4.4 数学归纳法-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“数学归纳法”核心知识点，从原理理解（归纳奠基与递推关系）到应用（证明等式、不等式、归纳—猜想—证明）系统梳理，通过问题情境、典例分析、教材原题链接及分层练习构建学习支架。 资料以生活情境（如自行车倒下现象）抽象原理，强化数学抽象；通过“归纳—猜想—证明”完整过程培养逻辑推理与数学运算能力。课中助力教师分层教学，课后分层作业及知识总结帮助学生查漏补缺，提升学习效果。

4.4　数学归纳法 [学习目标]　1．借助教材实例了解数学归纳法的原理．(数学抽象) 2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(逻辑推理) 3．能归纳猜想，利用数学归纳法证明与正整数有关的数学问题．(数学运算、逻辑推理) [教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．数学归纳法的原理是什么？ 问题2．数学归纳法中的两个步骤之间有什么关系？ 探究1　数学归纳法的理解 问题1　如果你从袋子里拿出5个小球，发现全部都是绿色的，能否判断袋子里面的小球都是绿色的？ [提示]　不能．通过考查部分对象，得到一般的结论的方法，叫不完全归纳法．不完全归纳法得到的结论不一定正确． 问题2　在学校，我们经常会看到这样一种现象：排成一排的自行车，如果一位同学不小心将第一辆自行车弄倒了，那么整排自行车就会倒下．试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？这种现象对你有何启发？ [提示]　需要具备的条件：(1)第一辆自行车倒下；(2)任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下．这种现象使我们想到一些与正整数n有关的数学问题． [新知生成] 1．数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)归纳奠基：证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立； (2)归纳递推：以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法． 2．数学归纳法的证明形式 记P(n)是一个关于正整数n的命题，可以把用数学归纳法证明的形式改写如下： 条件：(1)P(n0)为真；(2)若P(k)(k∈N*，k≥n0)为真，则P(k＋1)也为真． 结论：P(n)为真． 3．数学归纳法的框图表示 【教用·微提醒】　初始值n0不一定是1，要结合具体的结论而定． [典例讲评]　1．(1)用数学归纳法证明不等式2n>(n＋1)2(n≥n0，n∈N*)时，初始值n0应等于________． (2)【链接教材P46例1】用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n-1＝2n－1(n∈N*)的过程如下： ①当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立． ②假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k-1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k-1＋2k＝＝2k+1－1，所以当n＝k＋1时等式也成立．由此可知对于任何n∈N*，等式都成立．上述证明过程中错误的原因是__________． (1)6　(2)未用归纳假设　[(1)由题意，得当n＝1时，21<(1＋1)2；当n＝2时，22<(2＋1)2；当n＝3时，23<(3＋1)2；当n＝4时，24<(4＋1)2；当n＝5时，25<(5＋1)2；当n＝6时，26>(6＋1)2，所以用数学归纳法证明不等式2n>(n＋1)2(n≥n0，n∈N*)时，初始值n0应等于6． (2)本题在由n＝k成立证明n＝k＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上归纳假设，这与数学归纳法的要求不符．] 【教材原题·P46例1】 例1　用数学归纳法证明：如果{an}是一个公差为d的等差数列，那么 an＝a1＋(n－1)d ① 对任何n∈N*都成立． 分析：因为等差数列的通项公式涉及全体正整数，所以用数学归纳法证明的第一步应证明当n＝1时命题成立．第二步要明确证明的目标，即要证明一个新命题：如果当n＝k时①式是正确的，那么当n＝k＋1时①式也是正确的． 证明：(1)当n＝1时，左边＝a1，右边＝a1＋0×d＝a1，①式成立． (2)假设当n＝k(k∈N*)时，①式成立，即 ak＝a1＋(k－1)d， 根据等差数列的定义，有ak＋1－ak＝d， 于是 ak＋1＝ak＋d ＝[a1＋(k－1)d]＋d ＝a1＋[(k－1)＋1]d ＝a1＋[(k＋1)－1]d， 即当n＝k＋1时，①式也成立． 由(1)(2)可知，①式对任何n∈N*都成立． 　数学归纳法的三个关键点 (1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1． (2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，要正确分析式子中项数的变化，弄清式子两边的构成规律． (3)利用假设是核心：在第二步证明n＝k＋1时，一定要利用归纳假设． [学以致用]　【链接教材P51习题4.4 T1】 1．用数学归纳法证明1＋q＋q2＋…＋qn+1＝(n∈N*，q≠1)，在验证n＝1等式成立时，等式左边的式子是(　　) A．1 B．1＋q C．1＋q＋q2 D．1＋q＋q2＋q3 C　[当n＝1时，左边＝1＋q＋q1+1＝1＋q＋q2．] 【教材原题·P51习题4.4 T1】 用数学归纳法证明下列等式： －1＋3－5＋7＋…＋(－1)n(2n－1)＋(－1)n+1(2n＋1)＋(－1)n+2(2n＋3)＝(－1)n+2(n＋2)． 要验证当n＝1时等式成立，其左边的式子应为(　　) A．－1　　　　 B．－1＋3 C．－1＋3－5 D．－1＋3－5＋7 [答案]　C 探究2　用数学归纳法证明等式 [典例讲评]　【链接教材P47例2】 2．用数学归纳法证明：1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n-1＝2n(2n－3)＋3(n∈N*)． [证明]　(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2×(2－3)＋3＝1，左边＝右边，所以等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立， 即1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k-1＝2k(2k－3)＋3． 则当n＝k＋1时，1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k-1＋(2k＋1)×2k ＝2k(2k－3)＋3＋(2k＋1)×2k ＝2k(4k－2)＋3＝2k+1[2(k＋1)－3]＋3， 即当n＝k＋1时，等式也成立． 由(1)(2)知，等式对任何n∈N*都成立． 【教材原题·P47例2】 例2　用数学归纳法证明： 12＋22＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)(n∈N*)．① 分析：用数学归纳法证明时，第二步要证明的是一个以“当n＝k时，①式成立”为条件，得出“当n＝k＋1时，①式也成立”的命题，证明时必须用上述条件． 证明：(1)当n＝1时，①式的左边＝12＝1， 右边＝×1×(1＋1)×(2×1＋1)＝＝1， 所以①式成立． (2)假设当n＝k(k∈N*)时，①式成立，即 12＋22＋…＋k2＝k(k＋1)(2k＋1)， 在上式两边同时加上(k＋1)2，有 12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2 ＝k(k＋1)(2k＋1)＋(k＋1)2 ＝ ＝ ＝ ＝(k＋1)[(k＋1)＋1][2(k＋1)＋1]， 即当n＝k＋1时，①式也成立． 由(1)(2)可知，①式对任何n∈N*都成立． 　用数学归纳法证明恒等式时应关注的三点 (1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况． (2)弄清从n＝k到n＝k＋1，等式两端增加了哪些项，减少了哪些项． (3)证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n＝k＋1证明目标的表达式变形． [学以致用]　2．用数学归纳法证明： ＋…＋＝(n∈N*)． [证明]　(1)当n＝1时，＝成立． (2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即有 ＋…＋＝， 则当n＝k＋1时，＋…＋＋＝＝，即当n＝k＋1时等式也成立． 由(1)(2)可得对于任意的n∈N*等式都成立． 探究3　用数学归纳法证明不等式 [典例讲评]　【链接教材P49例4】 3．用数学归纳法证明：1＋≤1＋＋…＋＋n(n∈N*)． [思路引导]　按照数学归纳法的步骤证明，由n＝k到n＝k＋1的推证过程可应用放缩技巧，使问题简单化． [证明]　(1)当n＝1时， ≤1＋，命题成立． (2)假设当n＝k(k∈N*)时，命题成立， 即1＋ ≤ 1＋ ＋ ＋… ＋ ≤ ＋k， 则当n＝k＋1时， 1＋ ＋ ＋… ＋ ＋ ＋ ＋… ＋ >1＋ ＋2k· ＝1＋ ． 又1＋ ＋ ＋… ＋ ＋ ＋ ＋… ＋ < ＋k＋2k· ＝ ＋(k＋1)， 即当n＝k＋1时，命题也成立． 由(1)和(2)可知，命题对所有的n∈N*都成立． 【教材原题·P49例4】 例4　设x为实数，且x＞－1，x≠0，n为大于1的正整数，记数列 x，x(1＋x)，x(1＋x)2，…，x(1＋x)n-1，… 的前n项和为Sn，试比较Sn与nx的大小，并用数学归纳法证明你的结论． 分析：该问题中涉及两个字母，x是大于－1且不等于零的实数，n是大于1的正整数．一种思路是不求和，而直接通过n取特殊值比较Sn与nx的大小关系，并作出猜想；另一种思路是先由等比数列的求和公式求出Sn，再通过n取特殊值比较Sn与nx的大小关系后作出猜想．两种做法都必须用数学归纳法证明得到的猜想． 解法1：由已知可得 Sn＝x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＋…＋x(1＋x)n-1． 当n＝2时，S2＝x＋x(1＋x)＝x2＋2x，由x≠0，知x2＞0，可得 S2＞2x； 当n＝3时，S3＝x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＝x2(x＋3)＋3x，由x＞－1且x≠0，知x2(x＋3)＞0，可得S3＞3x． 由此，我们猜想，当x＞－1且x≠0，n∈N*且n＞1时，Sn＞nx． 下面用数学归纳法证明这个猜想． (1)当n＝2时，由上述过程知，猜想成立． (2)假设当n＝k(k∈N*，且k≥2)时，不等式成立，即Sk＞kx， 则Sk＋1＝Sk＋x(1＋x)k＞kx＋x(1＋x)k． ①当x＞0时，因为k＞1，所以(1＋x)k＞1，所以 x(1＋x)k＞x． ②当－1＜x＜0时，0＜1＋x＜1，且x2＞0．又因为k＞1，所以(1＋x)k＜1＋x， 可得 x(1＋x)k＞x(1＋x)＝x＋x2＞x． 综合①②可得，当x＞－1且x≠0时， Sk＋1＞kx＋x(1＋x)k＞kx＋x＝(k＋1)x， 所以，当n＝k＋1时，猜想也成立． 由(1)(2)可知，不等式Sn＞nx对任何大于1的正整数n都成立． 解法2：因为x＞－1，x≠0，所以所给数列是等比数列，公比为1＋x，于是 Sn＝x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＋…＋x(1＋x)n-1 ＝ ＝(1＋x)n－1． 当n＝2时，S2＝(1＋x)2－1＝x2＋2x，由x≠0，知x2＞0，可得 S2＞2x； 当n＝3时，S3＝(1＋x)3－1＝x2(x＋3)＋3x，由x＞－1，x≠0，得x2(x＋3)＞0，可得 S3＞3x． 由此，我们猜想，当x＞－1且x≠0，n∈N*且n＞1时，Sn＞nx． 下面用数学归纳法证明． (1)当n＝2时，由上述过程知，猜想成立． (2)假设当n＝k(k∈N*，且k≥2)时，不等式Sk＞kx成立，即 (1＋x)k－1＞kx， 亦即(1＋x)k＞1＋kx． 由x＞－1，得x＋1＞0． 又因为k＞1，x≠0，所以kx2＞0． 于是 Sk＋1＝(1＋x)k+1－1 ＝(1＋x)k(1＋x)－1 ＞(1＋kx)(1＋x)－1 ＝kx2＋(k＋1)x ＞(k＋1)x． 所以，当n＝k＋1时，猜想也成立． 由(1)(2)可知，不等式Sn＞nx对任何大于1的正整数n都成立． 　用数学归纳法证明不等式的关键点 用数学归纳法证明不等式往往比证明恒等式难度更大一些，方法更灵活些，用数学归纳法证明的第二步，即已知f(k)＞g(k)，求证f(k＋1)＞g(k＋1)时应注意灵活运用证明不等式的一般方法(比较法、分析法、综合法)．具体证明过程中要注意以下两点： (1)先凑假设，作等价变换． (2)瞄准当n＝k＋1时的递推目标，有目的地放缩、分析直到凑出结论． [学以致用]　3．已知n∈N*，n＞2． 求证：1＋＋…＋＞． [证明]　(1)当n＝3时，左边＝1＋，右边＝＝2，左边＞右边，不等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N*，k≥3)时，不等式成立， 即1＋＋…＋＞． 当n＝k＋1时， 1＋＋…＋＞ ＝＝． 因为＞＝＝， 所以1＋＋…＋＞， 所以当n＝k＋1时，不等式也成立． 由(1)(2)知对一切n∈N*，n＞2，不等式恒成立． 探究4　归纳—猜想—证明 [典例讲评]　【链接教材P48例3】 4．数列{an}中，a1＝1，Sn为数列{an}的前n项和，且Sn，Sn＋1，2S1成等差数列． (1)计算S1，S2，S3的值； (2)根据以上计算结果猜测Sn的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想． [解]　(1)S1＝a1＝1，由已知有2S2＝S1＋2S1，得S2＝，又2S3＝S2＋2S1，得S3＝． (2)由(1)中结果猜测Sn＝． 用数学归纳法证明如下： ①当n＝1时，S1＝＝1，猜想成立． ②假设当n＝k时猜想成立，则有Sk＝， 当n＝k＋1时，因为2Sk＋1＝Sk＋2S1， 所以2Sk＋1＝＋2＝， 所以Sk＋1＝， 所以当n＝k＋1时猜想成立． 由①②可知，对任意正整数n，猜想都成立． 【教材原题·P48例3】 例3　已知数列{an}满足a1＝0，2an＋1－anan＋1＝1(n∈N*)，试猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明． 分析：先将数列{an}的递推关系2an＋1－anan＋1＝1化为an＋1＝(n∈N*)，通过计算a2，a3，a4，a5的值，归纳共性并作出猜想，再应用数学归纳法证明猜想． [解]　由2an＋1－anan＋1＝1，可得 an＋1＝(n∈N*)． 由a1＝0， 可得a2＝＝． 同理可得 a3＝＝，a4＝＝，a5＝＝． 归纳上述结果，猜想 an＝(n∈N*)． ① 下面用数学归纳法证明这个猜想． (1)当n＝1时，①式左边＝a1＝0，右边＝＝0，猜想成立． (2)假设当n＝k(k∈N*)时，①式成立，即 ak＝， 那么 ak＋1＝＝＝＝， 即当n＝k＋1时，猜想也成立． 由(1)(2)可知，猜想对任何n∈N*都成立． 　“归纳—猜想—证明”的一般步骤 [学以致用]　4．已知数列{an}满足a1＝－，an＝－(n≥2)． (1)求a2，a3； (2)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法给出证明． [解]　(1)a2＝－，a3＝－． (2)猜想数列{an}的通项公式an＝－，证明如下： 当n＝1时，a1＝－，猜想成立； 假设当n＝k时猜想成立，即ak＝－， 当n＝k＋1时，ak＋1＝－＝－ ＝－＝－， 所以当n＝k＋1时，an＝－成立． 综上可得an＝－． 【教用·备选题】(源自北师大版教材)用数学归纳法证明：x2n－y2n能被x＋y整除(n∈N＋)． [证明]　(1)当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)． 故x2－y2能被x＋y整除，命题成立． (2)假设当n＝k(k≥1)时，x2k－y2k能被x＋y整除． 那么，当n＝k＋1时，x2k+2－y2k+2＝x2x2k－y2y2k． (*) 把x2k＝(xk＋yk)(xk－yk)＋y2k，代入(*)得x2k+2－y2k+2＝x2(xk＋yk)·(xk－yk)＋x2y2k－y2y2k＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)，由假设知x2k－y2k能被x＋y整除，x2－y2能被x＋y整除，故x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除． 所以当n＝k＋1时，命题也成立． 综上，对于n∈N＋，原命题成立． 1．用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于 (n－2)π” 时，归纳奠基中n0的取值应为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 C　[根据凸n边形至少有3条边，知n≥3，故n0的取值应为3．] 2．用数学归纳法证明12＋22＋…＋n2＋…＋22＋12＝n(2n2＋1)，第二步从n＝k到n＝k＋1，等式左边应添加的项是(　　) A．(k2＋1)2 B．k2＋1 C．(k＋1)2＋k2 D．(k＋1)2＋2k2 C　[根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，当n＝k时，左边＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，① 当n＝k＋1时，左边＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，② 所以②－①得，等式左边应添加的式子是(k＋1)2＋k2．] 3．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N*)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题也成立，现已知n＝5时，该命题不成立，那么可以推得(　　) A．n＝6时该命题不成立 B．n＝6时该命题成立 C．n＝4时该命题不成立 D．n＝4时该命题成立 C　[假设n＝4时该命题成立，由题意可得n＝5时，该命题成立，而n＝5时，该命题不成立，所以n＝4时，该命题不成立．而n＝5时，该命题不成立，不能推得n＝6该命题是否成立．故选C．] 4．若f(n)＝1＋＋…＋(n∈N*)，用数学归纳法验证关于f(n)的命题时，第一步计算f(1)＝________；第二步“从n＝k到n＝k＋1时”，f(k＋1)＝f(k)＋________． 　[f(1)＝1＋＝； 假设当n＝k时，f(k)＝1＋＋…＋， 那么，当n＝k＋1时，f(k＋1)＝1＋＋…＋， f(k＋1)＝f(k)＋．] 1．知识链： 2．方法链：数学归纳法． 3．警示牌：(1)对n0取值时易出错． (2)增加或减少的项数易出错． 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．数学归纳法步骤可概括为“三个成立，一个结”是什么意思？ [提示]　“三个成立”是指：①n＝n0时验证命题成立，②n＝k，k≥n0时假设命题成立；③n＝k＋1时，应用归纳假设证明命题成立． “一个结”就是结论：断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立． 2．你认为在应用数学归纳法时应注意哪几点？ [提示]　(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1． (2)递推是关键：正确分析由n＝k到n＝k＋1时，式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障． (3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明． 课时分层作业(十一)　数学归纳法 一、选择题 1．用数学归纳法证明1＋＋…＋＜n(n∈N*，n＞1)时，第一步应验证不等式(　　) A．1＋＜2 B．1＋＜2 C．1＋＜3 D．1＋＜3 B　[由题意得，当n＝2时，不等式为1＋＜2，故选B．] 2．用数学归纳法证明“5n－2n能被3整除”的第二步中n＝k＋1时，为了使用假设，应将5k+1－2k+1变形为(　　) A．(5k－2k)＋4×5k－2k B．5(5k－2k)＋3×2k C．(5－2)(5k－2k) D．5(5k－2k)－3×5k B　[根据数学归纳法，当n＝k＋1时， 应将5k+1－2k+1变形为5(5k－2k)＋3×2k， 此时，5(5k－2k)和3×2k都可以被3整除． 故该变形是合理的． 故选B．] 3．用数学归纳法证明＋…＋时，从n＝k到n＝k＋1，不等式左边需添加的项是(　　) A． B． C． D． B　[不等式左边需添加的项是＝．故选B．] 4．用数学归纳法证明2＋4＋6＋8＋…＋2n＝2n-1＋22n-2(n∈N*)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，等式左边增加的项数为(　　) A．1 B．2k-1 C．2k D．2k＋1 B　[当n＝k时，等式左边＝2＋4＋6＋8＋…＋2k，当n＝k＋1时，等式左边＝2＋4＋6＋8＋…＋2k＋(2k＋2)＋(2k＋4)＋…＋(2k＋2k)，故由n＝k递推到n＝k＋1时等式左边增加的项为(2k＋2)＋(2k＋4)＋…＋(2k＋2k)，项数为2k-1．故选B．] 5．若命题A(n)(n∈N*)在n＝k(k∈N*)时成立，则有n＝k＋1时命题也成立．现知命题对n＝n0(n0∈N*)成立，则有(　　) A．命题对所有正整数都成立 B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立 C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立 D．以上说法都不正确 C　[由已知得n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有n＝n0＋1时命题成立．在n＝n0＋1时命题成立的前提下，又可推得n＝(n0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，故选C．] 二、填空题 6．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋…＋＝2时，若已知假设n＝k(k≥2)为偶数时，命题成立，则还需要用归纳假设再证________． n＝k＋2时等式成立　[由于n为正偶数，已知假设n＝k(k≥2)为偶数，则下一个偶数为n＝k＋2．故答案为n＝k＋2时等式成立．] 7．用数学归纳法证明＋…＋＞．假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________． ＋…＋＞　[观察不等式中各项的分母变化知，当n＝k＋1时，＋…＋＞．] 8．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，从“n＝k”到“n＝k＋1”，左边需增添的代数式是________． (2k＋2)＋(2k＋3)　[当n＝k时，左边共有(2k＋1)个连续的自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)， 当n＝k＋1时，左边共有(2k＋3)个连续的自然数相加， 即1＋2＋…＋(2k＋1)＋(2k＋2)＋(2k＋3)， 所以左边需增添的代数式是(2k＋2)＋(2k＋3)．] 三、解答题 9．已知数列{an}满足关系式a1＝a(a＞0)，an＝(n≥2，n∈N*)． (1)用a表示a2，a3，a4； (2)猜想an的表达式(用a和n表示)，并用数学归纳法证明． [解]　(1)a2＝，a3＝＝＝，a4＝＝＝． (2)由a1＝a＝， a2＝，…， 猜想an＝． 下面用数学归纳法证明． ①当n＝1时，显然猜想成立． ②假设当n＝k(k∈N*)时猜想成立， 即ak＝， 则当n＝k＋1时， ak＋1＝＝ ＝＝ ＝， 所以当n＝k＋1时猜想也成立． 根据①②可知猜想对一切n∈N*都成立． 10．设n是正整数，f(n)＝1＋＋…＋，经计算可得，f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，观察上述结果，可得出的一般结论是(　　) A．f(2n)> B．f(n2)≥ C．f(2n)≥ D．f(2n)> C　[已知f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，即f(22)>，f(23)>，f(24)>，f(25)>，依此类推，可得f(2n)>(n>1，n为正整数)．因为f(2)＝，所以f(2n)≥(n为正整数)．] 11．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上(　　) A．(k＋1)2 B．k2＋1 C． D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2 D　[因为当n＝k时， 等号的左端为1＋2＋3＋…＋k2， 当n＝k＋1时，等号的左端为1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2， 所以增加了(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2．] 12．(多选)已知一个命题p(k)，k＝2n(n∈N*)，若当n＝1，2，…，1 000时，p(k)成立，且当n＝1 001时也成立，则下列判断中正确的是(　　) A．p(k)对k＝528成立 B．p(k)对每一个自然数k都成立 C．p(k)对每一个正偶数k都成立 D．p(k)对某些偶数可能不成立 AD　[由题意知p(k)对k＝2，4，6，…，2 002成立，当k取其他值时不能确定p(k)是否成立，故选AD．] 13．若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n＝1，2，3，…)，则a5＝________，归纳猜想an＝________． 31　2n－1　[因为an＋1＝2an＋1(n＝1，2，3，…)，且a1＝1， 所以a2＝2×1＋1＝3，a3＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋1＝15，a5＝2×15＋1＝31． 猜想an＝2n－1． 用数学归纳法证明： ①当n＝1时，显然猜想成立； ②假设当n＝k时，ak＝2k－1，则ak＋1＝2ak＋1＝2×(2k－1)＋1＝2k+1－1， 故当n＝k＋1时，猜想也成立． 综上，对所有正整数n，都有an＝2n－1．] 14．观察下列等式： 1＝1， 2＋3＋4＝9， 3＋4＋5＋6＋7＝25， 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49， … 按照以上式子的规律： (1)写出第5个等式，并猜想第n(n∈N*)个等式； (2)用数学归纳法证明上述所猜想的第n(n∈N*)个等式成立． [解]　(1)第5个等式为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92， 第n个等式为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2，n∈N*． (2)证明：①当n＝1时，左边＝1，右边＝(2－1)2＝1，所以等式成立． ②假设n＝k(k∈N*)时，等式成立， 即k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＝(2k－1)2(k∈N*)成立， 那么，当n＝k＋1时，(k＋1)＋(k＋2)＋(k＋3)＋…＋(3k＋1)＝k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(3k－1)＋3k＋(3k＋1)－k＝(2k－1)2＋8k＝[2(k＋1)－1]2， 即n＝k＋1时，等式也成立． 根据①②可知对任何n∈N*，等式都成立． 15．试比较2n＋2与n2的大小(n∈N*)，并用数学归纳法证明你的结论． [解]　当n＝1时，21＋2＝4＞n2＝1， 当n＝2时，22＋2＝6＞n2＝4， 当n＝3时，23＋2＝10＞n2＝9， 当n＝4时，24＋2＝18＞n2＝16， 由此可以猜想， 2n＋2＞n2(n∈N*)成立． 下面用数学归纳法证明： (1)当n＝1时， 左边＝21＋2＝4，右边＝1， 所以左边＞右边，所以原不等式成立． 当n＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4， 所以左边＞右边，所以原不等式成立． 当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9， 所以左边＞右边，所以原不等式成立． (2)假设当n＝k(k≥3且k∈N*)时，不等式成立， 即2k＋2＞k2． 那么当n＝k＋1时，2k+1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2＞2k2－2． 又∵2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3＝(k－3)(k＋1)≥0， 即2k2－2≥(k＋1)2， 故2k+1＋2＞(k＋1)2成立． 根据(1)和(2)，原不等式对于任意n∈N*都成立． 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $