5.2.1 基本初等函数的导数-【名师导航】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦基本初等函数的导数运算这一核心知识点，以“利用定义求导—归纳常用函数导数—推导基本初等函数导数公式—应用公式解决切线问题与实际问题”为脉络，构建从概念到应用的递进式学习支架，系统呈现导数公式表及公式的变形、应用方法。 资料设计突出问题驱动与素养导向，通过“问题初探”了解预习情况，“探究活动”引导学生从定义推导导数公式培养逻辑推理能力，典例结合教材原题与变式训练强化数学运算素养，实际应用案例（如电流强度、物价变化）渗透数学建模意识。配套知识链、方法链思维导图帮助梳理体系，分层作业兼顾基础与提升，课中辅助教师引导探究，课后助力学生查漏补缺。

5.2　导数的运算 5.2.1　基本初等函数的导数 [学习目标]　1．了解利用定义求函数的导数．(数学运算) 2．掌握基本初等函数的导数公式，并会利用公式求简单函数的导数．(数学运算) 3．能利用基本初等函数的导数公式求函数的导数、解决与曲线的切线有关的问题．(数学运算) [教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．几个常用函数的导数是什么？ 问题2．基本初等函数有哪几类？ 问题3．基本初等函数的导数公式是什么？ 探究1　基本初等函数的求导公式 问题1　如何利用导数的定义求函数f(x)＝＋x在x＝x0处的导数？ [提示]　Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0) ＝＋(x0＋Δx)－ ＝－＋Δx． ＋1． 当Δx趋于0时，得到导数 f′(x0)＝＋1． 问题2　当x0在定义域内任意取值时，问题1中的 f′(x0) 的值如何？ [提示]　对于定义域中的每一个自变量的取值x0，都有唯一一个导数值f′(x0)＝－＋1与之对应，所以f′(x)＝－＋1是x的函数． [新知生成] 1．几个常用函数的导数 原函数 导数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝x f′(x)＝1 f(x)＝x2 f′(x)＝2x f(x)＝x3 f′(x)＝3x2 f(x)＝ f′(x)＝－ f(x)＝ f′(x)＝ 2．基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝αxα-1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝ax ln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 【教用·微提醒】　(1)对于根式f(x)＝，要先转化为f(x)＝，所以f′(x)＝． (2)三角函数的导数公式中，一要注意名称的改变，二要注意符号的改变．可用口诀记忆：正弦求导数，弦变符不变；余弦求导数，弦变符也变． [典例讲评]　【链接教材P75例1】 1．求下列函数的导数： (1)y＝；(2)y＝lg x； (3)y＝；(4)y＝2cos2－1． [解]　(1)y′＝ ln ln 5． (2)y′＝． (3)因为y＝， 所以y′＝′＝． (4)因为y＝2cos2－1＝cosx， 所以y′＝(cos x)′＝－sin x． 【教材原题·P75例1】 例1　求下列函数的导数： (1)y＝；(2)y＝log2x． [解]　(1)y′＝′＝； (2)y′＝(log2x)′＝． 　(1)若所求函数符合基本初等函数的导数公式，则直接利用公式求导． (2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导． (3)要特别注意“y＝与y＝ln x”“y＝ax与y＝logax”“y＝sin x与y＝cos x”的导数区别． [学以致用]　1．求下列函数的导数． (1)y＝cos ； (2)y＝－2sin ； (3)y＝log2x2－log2x． [解]　(1)因为y＝cos，所以y′＝0． (2)因为y＝－2sin ＝2sin＝2sincos ＝sin x， 所以y′＝(sin x)′＝cos x． (3)因为y＝log2x2－log2x＝log2x， 所以y′＝(log2x)′＝． 探究2　利用导数公式研究曲线的切线方程 [典例讲评]　2．(源自人教B版教材)已知函数f(x)＝x2，而l是曲线y＝f(x)的切线，且l经过点(2，3)． (1)判断(2，3)是不是曲线y＝f(x)上的点； (2)求l的方程． [思路导引]　利用导数的几何意义求解，但要注意点(2，3)不在曲线上，应另设切点求解． [解]　(1)因为 f(2)＝22＝4≠3，所以点(2，3)不是曲线y＝f(x)上的点． (2)设切点为(x0，f(x0))．因为f′(x)＝2x， 所以切线的斜率为f′(x0)＝2x0，又因为f(x0)＝，所以直线l的方程为y－＝2x0(x－x0)， 将(2，3)代入上式并整理，可得－4x0＋3＝0， 由此可解得x0＝1或x0＝3． 因此，切点为(1，1)或(3，9)，切线方程为y－1＝2(x－1)或y－9＝6(x－3)． 即l的方程为y＝2x－1或y＝6x－9． [母题探究]　 1．将本例变为“求曲线f(x)＝x-2在(a，a-2)(a>0)”处的切线方程． [解]　由题意f′(x)＝－2x-3，所以曲线f(x)＝x-2在点(a，a-2)处的切线方程为y－a-2＝－2a-3(x－a)，即y＝－2a-3x＋3a-2． 2．将本例变为“已知y＝kx是曲线y＝ln x的一条切线”，试求k的值． [解]　设切点坐标为(x0，y0)，由题意得y'＝k，又y0＝kx0，且y0＝ln x0，从而可得x0＝e，y0＝1，则k＝． 【教用·备选题】曲线y＝ln x上的点到直线y＝x＋2的最小距离是(　　) A．　 B． C．　 D．1 B　[设曲线在点(m，ln m)处的切线与y＝x＋2平行．因为y′＝，故＝1，所以m＝1， 所以切点为(1，0)，所以最小距离为d＝．故选B．] 　1．利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 (1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数． (2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解． 2．求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤 [学以致用]　2．(1)函数y＝x3的图象在点(2，8)处的切线方程为(　　) A．y＝12x－16 B．y＝12x＋16 C．y＝－12x－16 D．y＝－12x＋16 (2)已知曲线y＝ln x的一条切线方程为x－y＋c＝0，则c的值为________． (1)A　(2)－1　[(1)因为y′＝3x2，当x＝2时，y′＝12， 故切线的斜率为12， 切线方程为y＝12x－16． (2)设切点坐标为(x0，ln x0)， 由y＝ln x得y′＝． 因为曲线y＝ln x在x＝x0处的切线方程为x－y＋c＝0，其斜率为1． 所以y'＝1， 即x0＝1， 所以切点坐标为(1，0)． 所以1－0＋c＝0， 所以c＝－1．] 探究3　导数公式的实际应用 [典例讲评]　【链接教材P75例2】 3．从时刻t＝0开始的t(单位：秒)内，通过某导体的电量(单位：库仑)可以由公式q＝cos t表示．求第5秒和第7秒时的电流强度(单位：安)． [解]　由q＝cos t得q′＝－sin t， 所以q′(5)＝－sin 5，q′(7)＝－sin 7，即第5秒、第7秒时的电流强度分别是－sin 5安，－sin 7安． 【教材原题·P75例2】 例2　假设某地在20年间的年均通货膨胀率为5%，物价p(单位：元)与时间t(单位：年)之间的关系为p(t)＝p0(1＋5%)t， 其中p0为t＝0时的物价．假定某种商品的p0＝1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01元/年)? [解]　根据基本初等函数的导数公式表，有 p′(t)＝1.05t ln 1.05． 所以p′(10)＝1.0510ln 1.05≈0.08． 所以，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨． 　由导数的定义可知，导数是瞬时变化率，所以求某个量的变化速度，就是求相关函数在某点处的导数．这种变化率在描述经济变化率、物理变化率、化学变化率等方面有着广泛的应用． [学以致用]　3．若质点P的运动方程是s(t)＝(s单位：m，t单位：s)，求质点P在t＝8 s时的瞬时速度． [解]　s(t)＝，故s′(t)＝， s′(8)＝， 故质点P在t＝8 s时的瞬时速度为 m/s． 1．′等于(　　) A． B．1 C．0 D． C　[常数的导数等于0． 故选C．] 2．(多选)(教材P75练习T1改编)下列运算正确的是(　　) A．′＝ B．(cos x)′＝－sin x C．(2x)′＝2x ln 2 D．(log9 x)′＝－ BC　[因为′＝－，所以A不正确；因为(cos x)′＝－sin x，所以B正确；因为(2x)′＝2x ln 2，所以C正确；因为(log9x)′＝，所以D不正确．故选BC．] 3．(多选)(教材P75练习T4改编)过曲线y＝上一点P的切线的斜率为－4，则点P的坐标可以为(　　) A． B． C． D． AC　[因为y′＝－，令－＝－4，得x＝±，点P的坐标为．故选AC．] 4．一质点的运动方程为s＝cos t，则t＝1时质点的瞬时速度为(　　) A．2cos 1 B．－sin 1 C．sin 1 D．2sin 1 B　[s′＝－sin t，当t＝1时，s′|t＝1＝－sin 1， 所以当t＝1时质点的瞬时速度为－sin 1．] 1．知识链： 2．方法链：方程思想、待定系数法． 3．警示牌：因公式变形不够彻底导致求导错误． 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．如何理解常见的几个幂函数的求导？ [提示]　几个常见幂函数的求导，也包括根式函数的求导，都可以统一为f(x)＝xα，f′(x)＝αxα-1． 2．对于三角函数关系式，如何求导？ [提示]　对含有三角函数式的函数求导，往往需要利用三角恒等变换公式，对函数式进行化简，使函数的种类减少，次数降低，结构尽量简单，从而便于求导． 3．求函数“在”或“过”某点处的切线方程时，有什么策略？遵循什么步骤？ [提示]　①求解以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的步骤： ⅰ．求出函数f(x)的导数f′(x)； ⅱ．求切线的斜率f′(x0)； ⅲ．写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简． ②若已知点(x1，y1)不在曲线上，则先设切点为(x0，y0)，再解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程． 课时分层作业(十五)　基本初等函数的导数 一、选择题 1．函数f(x)＝sin x，则f′＝(　　) A． B． C．1 D． B　[f(x)＝sin x，则f′(x)＝cos x，故f′＝cos ．故选B．] 2．若函数f(x)的导函数为偶函数，则f(x)的解析式可能是(　　) A．f(x)＝x2 B．f(x)＝cos x C．f(x)＝sin x D．f(x)＝ex C　[对于A，f′(x)＝2x，为奇函数； 对于B，f′(x)＝－sin x，为奇函数； 对于C，f′(x)＝cos x，为偶函数； 对于D，f′(x)＝ex，既不是奇函数也不是偶函数．故选C．] 3．已知函数f(x)＝xα(α∈R，且α≠0)，若f′(－1)＝－4，则α的值等于(　　) A．4 B．－4 C．5 D．－5 A　[∵f′(x)＝αxα-1，f′(－1)＝α(－1)α-1＝－4， ∴α＝4．] 4．曲线y＝ex在点A处的切线与直线x＋ey－1＝0垂直，则点A的坐标为(　　) A．(－1，e-1) B．(1，e) C．(0，1) D．(2，e2) B　[由题知y'＝ex．因为曲线y＝ex在点A(xA，yA)处的切线与直线x＋ey－1＝0垂直，所以函数y＝ex在x＝xA处的导数值为e，即＝e，所以xA＝1，则yA＝e，所以点A的坐标为(1，e)．故选B．] 5．(多选)已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的P点坐标为(　　) A．(－1，1) B．(－1，－1) C．(1，1) D．(1，－1) BC　[y′＝3x2，因为k＝3， 所以3x2＝3，所以x＝±1， 则P点坐标为(－1，－1)或(1，1)．故选BC．] 二、填空题 6．若函数f(x)在R上可导，且f(x)·f′(x)为单调函数．写出满足上述条件的一个函数________． f(x)＝x2(答案不唯一)　[设f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，所以f(x)· f′(x)＝2x3在R上单调递增，满足条件，所以f(x)＝x2满足条件．] 7．若曲线y＝在点P处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是________． 4　[因为y′＝，所以切线方程为y－(x－a)，令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－a，由题意知·a＝2，所以a＝4．] 8．已知f(x)＝cos x，g(x)＝x，则关于x的不等式 f′(x)＋g′(x)≤0的解集为________． 　[∵f′(x)＝－sin x，g′(x)＝1， 由f′(x)＋g′(x)≤0，得－sin x＋1≤0， 即sin x≥1，则sin x＝1， 解得x＝＋2kπ，k∈Z， ∴其解集为．] 三、解答题 9．求下列函数的导数： (1)y＝x2 024；(2)y＝； (3)y＝log6x；(4)y＝． [解]　(1)y′＝(x2 024)′＝2 024x2 024-1＝2 024x2 023． (2)y′＝′＝′＝． (3)y′＝(log6x)′＝． (4)y′＝′＝′＝－ ＝． 10．已知点P在曲线y＝2sincos上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 (　　) A． B． C． D．∪ D　[∵y＝2sincos＝sin x，∴y'＝cos x． 由题意，知曲线在点P处的切线的斜率存在，设P(x0，y0)，则切线的斜率k＝tan α＝cos x0， ∴－1≤tan α≤1． ∵0≤α<π，∴α∈∪．故选D．] 11．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f'0(x)，f2(x)＝f'1(x)，…，fn+1(x)＝f'n(x)，n∈N，则f2 025(x)＝　　　　．  cos x　[由已知得，f1(x)＝cos x，f2(x)＝－sin x， f3(x)＝－cos x，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cos x，…，依次类推可得，函数呈周期变化，且周期为4，则f2 025(x)＝f1(x)＝cos x．] 12．已知两条曲线y1＝sin x，y2＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使得在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？说明理由． [解]　不存在，理由如下： 因为y1＝sin x，y2＝cos x，所以y'1＝cos x，y'2＝－sin x． 设两条曲线的一个公共点为点P(x0，y0)，则两条曲线在点P(x0，y0)处的切线斜率分别为k1＝cos x0，k2＝－sin x0． 若两条切线互相垂直，则cos x0·(－sin x0)＝－1，即sin x0·cos x0＝1， 所以sin 2x0＝2，显然不成立， 所以这两条曲线不存在这样的公共点，使得在这一点处的两条切线互相垂直． 13．若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是 (　　) A．y＝sin x B．y＝ln x C．y＝ex D．y＝x3 A　[设函数y＝f(x)的图象上两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则由导数的几何意义可知，点P，Q处切线的斜率分别为k1＝f'(x1)，k2＝f'(x2)，若函数具有T性质，则k1·k2＝f'(x1)·f'(x2)＝－1．对于A选项，f'(x)＝cos x，显然k1·k2＝cos x1·cos x2＝－1有无数组解，所以该函数具有T性质；对于B选项，f'(x)＝(x>0)，显然k1·k2＝＝－1无解，故该函数不具有T性质；对于C选项，f'(x)＝ex>0，显然k1·k2＝＝－1无解，故该函数不具有T性质；对于D选项，f'(x)＝3x2≥0，显然k1·k2＝3·3＝－1无解，故该函数不具有T性质．故选A．] 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $