少种不同的选法？ [解]　(1)选1人，可分三类： 第1类，从教师中选1人，有3种不同的选法； 第2类，从男同学中选1人，有8种不同的选法； 第3类，从女同学中选1人，有5种不同的选法． 共有3＋8＋5＝16(种)不同的选法． (2)选教师、男同学、女同学各1人，分三步进行： 第1步，选教师，有3种不同的选法； 第2步，选男同学，有8种不同的选法； 第3步，选女同学，有5种不同的选法． 共有3×8×5＝120(种)不同的选法． 10．数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏．如图是数独的一个简化版，由3行3列 9个单元格构成．玩该游戏时，需要将数字1，2，3(各3个)全部填入单元格，每个单元格填一个数字，要求每一行、每一列均有1，2，3这三个数字，则不同的填法有(　　) A．12种 　 B．24种 C．72种 　 D．216种 A　[先填第一行，有3×2×1＝6(种)不同填法，再填第二行第一列，有2种不同填法，当该单元格填好后，其他单元格唯一确定．根据分步乘法计数原理可知，共有6×2＝12(种)不同的填法．故选A．] 11．将4个不同的小球放入3个不同的盒子中，且每个盒子最多只能装3个球，则不同的放法有(　　) A．60种 　 B．64种 C．78种 　 D．81种 C　[不考虑每个盒子最多只能装3个球，有34种放法． 若将4个球放入同一个盒子中，有3种放法． 故不同的放法有34－3＝78(种)．故选C．] 12．(多选)设东、西、南、北四面通往山顶的路各有2，3，3，4条路，只从一面上山，而从其他任意一面下山，不同的走法种数可能为(　　) A．20 　 B．27 C．32 　 D．30 ABC　[东面上山的种数为2×(3＋3＋4)＝20， 西面上山的种数为3×(2＋3＋4)＝27， 南面上山的种数为3×(2＋3＋4)＝27， 北面上山的种数为4×(2＋3＋3)＝32， 故只从一面上山，而从其他任意一面下山的走法种数可能为20，27，32．故选ABC．] 13．用1，2，3，4，5能组成没有重复数字且为偶数的三位数的个数为________． 24　[分三个步骤：第一步选个位数字共2种选法； 第二步选十位数字共4种选法； 第三步选百位数字共3种选法． 所以共2×4×3＝24(个)无重复数字的且为偶数的三位数．] 14．用1，2，3，4四个数字可重复地任意排成三位数，并把这些三位数由小到大排成一个数列{an}． (1)写出这个数列的第8项； (2)这个数列共有多少项？ (3)若an＝341，求n． [解]　(1)由题意可得，数列{an}的前8项分别为：111，112，113，114，121，122，123，124， 故这个数列的第8项为124． (2)这个数列的项就是用1，2，3，4排成的三位数，每个位上都有4种排法， 根据分步乘法计数原理，共有4×4×4＝64项． (3)比an＝341小的数有两类：①百位上是1或2的，共有2×4×4＝32(个)； ②百位上是3且十位上是1或2或3的，共有1×3×4＝12(个)． 根据分类加法计数原理可得，比an＝341小的数有 32＋12＝44 (个)． 故所求的n＝44＋1＝45． 15．某节目中准备了两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封．现由主持人抽奖确定幸运观众，若先从两个信箱中任意确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，则有________种不同的结果． 28 800　[抽奖过程分三步完成，考虑到幸运之星可分别出现在两个信箱中，故可分两种情形考虑． ①幸运之星在甲信箱中抽，先定幸运之星，再在两信箱中各定一名幸运伙伴有 30×29×20＝17 400(种)结果． ②幸运之星在乙信箱中抽，同理有 20×19×30＝11 400(种)结果． 所以共有17 400＋11 400＝28 800(种)不同的结果．] 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $