4.3.2 第1课时 等比数列的前n项和公式-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦等比数列前n项和公式这一核心知识点，系统梳理公式推导（错位相减法、定义法）、两种表达形式（首项公比项数、首项末项公比）及q=1与q≠1的分类讨论，构建从公式理解到错位相减法应用的完整学习支架。 该资料亮点在于以问题链驱动逻辑推理（两种推导方法对比），通过典例强化数学运算（知三求二问题），结合棋盘麦粒问题渗透数学建模。课中助力教师引导探究，课后分层作业与实际案例帮助学生查漏补缺，提升知识应用能力。

4.3.2　等比数列的前n项和公式 第1课时　等比数列的前n项和公式 [学习目标]　1．掌握等比数列的前n项和公式及其应用．(数学运算) 2．会用错位相减法求数列的和．(数学运算、逻辑推理) 3．能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题．(数学运算、数学建模) [教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．等比数列的前n项和公式是什么？ 问题2．等比数列的前n项和公式是如何推导的？ 问题3．等比数列的前n项和公式与通项公式有什么关系？ 探究1　等比数列的前n项和公式 问题1　若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，你能根据Sn与qSn的关系推导等比数列前n项和公式吗？ [提示]　因为Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an， 所以Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn-2＋a1qn-1， 上式中每一项都乘等比数列的公比，可得qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn-1＋a1qn， 发现上面两式中有很多相同的项，两式相减可得Sn－qSn＝a1－a1qn， 即(1－q)Sn＝a1(1－qn)， 当q≠1时，有Sn＝， 而当q＝1时，Sn＝na1． 问题2　当q≠1时，由等比数列的定义得＝＝…＝＝q，你能依据上式推导前n项和公式吗？ [提示]　根据等比数列的性质，有＝＝q， 所以(1－q)Sn＝a1－anq， 所以当q≠1时，Sn＝．该推导方法围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比数列的性质，推导出了公式． [新知生成] 1．等比数列的前n项和公式 已知量 首项、公比和项数 首项、末项和公比 公式 Sn＝ Sn＝ 2．推导等比数列前n项和的方法叫做错位相减法．该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和，即若{bn}是公差d≠0的等差数列，{cn}是公比q≠1的等比数列，求数列{bn·cn}的前n项和Sn时，可以用这种方法． 【教用·微提醒】　(1)用等比数列前n项和公式求和，一定要对该数列的公比q＝1和q≠1进行分类讨论； (2)公式一中的n表示的是所求数列的项数； (3)公式二中的an表示数列的最后一项． (4)利用an＝a1qn-1可以实现两个公式的相互转化． [典例讲评]　【链接教材P35例7、P36例8】 1．(1)在等比数列{an}中，S3＝，S6＝，求an． (2)在等比数列{an}中， (ⅰ)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n； (ⅱ)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求a4和S5； (ⅲ)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q． [解]　(1)由题意知S6≠2S3，则q≠1． 又S3＝，S6＝， 故 ②÷①，得1＋q3＝28，解得q＝3． 可求得a1＝， 故an＝a1qn-1＝3n-3． (2)(ⅰ)由Sn＝， an＝a1qn-1以及已知条件得 由②得，a1·2n＝192，∴2n＝． 由①得，189＝a1(2n－1)＝a1， ∴a1＝3． 又∵2n-1＝＝32，∴n＝6． (ⅱ)设公比为q，由通项公式及已知条件得 即 ∵a1≠0，1＋q2≠0，∴②÷①得，q3＝， 即q＝，∴a1＝8， ∴a4＝a1q3＝8×＝1， S5＝＝＝． (ⅲ)因为a2an－1＝a1an＝128， 所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两根． 从而或 又Sn＝＝126，所以q＝2或． 【教材原题·P35例7、P36例8】 例7　已知数列{an}是等比数列． (1)若a1＝，q＝，求S8； (2)若a1＝27，a9＝，q＜0，求S8； (3)若a1＝8，q＝，Sn＝，求n． [解]　(1)因为a1＝，q＝，所以 S8＝＝． (2)由a1＝27，a9＝，可得27×q8＝， 即q8＝． 又由q＜0，得q＝－， 所以S8＝＝． (3)把a1＝8，q＝，Sn＝代入Sn＝，得＝． 整理，得＝． 解得n＝5． 例8　已知等比数列{an}的首项为－1，前n项和为Sn．若＝，求公比q． [解]　若q＝1，则 ＝＝2≠， 所以q≠1． 当q≠1时，由＝，得 ＝． 整理，得1＋q5＝，即q5＝－． 所以q＝－． 　(1)“知三求二”：在等比数列 {an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用． (2)注意：在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论． [学以致用]　【链接教材P37练习T1】 1．(1)(源自北师大版教材)①已知等比数列{an}中，a1＝2，q＝3．求S3； ②求等比数列1，，…的前10项的和． (2)已知数列{an}为等比数列．若a4－a2＝24，a2＋a3＝6，am＝125，求Sm． [解]　(1)①由等比数列的前n项和公式，得 S3＝＝＝26． ②因为公比q＝，所以S10＝＝＝． (2)设该等比数列的公比为q， 由a4－a2＝24，a2＋a3＝6， 得a2q2－a2＝24，a2＋a2q＝6， 解得a2＝1，q＝5，所以a1＝＝， 所以an＝a1qn-1＝5n-2，令am＝125，解得m＝5， 所以S5＝＝． 【教材原题·P37练习T1】 已知数列{an}是等比数列． (1)若a1＝3，q＝2，n＝6，求Sn； (2)若a1＝－2.7，q＝－，an＝，求Sn； (3)若a3＝，S3＝，求a1与q． [解]　(1)Sn＝＝189． (2)Sn＝＝－． (3)因为S3＝a1＋a2＋a3＝a3(q-2＋q-1＋1)，所以q-2＋q-1＋1＝3，即2q2－q－1＝0．解得q＝1或q＝－．所以当q＝1时，a1＝；当q＝－时，a1＝6． 探究2　等比数列前n项和公式的函数特征 问题3　你能发现等比数列前n项和公式Sn＝(q≠1)的函数特征吗？ [提示]　Sn＝＝－qn＋， 设A＝－，则Sn＝Aqn－A． [新知生成] 等比数列前n项和公式的函数特征 (1)当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1)，即Sn是n的指数型函数． (2)当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数． 【教用·微提醒】　(1)Sn＝Aqn－A(q≠1)时，{an}是首项为(Aq－A)，公比为q的等比数列． (2)等比数列前n项和公式的结构特点是qn的系数与常数项互为相反数． [典例讲评]　2．数列{an}的前n项和Sn＝3n－2．求{an}的通项公式，并判断{an}是不是等比数列． [解]　法一：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n-1－2)＝2·3n-1． 当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1不符合上式． ∴an＝ 由于a1＝1，a2＝6，a3＝18，显然a1，a2，a3不是等比数列，即{an}不是等比数列． 法二：由等比数列{bn}的公比q≠1时的前n项和Sn＝A·qn＋B满足的条件为A＝－B，对比可知Sn＝3n－2，－2≠－1，故{an}不是等比数列． [母题探究]　若将本例改为数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝3n+1－2k，则实数k＝________． 　[∵Sn＝3n+1－2k＝3×3n－2k， 且{an}为等比数列，∴3－2k＝0，即k＝．] 　(1)已知Sn，通过an＝ 求通项an，应特别注意n≥2时，an＝Sn－Sn－1． (2)若数列{an}的前n项和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则数列{an}是等比数列． [学以致用]　2．(1)若数列{an}的前n项和Sn＝tn－1(t∈R)，则此数列是(　　) A．等差数列 B．等比数列 C．等差数列或等比数列 D．以上说法均不对 (2)数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝a·＋5，则实数a＝________． (1)D　(2)－　[(1)当n＝1时，a1＝S1＝t－1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝tn－tn-1＝tn-1(t－1)， 当t＝1时，an＝0，所以{an}是等差数列； 当t＝0时，{an}既不是等差数列，也不是等比数列； 当t≠1，t≠0时，an＝tn-1(t－1)， 所以{an}是等比数列． 综上，故选D． (2)由Sn＝a·＋5， 可得Sn＝3a·＋5， 依题意有3a＋5＝0，故a＝－．] 探究3　错位相减法求和 [典例讲评]　3．求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0)． [解]　当x＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝； 当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn， xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn+1， ∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn+1 ＝－nxn+1， ∴Sn＝． 综上可得， Sn＝ 　用错位相减法求和时，应注意： (1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形． (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式． [学以致用]　3．求和：＋…＋． [解]　令Sn＝＋…＋，① 则Sn＝＋…＋，② 由①－②得，Sn＝＋…＋ ＝＝1－， 所以Sn＝2－． 【教用·备选题】　求数列，…，，…的前n项和． [解]　设Sn＝＋…＋，① 则Sn＝＋…＋，② ①－②，得Sn＝＋…＋，即Sn＝＋…＋＝＝＋1－－＝． 所以Sn＝3－＝3－． 1．等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于(　　) A． B． C． D． C　[当x＝1时，Sn＝n；当x≠1且x≠0时，Sn＝．] 2．(多选)(2025·全国二卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，q为{an}的公比，q>0．若S3＝7，a3＝1，则(　　) A．q＝ B．a5＝ C．S5＝8 D．an＋Sn＝8 AD　[根据S3＝a1＋a2＋a3＝＋a3＝＋1＝7，得6q2－q－1＝0，即(2q－1)(3q＋1)＝0，因为q＞0，所以q＝，故A正确； a5＝a3q2＝1×＝，故B错误； a1＝＝4，所以S5＝＝＝，故C错误； an＝a1qn-1＝4×＝＝23-n，Sn＝＝＝8＝8－＝8－23-n，所以an＋Sn＝8，故D正确．故选AD．] 3．(2023·全国甲卷)设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为S n，若a1＝1，S5＝5S3－4，则S4＝(　　) A． B． C．15 D．40 C　[若该数列的公比q＝1，代入S5＝5S3－4，有5＝5×3－4，不成立，所以q≠1．由＝5×－4，化简得q4－5q2＋4＝0，所以q2＝1(舍)或q2＝4，由于此数列各项均为正数，所以q＝2，所以S4＝＝15．故选C．] 4．(教材P37练习T3改编)在等比数列{an}中，a1＝1，a4＝－8，则{an}的前6项和为________． －21　[由a4＝a1q3＝q3＝－8，解得q＝－2， 所以S6＝＝＝＝－21．] 1．知识链： 2．方法链：公式法、错位相减法． 3．警示牌：等比数列前n项和公式分q＝1与q≠1两种情况，因此当公比未知时，要对公比进行分类讨论． 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．如何使用等比数列前n项和公式求和？ [提示]　(1)等比数列{an}前n项和公式分q＝1与q≠1两种情况，因此当公比未知时，要对公比进行分类讨论． (2)q≠1时，公式Sn＝与Sn＝是等价的，利用an＝a1qn-1可以实现它们之间的相互转化． 当已知a1，q与n时，用Sn＝较方便； 当已知a1，q与an时，用Sn＝较方便． 2．等比数列前n项和公式是如何推导的？ [提示]　一般地，等比数列{an}的前n项和可写为：Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn-1， ① 用公比q乘①的两边，可得 qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn-1＋a1qn， ② 由①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1qn， 整理得Sn＝(q≠1)． 3．错位相减法的适用情形及注意事项分别是什么？ [提示]　(1)适用范围：它主要适用于{an}是公差不为0的等差数列，{bn}是公比不为1的等比数列，求数列{anbn}的前n项和． (2)注意事项： ①利用“错位相减法”时，在写出Sn与qSn的表达式时，应注意使两式错项对齐，以便于作差，正确写出(1－q)Sn的表达式． ②利用此法时要注意讨论公比q是否等于1的情况． 棋盘上的麦粒 一般认为，国际象棋起源于古印度．国际象棋的棋盘由64个格子组成，如图所示．据说国王为了奖赏发明者，让发明者提一个要求．发明者提出的要求是：在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，在第2个格子里放上2颗麦粒，在第3个格子里放上22颗麦粒，在第4个格子里放上23颗麦粒……每个格子放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子，请国王将棋盘上的麦子都给他．国王觉得这个要求并不过分，欣然同意．假设每1 000粒麦子的质量为40 g，猜想一下，国王有能力满足发明者的要求吗？ 根据等比数列前n项和公式可知，发明者所要求的麦粒数为1＋2＋22＋23＋…＋263＝＝264－1．从而可知，发明者要求的麦子质量为×40 g≈7.38×1014 kg．也就是说，发明者要求的麦子质量约为7.38×1011吨，即7 380亿吨．2016年，我国大宗粮油作物(包括小麦、水稻)产量约为5.4亿吨，全球大宗粮油作物总产量约为27.8亿吨．古印度的那位国王能满足发明者的要求吗？ 课时分层作业(九)　等比数列的前n项和公式 一、选择题 1．设数列{(－1)n}的前n项和为Sn，则Sn＝(　　) A． B． C． D． D　[Sn＝＝．] 2．已知等比数列{an}为递增数列，设其前n项和为Sn，若a2＝2，S3＝7，则a5的值为(　　) A．16 B．32 C．8 D．4 A　[依题意，设等比数列{an}的公比为q，则解得或(舍去)，所以a5＝a1q4＝1×24＝16．] 3．(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝(　　) A．14 B．12 C．6 D．3 D　[设等比数列的公比为q，q≠0， 若q＝1，则a2－a5＝0，与题意矛盾， 所以q≠1， 则解得 所以a6＝a1q5＝3． 故选D．] 4．若等比数列{an}的前n项和Sn＝a·3n－2，则a2＝(　　) A．4 B．12 C．24 D．36 B　[因为等比数列的前n项和为Sn＝a·3n－2， 所以a＝2，所以a2＝S2－S1＝12．] 5．等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q≠1．若a1＝1，且对任意的n∈N*都有an＋2＋an＋1＝2an，则S5＝(　　) A．12 B．20 C．11 D．21 C　[an＋2＋an＋1＝2an等价于anq2＋anq＝2an． 因为an≠0，故q2＋q－2＝0，即(q＋2)(q－1)＝0． 因为q≠1，所以q＝－2， 故S5＝＝11，故选C．] 二、填空题 6．设等比数列{an}的公比q＝，前n项和为Sn，则＝________． 15　[设数列{an}的首项为a1，则S4＝＝a1，a4＝a1·＝a1，∴＝＝15．] 7．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，Sn＝93，an＝48，公比q＝2，则项数n＝________，a1＝________． 5　3　[由Sn＝93，an＝48，公比q＝2， 得解得] 8．已知数列{an}，an＝22n-1，其前n项和为Sn，则S5＝________． 682　[由题意an＝22n-1，n∈N*， ∴＝＝22＝4，n∈N*， ∴数列{an}是首项为a1＝2，公比为q＝4的等比数列， ∴S5＝＝＝682．] 三、解答题 9．记数列{an}的前n项和为Sn．已知Sn＋1＝3Sn＋2n＋4，且a1＝4． (1)证明：{an＋1}是等比数列； (2)求Sn． [解]　(1)证明：已知Sn＋1＝3Sn＋2n＋4，① 则Sn＝3Sn－1＋2(n－1)＋4，② 由①－②可得，an＋1＝3an＋2(n≥2)，又a1＝4，则S2＝4＋a2＝3×4＋6， 即a2＝14，则a2＝3a1＋2，所以an＋1＝3an＋2(n∈N*)，则an＋1＋1＝3(an＋1)， 又a1＋1＝5，即{an＋1}是以5为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)可得，an＋1＝5×3n-1，即an＝5×3n-1－1， 则Sn＝5(30＋31＋…＋3n-1)－n＝－n＝－n． 10．在等比数列{an}中，a4＝3a3，则＋…＋＝(　　) A． B． C． D． D　[设等比数列{an}的公比为q． 因为a4＝3a3， 所以q＝3． 所以＋…＋＝q＋q2＋q3＋…＋qn＝＝＝．] 11．如果数列a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么an＝________． 2n－1　[由题意知 各式相加得an－a1＝2＋22＋…＋2n-1＝2n－2，又a1＝1，∴an＝2n－1．] 12．设数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝n2＋n，数列{bn}的通项公式为bn＝xn-1(x≠0)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设cn＝anbn，数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn． [解]　(1)∵an＝Sn＝n2＋n， ∴an＝ 当n＝1时也满足an＝2n，∴数列{an}的通项公式为an＝2n． (2)由(1)及题意，得cn＝2nxn-1， ∴Tn＝2＋4x＋6x2＋8x3＋…＋2nxn-1，① 则xTn＝2x＋4x2＋6x3＋8x4＋…＋2nxn．② ①－②，得(1－x)Tn＝2＋2x＋2x2＋…＋2xn-1－2nxn． 当x≠1时，(1－x)Tn＝2×－2nxn， ∴Tn＝； 当x＝1时，Tn＝2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n2＋n． ∴Tn＝ 13．设数列{an}的前n项和为Sn，其中an≠0，a1为常数，且－a1，Sn，an＋1成等差数列． (1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝1－Sn．问：是否存在a1，使数列{bn}为等比数列？若存在，求出a1的值；若不存在，请说明理由． [解]　(1)依题意，得2Sn＝an＋1－a1． 于是，当n≥2时，有 两式相减，得an＋1＝3an(n≥2)． 又因为a2＝2S1＋a1＝3a1，an≠0，所以数列{an}是首项为a1，公比为3的等比数列． 因此，an＝a1·3n-1(n∈N*)． (2)存在．因为Sn＝＝a1·3n－a1， 所以bn＝1－Sn＝1＋a1－a1·3n． 要使{bn}为等比数列，则1＋a1＝0， 即a1＝－2． 所以存在a1＝－2，使数列{bn}为等比数列． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $